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数学九年级上册22.1.1 二次函数随堂练习题
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这是一份数学九年级上册22.1.1 二次函数随堂练习题，文件包含人教版初三数学上册秋季班讲义第2讲二次函数的图像与性质--尖子班教师版docx、人教版初三数学上册秋季班讲义第2讲二次函数的图像与性质--尖子班学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共73页， 欢迎下载使用。
第2讲 函数的图象及其性质
知识点1二次函数的定义与列二次函数关系式
一般地，形如(a、b、c是常数，)的函数叫做x的二次函数.
其中：x的最高次数为2且a≠0。
【典例】
1.下列函数中，其中是以x为自变量的二次函数是（ ）
A. y=x（x﹣3） B. y=（x+2）（x﹣2）﹣（x﹣1）2
C. y=x2+ D. y=
2.函数y=（a﹣1）x+x﹣3是二次函数时，则a的值是______
3.下列关系中，是二次函数关系的是（ ）
A. 当距离S一定时，汽车行驶的时间t与速度v之间的关系
B. 在弹性限度时，弹簧的长度y与所挂物体的质量x之间的关系
C. 圆的面积S与圆的半径r之间的关系
D. 正方形的周长C与边长a之间的关系
【方法总结】
1.本知识点需要掌握：
（1）知道二次函数的一般表达式.
（2）会利用二次函数的概念分析解题.
2. 注意：
“变量”不同于“未知数”，不能说“二次函数是指未知数的最高次数为二次的多项式函数”。“未知数”只是一个数（具体值未知，但是只取一个值），“变量”可在一定范围内任意取值。在方程中适用“未知数”的概念（函数方程、微分方程中是未知函数，但不论是未知数还是未知函数，一般都表示一个数或函数——也会遇到特殊情况），但是函数中的字母表示的是变量，意义已经有所不同。从函数的定义也可看出二者的差别。
3. 判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．
【随堂练习】
1．（2018秋•榆林期末）若是关于的二次函数，则的值为
A． B．1 C．或1 D．2或1
2．（2018秋•官渡区期末）若函数是二次函数，则的值为
A．3 B． C． D．9
3．（2019•曲靖一模）若是关于自变量的二次函数，则 ．
4．（2019•广饶县模拟）若函数是关于的二次函数，则 ．
5. （2018秋•潜山县期末）若与的函数是二次函数，则 ．
6．（2018秋•福田区校级期末）若函数是二次函数，则的值为 ．
知识点2二次函数图象与基本性质
1.
2.二次函数与的比较
从解析式上看，与是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即，其中
3.二次函数图象的画法
五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.
画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.
4. 二次函数的性质
（1）当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为．
当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，有最小值．
（2） 当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为．当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值．
【典例】
1.用配方法将二次函数y=x2﹣8x﹣9化为y=a（x﹣h）2+k的形式为_______
2.下列关于抛物线y=（x+2）2+6的说法，正确的是（ ）
A. 抛物线开口向下 B. 抛物线的顶点坐标为（2，6）
C. 抛物线的对称轴是直线x=6 D. 抛物线经过点（0，10）
【方法总结】
1. 把一般形式化成顶点式有利于思考
2. 顶点式令(x-h)²中x-h=0，x=h,即顶点的横坐标，例y=（x+2）²顶点坐标,x+2=0推出x=-2,y=0,顶点坐标为（-2，0）.
