北师大版高中数学选择性必修第一册3-4-3-2利用向量方法求空间中的距离问题学案

第2课时　利用向量方法求空间中的距离问题

知识点一　点到直线的距离

点到直线的距离：已知直线l的单位方向向量为t0，A是直线l上的定点，P是直线l外一点．如图，设＝a，则向量在直线l上的投影向量＝________.点P到直线l的距离|PQ|＝＝________.

答案：(a·t0)t0　

知识点二　点到平面的距离

点到平面的距离：设α是过点P垂直于向量n0的平面，A是平面α外一定点，如图，试根据下面的提示填空：

(1)作法：AA′⊥α，垂足为A′.

(2)结论：①点A到平面α的距离d等于线段________的长度；

②向量在n0上的投影向量的长度|·n0|等于线段________的长度；

③向量公式：d＝________.

答案：(2)①AA′　②AA′　③|·n0|

[重点理解]

1．求点到平面的距离，其向量方法实质就是求出法向量与斜线段对应的向量的数量积的绝对值，再除以法向量的模即可．由距离的定义可知，直线与它的平行平面的距离、两个平行平面的距离都可以转化为点到平面的距离．

2．关于点到直线距离的理解

点到直线的距离，即点到直线的垂线段的长度，由于直线与直线外一点确定一个平面，所以空间点到直线的距离问题可转化为空间某一个平面内点到直线的距离问题．

(1)点在直线上时，点到直线的距离为0.

(2)点在直线外时，点到直线的距离即此点与过此点向直线作垂线的垂足间的距离，即点到直线的距离可转化为两点间的距离．

[自我排查]

1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“”)

(1)点到直线的距离是指过该点作直线的垂线，该点与垂足间的距离．(√)

(2)直线到平面的距离指直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离．(√)

(3)两异面直线间的距离不能转化为点到平面的距离．()

(4)平面α外一点P到平面α的距离在平面α内任一点与点P的距离中最短．(√)

(5)设n是平面α的法向量，AB是平面α的一条斜线段，点A在平面α上，则点B到平面α的距离d＝.(√)

(6)若直线l与平面α平行，则直线l上任意一点与平面α内任意一点的距离就是直线l与平面α的距离．()

2．已知向量n＝(2,0,1)为平面α的一个法向量，点A(－1,2,1)在α内，则P(1,2，－2)到α的距离为(　　)

A.  B.  C．2  D.

答案：A

3．已知直线l过点A(1，－1,2)，和l垂直的一个向量为n＝(－3,0,4)，则P(3,5,0)到l的距离为(　　)

A．5  B．14  C.  D.

答案：C

4．(2022山东五莲县模拟)已知向量n＝(2,0,1)为平面α的法向量，点A(－1,2,1)在α内，则点P(1,2,2)到平面α的距离为(　　)

A.  B.  C．2  D.

答案：B

5．在空间直角坐标系中，点(4，－1,2)与原点的距离为________．

答案：

研习1  求点到直线的距离

[典例1]　在棱长为2的正方体A1B1C1D1－ABCD中，E，F分别是棱C1C和D1A1的中点，求点A到直线EF的距离．

[解]　以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则A(2,0,0)，E(0,2,1)，F(1,0,2)．

所以直线EF的方向向量＝(1，－2,1)．向量＝(－1,0,2)．因为在上的投影为·＝，所以点A到直线EF的距离d＝＝.

[巧归纳]　求空间点到直线的距离：思路一(几何法)：先作出点到直线的垂线段，再构造直角三角形，求该垂线段的长度．

思路二(向量法)：利用公式d＝求点到直线的距离的步骤：直线的方向向量→所求点到直线上一点的向量及其在直线的方向向量上的投影→代入公式．

[练习1](2022湖南邵东第一中学月考)在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M是线段DC1上的动点，则M点到直线AD1距离的最小值为________．

答案：

解析：以A为坐标原点，AD，AB，AA所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，

A(0,0,0)，D(a,0,0)，C1(a，a，a)，D1(a,0，a)，＝(0，a，a)，＝(a,0，a)，则M点到直线AD1距离的最小值为两异面直线AD1和DC1间的距离，设他们的公垂线所在的向量为n＝(x，y，z)，由令x＝1，则y＝1，z＝－1，所以n＝(1,1，－1)，＝(a,0,0)，则两异面直线AD1和DC1间的距离为＝＝a，故答案为.

