初中数学北师大版九年级上册8 图形的位似练习题

这是一份初中数学北师大版九年级上册8 图形的位似练习题，文件包含北师大版初三数学上册秋季班讲义第6讲相似模型总结--尖子班教师版docx、北师大版初三数学上册秋季班讲义第6讲相似模型总结--尖子班学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共37页， 欢迎下载使用。

第6讲 相似模型总结

知识点1 平行线型
平行型：（A型、X型）

（1）如图1所示，△ABC中，DE∥BC，则△ADE∽△ABC，可以得到的比例线段主要有AD：AB＝AE：AC＝DE：BC; AD：BD＝AE：EC．
（2）如图2所示，线段AB∥线段CD，且AD、BC交于点E，则△ABE∽△DCE，可以得到的比例线段主要有AB：CD＝AE：DE＝BE：EC．
【典例】
1.如图，和相交于点，.
⑴ 证明：，.
⑵ 求证：.

【解析】⑴ ∵
∴

∴，
⑵ 由⑴可知，
∴
∴
即
∴
2.如图，已知△ABC中，AB=，AC=，BC=6，点M为AB的中点，在线段AC上取点N，使△AMN与△ABC相似，求MN的长．

【解析】解：①图1，作MN∥BC交AC于点N，则△AMN∽△ABC，

有，
∵M为AB中点，AB=，
∴AM=，
∵BC=6，
∴MN=3；
②图2，作∠ANM=∠B，则△ANM∽△ABC，
有，
∵M为AB中点，AB=，
∴AM=，
∵BC=6，AC=，
∴MN=，
∴MN的长为3或．
【方法总结】
此类型的题目主要是观察出平行线构造出的相似模型，如果没有的话则需要添加辅助线，构造基本相似模型.


【随堂练习】
1．（2017秋•甘井子区期末）【阅读理解】小白同学遇到这样一个问题：
△ABC中，D是BC的中点，E是AB上一点，延长DE、AC交于点F，DE=EF，AB=5，求AE的长．
小白的想法是：过点E作EH∥BC交AC于H，再通过相似三角形的性质得到AE、BE的比，从而得出AE的长，请你按照小白的思路完成解答．
【解决问题】请借助小白的解题经验，完成下面问题：
△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D，E为AB边上一点，AE=AD，H、Q为BC上两点，CQ=DH，DQ=mDH，G为AC上一点，连接EQ交HG、AD于F、P，∠EFG+∠EAD=180°，猜想并验证EP与GH的数量关系．

【解答】解：【阅读理解】
如图1，过点E作EH∥BC交AC于H，
∴∠FEH=∠FDC，∠FHE=∠C，
∴△FEH∽△FDC，
∴，
∵DE=EF，
∴，
∵BD=DC，
∴，
同理得：△AEH∽△ABC，
∴，
∵AB=5，
∴AE=；
【解决问题】
猜想：=，理由是：
如图2，过D作DM∥GH，交AC于M，
∴∠CMD=∠CGH，∠CDM=∠CHG，
∴△CDM∽△CHG，
∴，
设DH=CQ=x，则DQ=mx，
∴==，
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAP=∠DAM，
∵∠EFG+∠EAD=180°，
∴∠AEP+∠ANF=180°，
∵GH∥DM，
∴∠ADM+∠DNG=∠ADM+∠ANF=180°，
∴∠ADM=∠AFP，
∵AE=AD，
∴△AEP≌△ADM，
∴EP=DM，
∴=．


2．（2018•东营）（1）某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目：
如图1，在△ABC中，点O在线段BC上，∠BAO=30°，∠OAC=75°，AO=，BO：CO=1：3，求AB的长．
经过社团成员讨论发现，过点B作BD∥AC，交AO的延长线于点D，通过构造△ABD就可以解决问题（如图2）．
请回答：∠ADB=____°，AB=____．
（2）请参考以上解决思路，解决问题：
如图3，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥AD，AO=，∠ABC=∠ACB=75°，BO：OD=1：3，求DC的长．

【解答】解：（1）∵BD∥AC，
∴∠ADB=∠OAC=75°．
∵∠BOD=∠COA，
∴△BOD∽△COA，
∴==．
又∵AO=，
∴OD=AO=，
∴AD=AO+OD=4．
∵∠BAD=30°，∠ADB=75°，
∴∠ABD=180°﹣∠BAD﹣∠ADB=75°=∠ADB，
∴AB=AD=4．
故答案为：75；4．
（2）过点B作BE∥AD交AC于点E，如图所示．
∵AC⊥AD，BE∥AD，
∴∠DAC=∠BEA=90°．
∵∠AOD=∠EOB，
∴△AOD∽△EOB，
∴==．
∵BO：OD=1：3，
∴==．
∵AO=3，
∴EO=，
∴AE=4．
∵∠ABC=∠ACB=75°，
∴∠BAC=30°，AB=AC，
∴AB=2BE．
在Rt△AEB中，BE2+AE2=AB2，即（4）2+BE2=（2BE）2，
解得：BE=4，
∴AB=AC=8，AD=12．
在Rt△CAD中，AC2+AD2=CD2，即82+122=CD2，
解得：CD=4．