【随堂练习】
1．（2019•湖州）已知，是非零实数，，在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的大致图象不可能是
A． B．
C． D．
2．（2019•攀枝花）在同一坐标系中，二次函数与一次函数的图象可能是
A． B．
C． D．
3．（2018秋•汝阳县期末）在同一直角坐标系中，函数与，都不为的图象的相对位置可以是
A． B．
C． D．
4．（2019•广西模拟）如图，已知点，为坐标原点，是线段上任一点（不含端点、，二次函数的图象过、两点，二次函数的图象过、两点，它们的开口均向下，顶点分别为、，射线与射线相交于点．则当时，这两个二次函数的最大值之和等于
A．8 B． C． D．6
二．填空题（共1小题）
5．（2018秋•南关区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴正半轴上，顶点在轴正半轴上，抛物线的顶点为，且经过点、．若为等腰直角三角形，则的值为 ．
三．解答题（共2小题）
6．（2019•福州模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于、两点，其中点在轴上，点是直线上方的抛物线上一动点（不与点、重合）过作轴的平行线交直线于点，连接、．
（1）求直线的解析式及、点的坐标；
（2）当面积最大时，求点的坐标以及最大面积．
7．（2018•南通一模）抛物线经过点，，与轴交于点，点与原点的距离等于2，且不经过第一象限．
（1）求，的值；
（2）若抛物线与抛物线的形状相同，且不经过三、四象限，求，，的值．
（3）若直线与抛物线和（2）中的抛物线分别相交于点，．设的长度为，求关于的函数解析式．当随的增大而增大时，直接写出的取值范围．
知识点3 二次函数图象与系数之间的关系
二次函数y= ax2+bx+c的图象与字母系数之间的关系：
a:开口方向 向上则a>0,向下则a<0 ｜a｜越大，开口越小；
b:对称轴位置，与a联系一起，用“左同右异”判断，b=0时，对称轴是y轴；
c:与y轴的交点：交点在y轴正半轴上，则c>0；负半轴上则c<0；当c=0时，抛物点过原点。
【典例】
1.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则以下结论同时成立的是（ ）
A. B. C. D.
2.抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，下列结论错误的是（ ）
A. abc＜0 B. a+c＜b C. b2+8a＞4ac D. 2a+b＞0
3.如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，且过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是直线x=1，下列结论正确的是（ ）
A. b2＜4ac B. ac＞0 C. 2a﹣b=0 D. a﹣b+c=0
【方法总结】
1、抛物线与轴的交点个数与一元二次方程的有关系，
①当时，抛物线与x轴有两个交点；
① 当时，抛物线与x轴有一个交点；
③当时，抛物线与x轴没有交点..
2、抛物线对称轴的位置与有关系。对称轴与x轴的交点横坐标等于.(“”的代数式多由此得到)
3、抛物线经过的特殊点与三者的关系式有关。判断时可将特殊点的坐标带入函数关系式，(例如的图象经过(1,0)，可以得到0=)
【随堂练习】
1．（2019•定陶区三模）如图，函数的图象过点和，请思考下列判断：
①；②；③；④；⑤正确的是
A．①③⑤ B．①②③④⑤ C．①③④ D．①②③⑤
2．（2019•麻城市校级自主招生）如图，二次函数的图象经过点且与轴交点的横坐标分别为，，其中，，下列结论：，，，，其中结论正确的有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2019•舟山）小飞研究二次函数为常数）性质时如下结论：
①这个函数图象的顶点始终在直线上；
②存在一个的值，使得函数图象的顶点与轴的两个交点构成等腰直角三角形；
③点，与点，在函数图象上，若，，则；
④当时，随的增大而增大，则的取值范围为．
其中错误结论的序号是
A．① B．② C．③ D．④
4．（2019春•江岸区校级月考）定义：在平面直角坐标系中，若点满足横、纵坐标都为整数，则把点叫做“整点”．如：、都是“整点”．抛物线与轴交于点，两点，若该抛物线在、之间的部分与线段所围的区域（包括边界）恰有5个整点，则的取值范围是
A． B． C． D．
二．填空题（共1小题）
5．（2019•内江模拟）二次函数的图象与轴的两个交点、的横坐标分别为、1，与轴交于点，下面四个结论：①；②若，，是函数图象上的两点，则；③；④若是等腰三角形，则或．其中正确的有 ．（请将正确结论的序号全部填在横线上）
三．解答题（共2小题）
