初中数学北师大版九年级上册1 反比例函数精练

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第7讲 反比例函数的图象及其性质知识点1反比例函数的概念1．反比例函数的概念一般地，函数（k是常数，k0）叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以写成的形式。自变量x的取值范围是x0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。2．反比例函数解析式的确定由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式。【典例】1.下列函数中，表示y是x的反比例函数的是（　　）A. y=        B. y=       C. y=2x       D. y= 2.已知反比例函数的图象过点M（﹣1，2），则此反比例函数的表达式为（　　）A. y=      B. y=﹣         C. y=    D. y=﹣ 3.函数y=（m+1）x是y关于x的反比例函数，则m=　　． 4.如图，在平面直角坐标系中，▱ABCO的顶点A、C的坐标分别为A（2，0）、C（﹣1，2），反比例函数y=（k≠0）（k≠0）的图象经过点B，则求反比例函数的表达式为　　． 【方法总结】反比例函数解析式注意，x的次数为-1，求解析式时可用k=xy.【随堂练习】1．（2019春•嘉兴期末）下列关于的函数中，属于反比例函数的是　　A． B． C． D． 2．（2019•依兰县模拟）下列函数中，经过一，三象限的反比例函数是　　A． B． C． D． 3．（2019春•阜宁县期中）下列函数：①，②，③，④，是的反比例函数的个数有　　A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．（2019春•太仓市期中）在下列函数中表示关于的反比例函数的是　　A． B． C． D． 5．（2018秋•道里区期末）下列选项中，两种量既不是成正比例的量，也不是成反比例的量的是　　A．时间一定，路程与速度 B．圆的周长与它的半径 C．被减数一定，减数与差 D．圆锥的体积一定，它的底面积与高 6．（2018秋•海安县期末）下列关系式中，是的反比例函数的是　　A． B． C． D． 7．（2019春•姑苏区期中）下列函数中是反比例函数的是　　A． B． C． D． 8．（2018秋•永登县期末）下列函数中是反比例函数的是　　A． B． C． D． 9．（2019•绥化模拟）当路程一定时，速度是时间的　　A．正比例函数 B．反比例函数 C．一次函数 D．无法确定  10．（2018秋•靖远县期末）已知函数，与成正比例，与成反比例，且当时，；当时，．与之间的函数关系式　　，当时，求　 　． 知识点2反比例函数的图象及其性质（1）反比例函数的图象反比例函数的图象是双曲线，有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量x0，函数y0，所以，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。（2）反比例函数的性质【典例】1.对于反比例函数y=﹣，下列说法不正确的是（　　）A. 图象分布在第二、四象限         B. 当x＞0时，y随x的增大而增大C. 图象经过点（1，﹣2）  D. 若点A（x1，y1），B（x2，y2）都在图象上，且x1＜x2，则y1＜y2 2.已知a＞﹣，若当1≤x≤2时，函数y=（a≠0）的最大值与最小值之差是1，则a的值为（　　）A. ﹣1              B. 1             C. 2            D. 3 3.已知关于x的方程（k﹣2）2x2+（2k+1）x+1=0有实数解，且反比例函数y=的图象经过第二、四象限，若k是整数，则k的值为______ 【方法总结】1.双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论.2.选择题考对称性时酌情考虑用特殊点排除不正确的答案.【随堂练习】1．（2019春•徐州期末）在同一平面直角坐标系中，函数与为常数，的图象大致是　　A． B． C． D．2．（2019春•沙坪坝区校级期末）函数与在同一坐标系中的图象可能是　　A． B． C． D．3．（2019春•文登区期末）如图，在同一平面直角坐标系中，函数与函数的图象大致是　　A． B． C． D．4．（2019•天宁区校级二模）方程的正根的个数是　　A．0个 B．1个 C．2个 D．3个5．（2019•娄底）将的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度所得图象如图，则所得图象的解析式为　　A． B． C． D．6．（2019•宁夏）函数和在同一直角坐标系中的大致图象是　　A． B． C． D．7．（2019春•常州期末）对于反比例函数的图象，下列说法不正确的是　　A．经过点 B．在第二、四象限 C．随的增大而增大 D．成中心对称8．（2019春•工业园区期末）下列关于反比例函数的说法中，错误的是　　A．图象经过点 B．当时， C．两支图象分别在第二、四象限 D．两支图象关于原点对称9．