知识点2 垂直型

如图所示，△ABC中，∠BAC是直角，并且高AD把这个三角形分成两个小直角三角形，这时候△ABC与这两个三角形都是相似的.
【典例】
1.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，
（1）写出图中所有相似三角形：　 　（不需证明）；
（2）如果AB=10，AC=8，以AB为x轴，CD为y轴，点D为坐标原点O，建立直角坐标系（如下图），求点A、点B、点C坐标；
（3）在（2）的情况下，若点P从C点出发，以每秒1个单位的速度沿线段CB运动，点Q出B点出发，以每秒1个单位的速度沿线段BA运动，其中一点最先到达线段的端点时，两点即刻同时停止运动；设运动时间为t秒．是否存在点Q，使以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【解析】解：（1）图（1）中共有3对相似三角形，分别为：△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD．
故答案为：△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD；
（2）如图（2），在△ABC中，∵∠ACB=90°，AB=10，AC=8，
∴BC==6．
∵△ABC的面积=AB•CO=AC•BC，
∴CO==4.8，
∴AO==6.4，
∴OB=3.6，
∴A（﹣6.4，0）．B（3.6，0），C（0，4.8）
（3）存在点P，使以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，理由如下：
在△BOC中，∵∠COB=90°，BC=6，OC=4.8，
∴OB=3.6．
分两种情况：
①当∠BQP=90°时，如图2①，此时△PQB∽△ACB，
∴=，
∴=，
解得t=2.25，即BQ=CP=2.25，
∴BP=BC﹣CP=6﹣2.25=3.75．
在△BPQ中，由勾股定理，得PQ==3，
∴点P的坐标为（1.35，3）；
②当∠BPQ=90°时，如图2②，此时△QPB∽△ACB，
∴=，
∴=，
解得t=3.75，即BQ=CP=3.75，BP=BC﹣CP=6﹣3.75=2.25．
过点P作PE⊥x轴于点E．
∵△QPB∽△ACB，
∴=，即=，
∴PE=1.8．
在△BPE中，BE==1.35，
∴OE=OB﹣BE=3.6﹣1.35=2.25，
∴点P的坐标为（2.25，1.8）（不合题意，舍去）．
综上可得，点P的坐标为（1.35，3）；（2.25，3）．

【方法总结】
垂直模型的特征比较明显，一定是出现在直角三角形中，解题时候很好辨认出该模型，解题时，可以根据射影定理进行计算求解（直角三角形中,斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项.每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项）
【随堂练习】
1．（2017秋•鄄城县期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，D为BC的中点．若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t＜6），连接DE，当△BDE是直角三角形时，求t的值．

【解答】解：∵∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，
∴AB=BC÷cos60°=2÷=4，
①∠BDE=90°时，
∵D为BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴AE=AB=×4=2（cm），
点E在AB上时，t=2÷1=2（秒），
点E在BA上时，点E运动的路程为4×2﹣2=6（cm），
∴t=6÷1=6（秒）（舍去）；
②∠BED=90°时，BE=BD•cos60°=×2×=0.5，
点E在AB上时，t=（4﹣0.5）÷1=3.5（秒），
点E在BA上时，点E运动的路程为4+0.5=4.5（cm），
t=4.5÷1=4.5（秒），
综上所述，t的值为2或3.5或4.5．

知识点3 斜交型（反A）

如图3中的△ADE和△ACB，图4中的△ACD和△ABC，都有一个公共角相等，只需要知道另一对角相等，就可得到相似，这样的相似属于反A共角形相似．

对于平行中的八字形也有类似的变式，如图所示，△ABJ和△CDJ相似
【典例】
1.如图，D是△ABC的边BC上一点，AB=4，AD=2，∠DAC=∠B．如果△ABD的面积为15，那么△ACD的面积为_______

【答案】5
【解析】解：∵∠DAC=∠B，∠C=∠C，
∴△ACD∽△BCA，
∵AB=4，AD=2，
∴△ACD的面积：△ABC的面积为1：4，
∴△ACD的面积：△ABD的面积=1：3，
∵△ABD的面积为15，
∴△ACD的面积∴△ACD的面积=5．
2.如图，添加一个条件：　 　，使△ADE∽△ACB，（写出一个即可）