6．（2019春•袁州区校级月考）如图，抛物线经过，两点，与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式及顶点的坐标；
（2）点在抛物线的对称轴上，当的周长最小时，求出点的坐标；
（3）若点为抛物线第四象限内一点，连接、、，求当的面积最大时点的坐标．
7．（2018•北京）在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，，抛物线经过点，将点向右平移5个单位长度，得到点．
（1）求点的坐标；
（2）求抛物线的对称轴；
（3）若抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围．
知识点4二次函数图象变换
1.图象的平移变换
平移规律：概括成八个字“左加右减，上加下减”．
2．二次函数图象与对称变换
二次函数关于坐标轴对称式规律：
原式
关于x轴对称
关于y轴对称
关于原点对称
【典例】
1.作抛物线A关于x轴对称的抛物线B，再将抛物线B向左平移2个单位，向上平移1个单位，得到的抛物线C的函数解析式是y=2（x+1）2﹣1，则抛物线A所对应的函数表达式是__________
2.顶点为P的抛物线y=x2﹣2x+3与y轴相交于点A，在顶点不变的情况下，把该抛物线绕顶点P旋转180°得到一个新的抛物线，且新的抛物线与y轴相交于点B，则△PAB的面积为______
【方法总结】
1.理解并掌握平移的过程，由，的图象与性质及上下平移与左右平移的规律：将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：
2.翻折和旋转：按照顶点的变化，进行变形。
【随堂练习】
1．（2019•朝阳区模拟）在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是．
（1）求抛物线表达式和顶点坐标；
（2）将该抛物线向右平移1个单位，平移后的抛物线与原抛物线相交于点，求点的坐标；
（3）抛物线与轴交于点，点关于平移后抛物线的对称轴的对称点为点，两条抛物线在点、和点、之间的部分（包含点、、 记为图象．将直线向下平移个单位，在平移过程中直线与图象始终有两个公共点，请你写出的取值范围 ．
2．（2019•常熟市二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点和，是轴正半轴上的一个动点，是线段的中点，将线段绕点顺时针旋转得线段，过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，两直线交于点．
（1）求、的值；
（2）当为何值时，点落在抛物线上．
3．（2019•莲池区一模）已知和是抛物线上的两点．
（1）求的值；
（2）将抛物线的图象向上平移（是正整数）个单位，使平移后的图象与轴无交点，求的最小值；
（3）将抛物线的图象在轴下方的部分沿轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合新图象回答：当直线与这个新图象有两个公共点时，求的取值范围．
知识点5二次函数的解析式
1. 一般式：（，，为常数，）；
2. 顶点式：（，，为常数，）；
3. 两根式：（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）.
【典例】
1.将抛物线y=﹣2（x+1）2+1绕其顶点旋转180°后得到抛物线的解析式为_____ 将抛物线y=﹣2（x+1）2+1绕原点旋转180°后得到抛物线的解析式为 ．
2.一个二次函数的图象经过（0，0），（﹣1，﹣1），（1，9）三点．则这个二次函数的解析式为 ．
3.已知二次函数中自变量x和函数值y的部分对应值如下表：
则该二次函数的解析式为 ．
【方法总结】
二次函数解析式的确定：
根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：
1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
3. 已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；
4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．
【随堂练习】
1．（2019•昆明模拟）如图，抛物线的图象经过点，点，点，与轴交于点，作直线，连接、．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）是抛物线上的点，求满足的点的坐标．
2．（2019•汇川区模拟）已知，点为二次函数图象的顶点，直线分别交轴正半轴，轴于点，．
（1）如图1，若二次函数图象也经过点，，试求出该二次函数解析式，并求出的值．
（2）如图2，点坐标为，点在内，若点，，，都在二次函数图象上，试比较与的大小．
3．（2019•台江区模拟）已知，抛物线的顶点为（其中．
（1）若抛物线经过和两点，且．
①求抛物线的解析式；