（2019春•徐州期末）已知反比例函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围是　　A． B． C． D．10．（2019春•文登区期末）已知函数是反比例函数，则此反比例函数的图象在　　A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、四象限 D．第二、三象限11．（2019春•富阳区期末）已知反比例函数，则下列结论正确的是　　A．其图象分别位于第一、三象限 B．当时，随的增大而减小 C．若点在它的图象上，则点也在它的图象上 D．若点，，，都在该函数图象上，且，则 知识点3系数K的几何意义①过双曲线(k≠0) 上任意一点作x轴、y轴的垂线段，所得矩形(如图)面积为。②过双曲线(k≠0) 上任意一点作任一坐标轴的垂线段，连接该点和原点，所得三角形（如图）的面积为． ③双曲线(k≠0) 同一支上任意两点、与原点组成的 三角形（如图）的面积=直角梯形的面积．【典例】1.函数y=和y=在第一象限内的图象如图，点P是y=的图象上一动点，PC⊥x轴于点C，交y=的图象于点B．给出如下结论：①△ODB与△OCA的面积相等；②PA与PB始终相等；③四边形PAOB的面积大小不会发生变化；④CA=AP．其中所有正确结论的序号是（　　）A. ①②③B. ②③④C. ①③④ D. ①②④ 2.如图，点A与点B分别在函数y=与y=的图象上，线段AB的中点M在y轴上．若△AOB的面积为2，则k1﹣k2的值是________ 3.如图，在以O为原点的直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数（x＞0）与AB相交于点D，与BC相交于点E，若BD=3AD，且△ODE的面积是12，则k=______ 【方法总结】反比例函数的比例系数k具有一定的几何意义，|k|等于反比例函数图象上任意一点向两坐标轴所作垂线段与两坐标轴所围成的矩形的面积．在反比例函数的图象中，涉及三角形或矩形的面积时，常用比例系数k的几何意义解决问题．【随堂练习】1．（2019•娄底）如图，的半径为2，双曲线的解析式分别为，则阴影部分的面积是　　A． B． C． D．2．（2019•东西湖区模拟）对于反比例函数，下列说法错误的是　　A．函数图象位于第一、三象限 B．函数值随的增大而减小 C．若、、是图象上三个点，则 D．为图象上任意一点，过作轴于，则的面积是定值3．（2019•渝中区二模）如图，平行于轴的直线与函数，．的图象分别相交于、两点，且点在点的右侧，在轴上取一点，使得的面积为3，则的值为　　A．6 B． C．3 D．4．（2018秋•河北区期末）对于反比例函数，下列所给的四个结论中，正确的是　　A．若点在其图象上，则也在其图象上 B．当时，随的增大而减小 C．过图象上任一点作轴、轴的垂线，垂足分别、，则矩形的面积为 D．反比例函数的图象关于直线和成轴对称5．（2018秋•青县期末）如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是和，设点在上，轴于点，交于点，则的面积为　　A．1 B．2 C．4 D．无法计算6．（2019•河东区一模）对于反比例函数，下列所给的四个结论中，正确的是　　A．若点在其图象上，则也在其图象上 B．当时，随的增大而减小 C．过图象上任一点作轴、轴的线，垂足分别、，则矩形的面积为 D．反比例函数的图象关于直线成轴对称 综合运用：反比例函数图象及其性质1.m为何值时，下列函数是反比例函数？（1）y=（m﹣1）；（2）y=． 2.【探究函数y=x+的图象与性质】（1）函数y=x+的自变量x的取值范围是　    ；（2）下列四个函数图象中，函数y=x+的图象大致是　　；（3）对于函数y=x+，求当x＞0时，y的取值范围．请将下列的求解过程补充完整．解：∵x＞0，∴y=x+=（）2+（）2=（﹣）2+　　．∵（﹣）2≥0，∴y≥　　．【拓展说明】（4）若函数y=（x＞0），求y的取值范围． 3.小张同学尝试运用课堂上学到的方法，自主研究函数y=的图象与性质．下面是小张同学在研究过程中遇到的几个问题，现由你来完成：（1）函数y=的定义域是　 　；（2）下表列出了y与x的几组对应值：表中m的值是　　；（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出以表中各组对应值为坐标的点，试由描出的点画出该函数的图象；（4）结合函数y=的图象，写出这个函数的性质：　 　．（只需写一个） 4.如图，已知反比例函数的图象的一支位于第一象限．（1）该函数图象的另一分支位于第　　象限，m的取值范围是　   ；（2）已知点A在反比例函数图象上，AB⊥x轴于点B，△AOB的面积为3，求m的值． 5.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．已知反比例函数y=（k＞0）的图象经过点A（2，m），过点A作AB⊥x轴于点B，且△AOB的面积为5．（1）求k和m的值；（2）当x≥8时，求函数值y的取值范围． 6.（1）点（3，6）关于y轴对称的点的坐标是 　　．（2）反比例函数关于y轴对称的函数的解析式为 　　．（3）求反比例函数（k≠0）关于x轴对称的函数的解析式． 7.如图，某反比例函数图象的一支经过点A（2，3）和点B（点B在点A的右侧），作BC⊥y轴，垂足为点C，连结AB，AC．（1）求该反比例函数的解析式；（2）若△ABC的面积为6，求直线AB的表达式．