【答案】∠ADE=∠ACB
【解析】解：由题意得，∠A=∠A（公共角），
则可添加：∠ADE=∠ACB，利用两角法可判定△ADE∽△ACB．
故答案可为：∠ADE=∠ACB．
【方法总结】
斜交型解题时难点在于对应角和对应边的关系，千万不能写错，有一个简单的方法是短边对短边，长边对长边，根据两个三角形中线段直观长度进行判断对应边，但是动点题要谨慎使用这个方法
【随堂练习】
1．（2018•玄武区二模）在△ABC中，AB=6，AC=8，D、E分别在AB、AC上，连接DE，设BD=x（0＜x＜6），CE=y（0＜y＜8）．
（1）当x=2，y=5时，求证：△AED∽△ABC；
（2）若△ADE和△ABC相似，求y与x的函数表达式．

【解答】解：（1）∵AB=6，BD=2，
∴AD=4，
∵AC=8，CE=5，
∴AE=3，
∴==，==，
∴=，∵∠EAD=∠BAC，
∴△AED∽△ABC；

（2）①若△ADE∽△ABC，则=，
∴y=x（0＜x＜6）．
②若△ADE∽△ACB，则=，
∴y=x+（0＜x＜6）．

知识点4 旋转型
如图1，∠A＝∠B＝∠DCE＝90°，则△ACD∽△BEC；如图2，∠A＝∠B＝∠DCE，
则ACD∽△BEC；图1、图2这样的相似模型叫做“K”型

由A字旋转得到的图形，也是常考的相似模型，如下图所示

【典例】
1.△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，∠A=∠D=90°，△DEF的顶点E位于边BC的中点上．
（1）如图1，设DE与AB交于点M，EF与AC交于点N，求证：△BEM∽△CNE；
（2）如图2，将△DEF绕点E旋转，使得DE与BA的延长线交于点M，EF与AC交于点N，于是，除（1）中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论．

【解析】证明：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠MBE=45°，∴∠BME+∠MEB=135°
又∵△DEF是等腰直角三角形，∴∠DEF=45°
∴∠NEC+∠MEB=135°
∴∠BEM=∠NEC，
而∠MBE=∠ECN=45°，
∴△BEM∽△CNE．
（2）与（1）同理△BEM∽△CNE，
∴．
又∵BE=EC，
∴，
则△ECN与△MEN中有，
又∠ECN=∠MEN=45°，
∴△ECN∽△MEN．
2.已知：如图①所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B，A，D在一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点．
（1）求证：①BE=CD；②△AMN是等腰三角形；
（2）在图①的基础上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立；
（3）在（2）的条件下，请你在图②中延长ED交线段BC于点P．求证：△PBD∽△AMN．

【解析】（1）证明：①∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAE=∠CAD，
∵AB=AC，AD=AE，
∴△ABE≌△ACD，
∴BE=CD．
②由△ABE≌△ACD，得
∠ABE=∠ACD，BE=CD，
∵M、N分别是BE，CD的中点，
∴BM=CN．
又∵AB=AC，
∴△ABM≌△ACN．
∴AM=AN，即△AMN为等腰三角形．
（2）解：（1）中的两个结论仍然成立．
（3）证明：在图②中正确画出线段PD，
由（1）同理可证△ABM≌△ACN，
∴∠CAN=∠BAM∴∠BAC=∠MAN．
又∵∠BAC=∠DAE，
∴∠MAN=∠DAE=∠BAC．
∴△AMN，△ADE和△ABC都是顶角相等的等腰三角形．
∴△PBD和△AMN都为顶角相等的等腰三角形，
∴∠PBD=∠AMN，∠PDB=∠ANM
∴△PBD∽△AMN．
【方法总结】
旋转型是相似模型中综合度最高的一类，往往结合其他知识一起出题，解题时旋转的那个角一般是相似证明过程中的一组对应角之一，利用好这个特征， 根据它所在的三角形就比较容易判断出相似模型了.
【随堂练习】
1．（2017•济宁二模）将两块全等的三角板如图1摆放，其中∠A1CB1=∠ACB=90°，∠A1=∠A=30°．
（1）将图1中△A1B1C绕点C顺时针旋转45°得图2，点P1是A1C与AB的交点，点Q是A1B1与BC的交点，求证：CP1=CQ；
（2）在图2中，若AP1=a，则CQ等于多少？
（3）将图2中△A1B1C绕点C顺时针旋转到△A2B2C（如图3），点P2是A2C与AP1的交点．当旋转角为多少度时，有△AP1C∽△CP1P2？这时线段CP1与P1P2之间存在一个怎样的数量关系？．
【解答】（1）证明：∵∠B1CB=45°，∠B1CA1=90°，
∴∠B1CQ=∠BCP1=45°；
又B1C=BC，∠B1=∠B，
∴△B1CQ≌△BCP1（ASA）
∴CQ=CP1；