②若，设点，在抛物线上，比较，的大小关系，并说明理由；
（2）若，，直线与抛物线的交于点和点，点的横坐标为，点的横坐标为
，求出和的函数关系式；
（3）若点在抛物线上，且时，求的取值范围．
4．（2019•鹿城区模拟）如图，与抛物线相交于点，，，点在抛物线的对称轴上，已知点，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求的函数表达式．
5．（2019春•大连期末） 如图，已知二次函数的图象顶点在轴上，且，与一次函数的图象交于轴上一点和另一交点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点为线段上一点，过点作轴，垂足为，交抛物线于点，请求出线段的最大值．
6．（2019•仙桃模拟）如图，已知抛物线与轴交于点和，与轴交于
（1）求抛物线的解析式，并求出顶点的坐标．
（2）观察图象，直接写出一元二次不等式：解集为： 或
（3）若抛物线的对称轴交轴于点，求四边形的面积．
知识点6二次函数的最值
1. 一般地，抛物线的顶点就是抛物线的最低（高）点，当时，二次函数有最小（大）值；
2. 当自变量的范围中不包含顶点的横坐标时，要根据抛物线的增减规律来确定；
【典例】
1.已知二次函数y=﹣（x﹣h）2+1（为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最大值为﹣5，则h的值为________
2.已知二次函数y=x2+2x+m2+2m﹣1（m为常数），当自变量x的值满足1≤x≤3时，与其对应的函数值y的最小值为5，则m的值为_______
【方法总结】
a＞0，离对称轴越远值越大
a＜0，离对称轴越远值越小
点与对称轴距离
【随堂练习】
1．（2019春•无锡期中）若min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值，当y＝min{x2，x+2，8﹣x}时（x≥0），则y的最大值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
2．（2018秋•江干区期末）四位同学在研究函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）时，甲发现当x＝1时，函数有最大值；乙发现﹣1是方程ax2+bx+c＝0的一个根；丙发现函数的最大值为﹣1；丁发现当x＝2时，y＝﹣2，已知四位中只有一位发现的结论时错误的，则该同学是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
3．（2018秋•武昌区校级期末）正实数x，y满足xy＝1，那么的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．
二．填空题（共3小题）
4．（2018秋•萧山区期末）已知二次函数y＝ax2﹣4ax+3a
（1）若a＝1，则函数y的最小值为 ．
（2）若当1≤x≤4时，y的最大值是4，则a的值为 ．
5．（2019•晋江市一模）如图，点P为线段AB（不含端点A、B）上的动点，分别以AP、PB为斜边在AB的同侧作Rt△AEP与Rt△PFB，∠AEP＝∠EPF＝∠PFB＝90°，若AE+PF＝8，EP+FB＝6，则线段EF的取值范围是 ．
6．（2019•平邑县一模）对于两个实数，规定max{a，b}表示a、b中的较大值，当a≥b时，max{a，b}＝a，当a＜b时，max{a，b}＝b，例如：max{1，3}＝3．则函数y＝max{x2+2x+2，﹣x2﹣1}的最小值是 ．
综合运用: 函数的图象及其性质
1.写出经过点（0，0），（﹣2，0）的一个二次函数的解析式 （写一个即可）
2.已知反比例函数y=的图象经过点P（2，2），函数y=ax+b的图象与直线y=﹣x平行，并且经过反比例函数图象上一点Q（1，m）．则函数y=ax2+bx+有最 值，这个值是 ．
3.将抛物线y=x2+1向下平移1个单位后的抛物线的解析式为 ；若将原抛物线绕原点O旋转180°，则旋转后的抛物线的解析式为 ．
4.已知二次函数y=（m﹣2）x2+（m+3）x+m+2的图象过点（0，5）．
（1）求m的值，并写出二次函数的解析式；
（2）求出二次函数图象的顶点坐标和对称轴．
5.已知二次函数的解析式是y=x2﹣2x﹣3
（1）用配方法将y=x2﹣2x﹣3化成y=a（x﹣h）2+k的形式；
（2）在直角坐标系中，用五点法画出它的图象；
（3）当x为何值时，函数值y＜0．
6.如图是y=a（x+m）2的图象
（1）求二次函数的解析式；
（2）把抛物线y=﹣x2经过怎样的平移才能得到此抛物线；
（3）请指出该抛物线的顶点坐标、对称轴及函数具有的性质；
（4）将（1）中所求的抛物线绕顶点旋转180°，求旋转后的抛物线的解析式．
第2讲 函数的图象及其性质
知识点1二次函数的定义与列二次函数关系式
一般地，形如(a、b、c是常数，)的函数叫做x的二次函数.