研习2  求线面距

[典例2]　棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是线段BB1，B1C1的中点，则直线MN到平面ACD1的距离为________．

答案：

[解析]　如图，以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．

则D(0,0,0)，C(0,1,0)，D1(0,0,1)，M，A(1，0,0)．∴＝，＝(－1,1,0)，＝(－1,0,1)．设平面ACD1的法向量为n＝(x，y，z)，则即令x＝1，则y＝z＝1，∴n＝(1,1,1)．∴点M到平面ACD1的距离d＝＝.又？瘙綉，故MN∥平面ACD1.故直线MN到平面ACD1的距离为.

[巧归纳]　求直线到平面的距离，往往转化为点到平面的距离求解，且这个点要适当选取，以求解最为简单为准则．求直线到平面的距离的题目不多，因线面距可用点面距求解，但在求点到平面的距离时有时用直线到平面的距离过渡．

[练习2](2022天津第五十五中学月考)如图，四棱锥P－ABCD中，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC＝AD＝2DC＝2CB，E为PD的中点．

(1)证明：CE∥平面PAB；

(2)求直线CE与平面PAB间的距离．

(1)证明：取PA的中点M，连接BM，EM，∵E为PD的中点，∴EM∥AD∥BC，EM＝AD＝BC，∴四边形BCEM为平行四边形，∴CE∥BM，∵CE⊄平面PAB，BM⊂平面PAB，∴CE∥平面PAB.

(2)解：∵CE∥平面PAB，∴点E到平面PAB的距离即为所求．设PC＝AD＝2DC＝2CB＝2，取AD的中点N，连接BN，PN，则四边形BCDN为矩形，BN＝CD＝1.∵△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，∴PN⊥AD，PN＝AD＝1，∵BN⊥AD，PN∩BN＝N，PN，BN⊂平面PNB，∴AD⊥平面PNB，又BC∥AD，∴BC⊥平面PNB.∵BC⊂平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面PNB，以B为原点，BC，BN分别为x轴、y轴，在平面PNB内，作Bz⊥平面ABCD，建立如图所示的空间直角坐标系，

则B(0,0,0)，A(－1,1,0)，D(1,1,0)．∵BC⊥平面PNB，∴BC⊥PB，在Rt△PBC中，PB＝＝＝，∵BN＝PN＝1，

∴∠PNB＝120°，∴P，E，＝，＝(－1,1,0)，＝.设平面PAB的法向量为n＝(x，y，z)，则即令x＝1，则y＝1，z＝－，∴n＝(1,1，－)，∴点E到平面PAB的距离d＝＝＝＝，故直线CE与平面PAB间的距离为.

研习3  求面面距

[典例3]　(2022辽宁瓦房店市实验高级中学月考)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点E在棱BB1上，EB1＝1，D，F，G分别为CC1，B1C1，A1C1的中点，EF与B1D相交于点H.

(1)求证：B1D⊥平面ABD；

(2)求证：平面EGF∥平面ABD；

(3)求平面EGF与平面ABD的距离．

(1)[证明]　如图所示建立空间直角坐标系，设AB＝a(a＞0)，则A1(a,0,0)，B1(0,0,0)，C1(0,2,0)，F(0,1,0)，E(0,0,1)，A(a,0,4)，B(0,0,4)，D(0,2,2)，

G.所以＝(0,2,2)，＝(－a,0,0)，＝(0,2，－2)．所以·＝0＋0＋0＝0，·＝0＋4－4＝0.所以⊥，⊥，所以B1D⊥AB，B1D⊥BD.又AB∩BD＝B，所以B1D⊥平面ABD.