（2）解：如图：作P1D⊥AC于D，
∵∠A=30°，
∴P1D=AP1；
∵∠P1CD=45°，
∴=sin45°=，
∴CP1=P1D=AP1；
又AP1=a，CQ=CP1，
∴CQ=a；

（3）解：当∠P1CP2=∠P1AC=30°时，由于∠CP1P2=∠AP1C，则△AP1C∽△CP1P2，
所以将图2中△A1B1C绕点C顺时针旋转30°到△A2B2C时，有△AP1C∽△CP1P2．
这时==，
∴P1P2=CP1．


综合运用：相似模型总结
1.已知：如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为A（-4，0），
B（0，3）
（1）求AB的长；
（2）过点B作BC⊥AB，交轴于点C，求点C的坐标；
（3）在（2）的条件下，如果P、Q分别是AB和AC上的动点，连接PQ，设AP＝CQ＝x，问是否存在这样的使得△APQ与△ABC相似？若存在，请求出的x值；若不存在，请说明理由．

【解析】解：（1）∵点A、B的坐标分别为A（-4，0），B（0，3），∴OB=3，AO=4，∴AB=5；
∵BC⊥AB，BO⊥AC，
∴BO2=AO•OC，即OC=＝=2.25，
∴C点的坐标是（2.25，0）；
（2）当△APQ与∽△ABC时，PQ∥BC，
∴，
∵AP=CQ=x，
∴
解得；
当△APQ与∽△ACB时，同理 解得
答：（1）AB的长为5；（2）C的坐标为（2.25，0）；
（3） 存在，x的值为或．

2.如图，△ABC中，AB=AC，E在BA的延长线上，AD平分∠CAE．
（1）求证：AD∥BC；
（2）过点C作CG⊥AD于点F，交AE于点G，若AF=4，求BC的长．

【解析】（1）证明：∵AD平分∠CAE，
∴∠DAG=∠CAG，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵∠CAG=∠B+∠ACB，
∴∠B=∠CAG，
∴∠B=∠CAG，
∴AD∥BC；
（2）解：∵CG⊥AD，
∴∠AFC=∠AFG=90°，
在△AFC和△AFG中，
，
∴△AFC≌△AFG（ASA），
∴CF=GF，
∵AD∥BC，
∴△AGF∽△BGC，
∴GF：GC=AF：BC=1：2，
∴BC=2AF=2×4=8
3.探索绕公共顶点的相似多边形的旋转：
（1）如图1，已知：等边△ABC和等边△ADE，根据　 　（指出三角形的全等或相似），可得CE与BD的大小关系为：　 　．
（2）如图2，正方形ABCD和正方形AEFG，求：的值；
（3）如图3，矩形ABCD和矩形AEFG，AB=kBC，AE=kEF，求：的值．（用k的代数式表示）

【解析】解：（1）如图1，
∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AE=AD，AC=AB，∠CAB=∠EAD．
∴∠CAE=∠BAD．
在△AEC和△ADB中，
．
∴△AEC≌△ADB．
∴CE=BD．
故答案分别为：△AEC≌△ADB、CE=BD．
（2）如图2，
∵四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，
∴AC=AB，AF=AE，∠CAB=∠FAE=45°．
∴==，∠CAF=∠BAE．
∴△AFC∽△AEB．
∴==．
∴的值为．
（3）连结FA、CA，如图3，
∵四边形ABCD和四边形AEFG都是矩形，AB=kBC，AE=kEF，
∴∠FEA=∠CBA=90°，==k．
∴△FEA∽△CBA．
∴=，∠FAE=∠CAB．
∴∠FAC=∠EAB．
∴△FAC∽△EAB．
∴=
∵AC===BC．
∴==．
∴的值为．

4.如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，点F在边AD的延长线上，且DF=BE，BE与CD交于点G
（1）求证：BD∥EF；
（2）若=，BE=4，求EC的长．

【答案】
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC．
∵DF=BE，
∴四边形BEFD是平行四边形，
∴BD∥EF；
（2）∵四边形BEFD是平行四边形，
∴DF=BE=4．
∵DF∥EC，
∴△DFG∽CEG，
∴=，
∴CE==4×=6．