其中：x的最高次数为2且a≠0。
【典例】
1.下列函数中，其中是以x为自变量的二次函数是（ ）
A. y=x（x﹣3） B. y=（x+2）（x﹣2）﹣（x﹣1）2
C. y=x2+ D. y=
2.函数y=（a﹣1）x+x﹣3是二次函数时，则a的值是______
3.下列关系中，是二次函数关系的是（ ）
A. 当距离S一定时，汽车行驶的时间t与速度v之间的关系
B. 在弹性限度时，弹簧的长度y与所挂物体的质量x之间的关系
C. 圆的面积S与圆的半径r之间的关系
D. 正方形的周长C与边长a之间的关系
【方法总结】
1.本知识点需要掌握：
（1）知道二次函数的一般表达式.
（2）会利用二次函数的概念分析解题.
2. 注意：
“变量”不同于“未知数”，不能说“二次函数是指未知数的最高次数为二次的多项式函数”。“未知数”只是一个数（具体值未知，但是只取一个值），“变量”可在一定范围内任意取值。在方程中适用“未知数”的概念（函数方程、微分方程中是未知函数，但不论是未知数还是未知函数，一般都表示一个数或函数——也会遇到特殊情况），但是函数中的字母表示的是变量，意义已经有所不同。从函数的定义也可看出二者的差别。
3. 判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．
【随堂练习】
1．（2018秋•榆林期末）若是关于的二次函数，则的值为
A． B．1 C．或1 D．2或1
2．（2018秋•官渡区期末）若函数是二次函数，则的值为
A．3 B． C． D．9
3．（2019•曲靖一模）若是关于自变量的二次函数，则 ．
4．（2019•广饶县模拟）若函数是关于的二次函数，则 ．
5. （2018秋•潜山县期末）若与的函数是二次函数，则 ．
6．（2018秋•福田区校级期末）若函数是二次函数，则的值为 ．
知识点2二次函数图象与基本性质
1.
2.二次函数与的比较
从解析式上看，与是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即，其中
3.二次函数图象的画法
五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.
画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.
4. 二次函数的性质
（1）当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为．
当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，有最小值．
（2） 当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为．当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值．
【典例】
1.用配方法将二次函数y=x2﹣8x﹣9化为y=a（x﹣h）2+k的形式为_______
2.下列关于抛物线y=（x+2）2+6的说法，正确的是（ ）
A. 抛物线开口向下 B. 抛物线的顶点坐标为（2，6）
C. 抛物线的对称轴是直线x=6 D. 抛物线经过点（0，10）
【方法总结】
1. 把一般形式化成顶点式有利于思考
2. 顶点式令(x-h)²中x-h=0，x=h,即顶点的横坐标，例y=（x+2）²顶点坐标,x+2=0推出x=-2,y=0,顶点坐标为（-2，0）.
