北师大版 (2019)选择性必修 第一册4.3 用向量方法研究立体几何中的度量关系精品练习题

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课时把关练§4  向量在立体几何中的应用4.3  用向量方法研究立体几何中的度量关系（1）——空间中的角1.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和AC1所成角的余弦值是（　）A.         B.           C.            D. 2.如图，圆锥的底面直径AB＝2，其侧面展开图为半圆，底面圆的弦AD＝，则异面直线AD与BC所成的角的余弦值为（　）A. 0         B.           C.            D. 3.已知在正三棱柱ABC-A′B′C′中，底面边长为2，AA′＝，则直线AB′与直线A′C所成角的余弦值为（　）A.          B. -          C.            D. -4.如图，在四棱锥P­ABCD中，PD⊥底面ABCD，ABCD为正方形，且PD＝AB＝1，G为△ABC的重心，则PG与底面所成角的余弦值为(　　)A．        B．        C．        D．5.如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为(　　)A．        B．         C．          D．6.把矩形ABCD沿对角线BD折成二面角A­BD­C，若AB＝1，AD＝，AC＝，则平面ABD与平面BCD的夹角为(　　)A．30°        B．60°         C．120°          D．90°7.如图，在四棱锥A-BCDE中，DE∥CB，BE⊥平面ABC，BE＝3，AB＝CB＝AC＝2DE＝2，则异面直线CD与AE所成角的余弦值为 （　）A.       B.           C.         D. 8.已知梯形CEPD如图①所示，其中PD＝8，CE＝6，A为线段PD的中点，四边形ABCD为正方形，现沿AB进行折叠，使得平面PABE⊥平面ABCD，得到如图②所示的几何体.已知当点F满足＝（0<<1）时，平面DEF⊥平面PCE，则的值为（　）   ①             ②A.          B.         C.         D. 9.如图，在三棱锥P-ABC中，AB＝AC＝PB＝PC＝5，PA＝4，BC＝6，点M在平面PBC内，且AM＝，设异面直线AM与BC所成的角为，则cos 的最大值为（　）A.       B.       C.        D. 10.［多选题］如图，已知E，F分别是正方体ABCD- A1B1C1D1的棱BC和CD的中点，则（　）A. A1D与B1D1是异面直线              B. A1D与EF所成角的大小为45°C. A1F与平面B1EB所成角的余弦值为   D. 二面角C-D1B1-B的余弦值为11.如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E，F分别是边AB，CD的中点，将正方形ADFE绕FE旋转到A1D1FE的位置，使得二面角A1-EF-B的大小为120°，则异面直线A1F与CE所成角的余弦值为　　　　.12.如图，已知四边形ABCD为圆柱的轴截面，AB＝BC＝2，E，F为上底圆上的两个动点，且EF过圆心G，当三棱锥A-BEF的体积最大时，直线AC与平面BEF所成角的正弦值为　　　　.13.如图，在三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，D为棱AC的中点，M为DP的中点，N为棱PC上靠近点C的三等分点，PA＝PC＝AB＝BC＝2，AB⊥BC.（1）若点H在线段BD的延长线上，且DB＝DH，问：在棱AP上是否存在点E，使得HE与BN垂直？请说明理由.（2）求平面BMN与平面ABC所成锐二面角的余弦值.     
课时把关练§4  向量在立体几何中的应用4.3  用向量方法研究立体几何中的度量关系（1）——空间中的角参考答案1.C    2.C     3.A     4.B     5.D     6.B     7.A     8.D     9.D     10.AD 11.　   12.      13.解：∵ PA＝PC，D为AC的中点，∴ PD⊥AC.同理可证BD⊥AC.∵ 平面PAC⊥平面ABC，PD平面PAC，PD⊥AC，平面PAC∩平面ABC＝AC，∴ PD⊥平面ABC，∴ PD⊥AD，且PD⊥BD.以D为原点，DA，DB，DP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A（，0，0），B（0，，0），C（-，0，0），H（0，-，0）， P（0，0，），∴，，∴＝，＝，＝（，，0），＝（-，0，）.（1）不存在.理由如下：设＝（0≤k≤1），则＝+＝+＝（（1-k），， k），∴＝·（（1-k），， k）＝2k-.∵ 0≤k≤1，∴ 2k-≠0，即≠0，故不存在满足条件的点E.（2）设n＝（x，y，z）是平面BMN的一个法向量，∴ 化简得令y＝2，则n＝（-1，2，4）.又＝（0，0，）是平面ABC的一个法向量，∴ cos〈·n〉＝＝＝，∴ 平面BMN与平面ABC所成锐二面角的余弦值为.