(2)[证明]　由(1)可得＝(－a,0,0)，＝(0,2，－2)，＝，＝(0,1，－1)，所以＝2，＝2，所以∥，∥.所以GF∥AB，EF∥BD，.又GF∩EF＝F，AB∩BD＝B，所以平面EGF∥平面ABD.

(3)[解]　由(1)(2)知，是平面EGF和平面ABD的法向量．因为平面EGF∥平面ABD，所以点E到平面ABD的距离就是两平面的距离，设为d.因为＝(0,0,3)，＝(0,2,2)，

所以d＝＝＝.即两平面间的距离为.

[巧归纳]　求两个平行平面间的距离也可以转化为求直线与平面间的距离或点到平面的距离．

[练习3]正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，则平面AB1D1到平面BDC1的距离为(　　)

A.a   B.a

C.a   D.a

答案：D

解析：可证得A1C⊥平面AB1D1，平面AB1D1∥平面BDC1，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系(图略)，则平面AB1D1的一个法向量为n＝(1，－1,1)，A(a,0,0)，B(a，a,0)，＝(0，－a,0)，则两平面间的距离为d＝＝＝a.

1．已知AB，BC，CD为两两垂直的三条线段，且它们的长都为2，则AD的长为(　　)

A．4   B．2

C．3   D．2

答案：D

解析：取基底，，，则＝＋＋，所以2＝(＋＋)2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝12.所以||＝2.

2．已知直线l过定点A(2,3,1)，且方向向量为n＝(0,1,1)，则点P(4,3,2)到l的距离为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案：A

解析：＝(－2,0，－1)，||＝，＝，则点P到直线l的距离d＝＝＝.

3．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到截面AB1D1的距离为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案：C

解析：以D为坐标原点，，，为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系(图略)，则A(2,0,0)，B1(2,2,4)，D1(0,0,4)，A1(2,0,4)，＝(0，－2,0)，＝(0，－2，－4)，＝(－2，－2,0)，设n＝(x，y，z)为平面AB1D1的法向量，由得y＝－x＝－2z，可取n＝(2，－2,1)，则A1到面AB1D1的距离为＝.

4．(2022山东师范大学附中月考)四棱锥P－ABCD中，＝(2，－1,3)，＝(－2,1,0)，＝(3，－1,4)，则这个四棱锥的高为(　　)

A.   B.

C.   D.

答案：A

解析：设平面ABCD的法向量为n＝(x，y，z)，则∴令x＝1可得y＝2，z＝0，即n＝(1,2,0)，

∴P到平面ABCD的距离为＝，即四棱锥P－ABCD的高为.故选A.

5．在空间直角坐标系Oxyz中，平面OAB的一个法向量为n＝(2，－2,1)．已知点P(－1,3,2)，则点P到平面OAB的距离d＝________.

答案：2

解析：d＝＝＝2.

[误区警示]

误把法向量的长度当成点到平面的距离致错

[示例]　如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，侧棱AA1＝2，D，E分别是CC1，A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G，求点A1到平面AED的距离．

[正解]　建立如图所示的空间直角坐标系，设AC＝2a(a>0)，则A(2a,0,0)，B(0,2a,0)，D(0,0,1)，A1(2a,0,2)，E(a，a,1)，G，

从而＝，＝(0，－2a,1)，＝(2a,0，－1)，＝(a，a,0)．

∵⊥，

∴·＝0，

∴a＝1.

设n＝(x，y，z)为平面AED的法向量，

则

即

令x＝1，则y＝－1，z＝2，可得平面AED的一个法向量为n＝(1，－1,2)．

又＝(0,0,2)，

于是点A1到平面AED的距离为d＝＝.

[易错警示]　本题易错的地方是认为法向量的长度就是点到平面的距离，得到点A到平面AED的距离为d＝n＝.