【随堂练习】
1．（2019•湖州）已知，是非零实数，，在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的大致图象不可能是
A． B．
C． D．
2．（2019•攀枝花）在同一坐标系中，二次函数与一次函数的图象可能是
A． B．
C． D．
3．（2018秋•汝阳县期末）在同一直角坐标系中，函数与，都不为的图象的相对位置可以是
A． B．
C． D．
4．（2019•广西模拟）如图，已知点，为坐标原点，是线段上任一点（不含端点、，二次函数的图象过、两点，二次函数的图象过、两点，它们的开口均向下，顶点分别为、，射线与射线相交于点．则当时，这两个二次函数的最大值之和等于
A．8 B． C． D．6
二．填空题（共1小题）
5．（2018秋•南关区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴正半轴上，顶点在轴正半轴上，抛物线的顶点为，且经过点、．若为等腰直角三角形，则的值为 ．
三．解答题（共2小题）
6．（2019•福州模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于、两点，其中点在轴上，点是直线上方的抛物线上一动点（不与点、重合）过作轴的平行线交直线于点，连接、．
（1）求直线的解析式及、点的坐标；
（2）当面积最大时，求点的坐标以及最大面积．
7．（2018•南通一模）抛物线经过点，，与轴交于点，点与原点的距离等于2，且不经过第一象限．
（1）求，的值；
（2）若抛物线与抛物线的形状相同，且不经过三、四象限，求，，的值．
（3）若直线与抛物线和（2）中的抛物线分别相交于点，．设的长度为，求关于的函数解析式．当随的增大而增大时，直接写出的取值范围．
知识点3 二次函数图象与系数之间的关系
二次函数y= ax2+bx+c的图象与字母系数之间的关系：
a:开口方向 向上则a>0,向下则a<0 ｜a｜越大，开口越小；
b:对称轴位置，与a联系一起，用“左同右异”判断，b=0时，对称轴是y轴；
c:与y轴的交点：交点在y轴正半轴上，则c>0；负半轴上则c<0；当c=0时，抛物点过原点。
【典例】
1.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则以下结论同时成立的是（ ）
A. B. C. D.
2.抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，下列结论错误的是（ ）
A. abc＜0 B. a+c＜b C. b2+8a＞4ac D. 2a+b＞0
3.如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，且过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是直线x=1，下列结论正确的是（ ）
A. b2＜4ac B. ac＞0 C. 2a﹣b=0 D. a﹣b+c=0
【方法总结】
1、抛物线与轴的交点个数与一元二次方程的有关系，
①当时，抛物线与x轴有两个交点；
① 当时，抛物线与x轴有一个交点；
③当时，抛物线与x轴没有交点..
2、抛物线对称轴的位置与有关系。对称轴与x轴的交点横坐标等于.(“”的代数式多由此得到)
3、抛物线经过的特殊点与三者的关系式有关。判断时可将特殊点的坐标带入函数关系式，(例如的图象经过(1,0)，可以得到0=)
【随堂练习】
1．（2019•定陶区三模）如图，函数的图象过点和，请思考下列判断：
①；②；③；④；⑤正确的是
A．①③⑤ B．①②③④⑤ C．①③④ D．①②③⑤
2．（2019•麻城市校级自主招生）如图，二次函数的图象经过点且与轴交点的横坐标分别为，，其中，，下列结论：，，，，其中结论正确的有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2019•舟山）小飞研究二次函数为常数）性质时如下结论：
①这个函数图象的顶点始终在直线上；
②存在一个的值，使得函数图象的顶点与轴的两个交点构成等腰直角三角形；
③点，与点，在函数图象上，若，，则；
④当时，随的增大而增大，则的取值范围为．
其中错误结论的序号是
A．① B．② C．③ D．④
4．（2019春•江岸区校级月考）定义：在平面直角坐标系中，若点满足横、纵坐标都为整数，则把点叫做“整点”．如：、都是“整点”．抛物线与轴交于点，两点，若该抛物线在、之间的部分与线段所围的区域（包括边界）恰有5个整点，则的取值范围是
A． B． C． D．
二．填空题（共1小题）
5．（2019•内江模拟）二次函数的图象与轴的两个交点、的横坐标分别为、1，与轴交于点，下面四个结论：①；②若，，是函数图象上的两点，则；③；④若是等腰三角形，则或．其中正确的有 ．（请将正确结论的序号全部填在横线上）
三．解答题（共2小题）
6．（2019春•袁州区校级月考）如图，抛物线经过，两点，与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式及顶点的坐标；
（2）点在抛物线的对称轴上，当的周长最小时，求出点的坐标；
（3）若点为抛物线第四象限内一点，连接、、，求当的面积最大时点的坐标．
7．（2018•北京）在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，，抛物线经过点，将点向右平移5个单位长度，得到点．
（1）求点的坐标；
（2）求抛物线的对称轴；
（3）若抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围．
知识点4二次函数图象变换
1.图象的平移变换
平移规律：概括成八个字“左加右减，上加下减”．
2．二次函数图象与对称变换
二次函数关于坐标轴对称式规律：
原式
关于x轴对称
关于y轴对称
关于原点对称
【典例】
1.作抛物线A关于x轴对称的抛物线B，再将抛物线B向左平移2个单位，向上平移1个单位，得到的抛物线C的函数解析式是y=2（x+1）2﹣1，则抛物线A所对应的函数表达式是__________
2.顶点为P的抛物线y=x2﹣2x+3与y轴相交于点A，在顶点不变的情况下，把该抛物线绕顶点P旋转180°得到一个新的抛物线，且新的抛物线与y轴相交于点B，则△PAB的面积为______
【方法总结】
1.理解并掌握平移的过程，由，的图象与性质及上下平移与左右平移的规律：将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：
2.翻折和旋转：按照顶点的变化，进行变形。
【随堂练习】
1．（2019•朝阳区模拟）在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是．
（1）求抛物线表达式和顶点坐标；
（2）将该抛物线向右平移1个单位，平移后的抛物线与原抛物线相交于点，求点的坐标；
（3）抛物线与轴交于点，点关于平移后抛物线的对称轴的对称点为点，两条抛物线在点、和点、之间的部分（包含点、、 记为图象．将直线向下平移个单位，在平移过程中直线与图象始终有两个公共点，请你写出的取值范围 ．
2．（2019•常熟市二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点和，是轴正半轴上的一个动点，是线段的中点，将线段绕点顺时针旋转得线段，过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，两直线交于点．
（1）求、的值；
（2）当为何值时，点落在抛物线上．
3．（2019•莲池区一模）已知和是抛物线上的两点．
（1）求的值；
（2）将抛物线的图象向上平移（是正整数）个单位，使平移后的图象与轴无交点，求的最小值；
（3）将抛物线的图象在轴下方的部分沿轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合新图象回答：当直线与这个新图象有两个公共点时，求的取值范围．
知识点5二次函数的解析式
1. 一般式：（，，为常数，）；
2. 顶点式：（，，为常数，）；
3. 两根式：（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）.
【典例】
1.将抛物线y=﹣2（x+1）2+1绕其顶点旋转180°后得到抛物线的解析式为_____ 将抛物线y=﹣2（x+1）2+1绕原点旋转180°后得到抛物线的解析式为 ．
2.一个二次函数的图象经过（0，0），（﹣1，﹣1），（1，9）三点．则这个二次函数的解析式为 ．
3.已知二次函数中自变量x和函数值y的部分对应值如下表：
则该二次函数的解析式为 ．
【方法总结】
二次函数解析式的确定：
根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：
1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
3. 已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；
4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．
【随堂练习】
1．（2019•昆明模拟）如图，抛物线的图象经过点，点，点，与轴交于点，作直线，连接、．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）是抛物线上的点，求满足的点的坐标．
2．（2019•汇川区模拟）已知，点为二次函数图象的顶点，直线分别交轴正半轴，轴于点，．
（1）如图1，若二次函数图象也经过点，，试求出该二次函数解析式，并求出的值．
（2）如图2，点坐标为，点在内，若点，，，都在二次函数图象上，试比较与的大小．
3．（2019•台江区模拟）已知，抛物线的顶点为（其中．
（1）若抛物线经过和两点，且．
①求抛物线的解析式；
②若，设点，在抛物线上，比较，的大小关系，并说明理由；
（2）若，，直线与抛物线的交于点和点，点的横坐标为，点的横坐标为
，求出和的函数关系式；
（3）若点在抛物线上，且时，求的取值范围．
4．（2019•鹿城区模拟）如图，与抛物线相交于点，，，点在抛物线的对称轴上，已知点，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求的函数表达式．
5．（2019春•大连期末） 如图，已知二次函数的图象顶点在轴上，且，与一次函数的图象交于轴上一点和另一交点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点为线段上一点，过点作轴，垂足为，交抛物线于点，请求出线段的最大值．
6．（2019•仙桃模拟）如图，已知抛物线与轴交于点和，与轴交于
（1）求抛物线的解析式，并求出顶点的坐标．
（2）观察图象，直接写出一元二次不等式：解集为： 或
（3）若抛物线的对称轴交轴于点，求四边形的面积．
知识点6二次函数的最值
1. 一般地，抛物线的顶点就是抛物线的最低（高）点，当时，二次函数有最小（大）值；
2. 当自变量的范围中不包含顶点的横坐标时，要根据抛物线的增减规律来确定；
【典例】
1.已知二次函数y=﹣（x﹣h）2+1（为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最大值为﹣5，则h的值为________
2.已知二次函数y=x2+2x+m2+2m﹣1（m为常数），当自变量x的值满足1≤x≤3时，与其对应的函数值y的最小值为5，则m的值为_______
【方法总结】
a＞0，离对称轴越远值越大
a＜0，离对称轴越远值越小
点与对称轴距离
【随堂练习】
1．（2019春•无锡期中）若min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值，当y＝min{x2，x+2，8﹣x}时（x≥0），则y的最大值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
2．（2018秋•江干区期末）四位同学在研究函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）时，甲发现当x＝1时，函数有最大值；乙发现﹣1是方程ax2+bx+c＝0的一个根；丙发现函数的最大值为﹣1；丁发现当x＝2时，y＝﹣2，已知四位中只有一位发现的结论时错误的，则该同学是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
3．（2018秋•武昌区校级期末）正实数x，y满足xy＝1，那么的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．
二．填空题（共3小题）
4．（2018秋•萧山区期末）已知二次函数y＝ax2﹣4ax+3a
（1）若a＝1，则函数y的最小值为 ．
（2）若当1≤x≤4时，y的最大值是4，则a的值为 ．
5．（2019•晋江市一模）如图，点P为线段AB（不含端点A、B）上的动点，分别以AP、PB为斜边在AB的同侧作Rt△AEP与Rt△PFB，∠AEP＝∠EPF＝∠PFB＝90°，若AE+PF＝8，EP+FB＝6，则线段EF的取值范围是 ．
6．（2019•平邑县一模）对于两个实数，规定max{a，b}表示a、b中的较大值，当a≥b时，max{a，b}＝a，当a＜b时，max{a，b}＝b，例如：max{1，3}＝3．则函数y＝max{x2+2x+2，﹣x2﹣1}的最小值是 ．
综合运用: 函数的图象及其性质
1.写出经过点（0，0），（﹣2，0）的一个二次函数的解析式 （写一个即可）
2.已知反比例函数y=的图象经过点P（2，2），函数y=ax+b的图象与直线y=﹣x平行，并且经过反比例函数图象上一点Q（1，m）．则函数y=ax2+bx+有最 值，这个值是 ．
3.将抛物线y=x2+1向下平移1个单位后的抛物线的解析式为 ；若将原抛物线绕原点O旋转180°，则旋转后的抛物线的解析式为 ．
4.已知二次函数y=（m﹣2）x2+（m+3）x+m+2的图象过点（0，5）．
（1）求m的值，并写出二次函数的解析式；
（2）求出二次函数图象的顶点坐标和对称轴．
5.已知二次函数的解析式是y=x2﹣2x﹣3
（1）用配方法将y=x2﹣2x﹣3化成y=a（x﹣h）2+k的形式；
（2）在直角坐标系中，用五点法画出它的图象；
（3）当x为何值时，函数值y＜0．
6.如图是y=a（x+m）2的图象
（1）求二次函数的解析式；
（2）把抛物线y=﹣x2经过怎样的平移才能得到此抛物线；
（3）请指出该抛物线的顶点坐标、对称轴及函数具有的性质；
（4）将（1）中所求的抛物线绕顶点旋转180°，求旋转后的抛物线的解析式．
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