高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册4.3 用向量方法研究立体几何中的度量关系第二课时学案

这是一份高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册4.3 用向量方法研究立体几何中的度量关系第二课时学案，共10页。

要点 两个平面所成的角
一般地，已知n1，n2分别为平面α，β的法向量，则二面角α­l­β的平面角与两法向量所成角〈n1，n2〉相等或互补．
则cs 〈n1，n2〉＝________________．
状元随笔 当〉≤时，两个平面的夹角θ＝〉，此时cs θ＝〉＝
当〉≤π时，
两个平面的夹角θ＝〉，
此时，cs θ＝〉)＝〉＝.
[基础自测]
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若向量n1，n2分别为二面角的两半平面的法向量，则二面角的平面角的余弦值为cs 〈n1，n2〉＝.( )
(2)二面角α－l－β的大小为θ，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则θ＝〈n1，n2〉．( )
(3)若二面角两个面的法向量的夹角为120°，则该二面角大小等于60°或120°.( )
2．三棱锥A­BCD中，平面ABD与平面BCD的法向量分别为，若〉＝，则二面角A­BD­C的大小为( )
A． B． C．或 D．或
3．若平面α的一个法向量为n1＝(1，0，1)，平面β的一个法向量是n2＝(－3，1，3)，则平面α与β所成的角等于( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
4．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD夹角的余弦值为________.
题型一 两个平面所成的角
例1 如图，已知ABCD为直角梯形，∠DAB＝∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝.求平面SAB与平面SCD所成二面角的平面角的余弦值．
方法归纳
利用法向量求二面角的大小的一般步骤
1．建立适当的空间直角坐标系．
2．分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量．
3．求出两个法向量的夹角的余弦值．
4．确定二面角的平面角的大小，方法有：(1)根据几何图形直观判断二面角的平面角是锐角还是钝角，从而决定其余弦值的正负；(2)依据“同进同出互补，一进一出相等”求解；(3)在二面角的一个半平面内取一点P，过P点作另一个半平面所在平面的垂线，若垂足在另一个半平面内，则所求二面角为锐二面角，若垂足在另一个半平面的反向延长面上，则所求二面角为钝二面角．
跟踪训练1 PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA＝AC＝1，BC＝，求二面角A­PB­C的余弦值．
题型二 夹角的综合问题
例2 如图，在四棱锥P­ABCD中，平面PBC⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，且∠BCD＝，PD⊥BC.若底面ABCD是菱形，PA与平面ABCD所成的角为，求平面PAD与平面PBC夹角的余弦值．
方法归纳
应用向量法解题，计算结果的正确性至关重要，在向量的运算，法向量的求解过程中，运算的快捷准确是解题的关键．
跟踪训练2
如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD＝CD＝1，AA1＝AB＝2，E为棱AA1的中点．
(1)证明：B1C1⊥CE；
(2)求二面角B1－CE－C1的正弦值．
易错辨析 混淆二面角与面面角的大小
例3 已知ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，设PA＝AB＝a，AD＝2a，求平面BPC与平面DPC夹角的余弦值．
解析：
建立如图所示的空间直角坐标系，则B(a，0，0)，C(a，2a，0)，P(0，0，a)，D(0，2a，0)，＝(0，2a，0)，＝(－a，0，a)，＝(－a，0，0)，＝(0，2a，－a)．
设平面BPC、平面DPC的法向量分别为n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)，则有
和.
取n1＝(1，0，1)，n2＝(0，1，2)，则cs 〈n1，n2〉＝＝，
故平面BPC与平面DPC夹角的余弦值为.
【易错警示】
[课堂十分钟]
1．在两个平面内，与两个面的交线都垂直的两个向量分别为(0，－1，3)，(2，2，4)，则这两个平面夹角的余弦值为( )
A． B．－
C． D．或－
2．已知正方形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，若PA＝AB，则平面PAB与平面PCD的夹角为( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
3．如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠ACB＝90°，AA1＝AC＝BC＝1，则异面直线BC1与A1B1所成角为________；二面角A­BC1­C的余弦值是________．
4．如图所示，在多面体A1B1D1­DCBA中，四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，E为B1D1的中点，过A1，D，E的平面交CD1于F.
(1)证明：EF∥B1C.
(2)求二面角E­A1D­B1的余弦值．
第2课时 两个平面所成的角
新知初探·课前预习
要点

新知初探·课前预习
[基础自测]
1．(1)× (2)× (3)√
2．解析：因为法向量和平面垂直，所以法向量所成角与二面角相等或者互补，由于从图形中无法判定二面角A­BD­C是锐角还是钝角，所以二面角A­BD­C的大小为或.故选C.
答案：C
3．解析：因为n1·n2＝(1，0，1)·(－3，1，3)＝0，所以α⊥β，即平面α与β所成的角等于90°.故选D.
答案：D
4．解析：
建立空间直角坐标系如图，设正方体的棱长为2，则D(2，0，0)，A1(0，0，2)，E(0，2，1)，则A1D＝(2，0，－2)，A1E＝(0，2，－1)．
设平面A1ED的法向量为n＝(x，y，z)，
则则即
令y＝1，得n＝(2，1，2)．
易知平面ABCD的法向量为m＝(0，0，1)，
则cs 〈n，m〉＝＝.
设平面A1ED与平面ABCD的夹角为θ，
则cs θ＝|cs 〈n，m〉|＝.
答案：
题型探究·课堂解透
例1 解析：如图，以A为坐标原点，分别以AD，AB，AS所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系A­xyz，
则S(0，0，1)，D，C(1，1，0)，
B(0，1，0)，
∴＝＝(1，1，－1)．
设平面SCD的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则n·＝0，n·＝0，
∴∴
令z＝1，得n＝(2，－1，1)．
易得是平面SAB的一个法向量，且＝(1，0，0)，
∴cs 〈，n〉＝＝.
设平面SAB与平面SCD所成二面角的平面角为θ，则cs θ＝.
跟踪训练1
解析：如图，建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(，1，0)，C(0，1，0)，P(0，0，1)，
∴＝(0，0，1)，＝(，1，0)．
设平面PAB的法向量为＝(x1，y1，z1)，
由得
令x1＝1，则＝(1，－，0)．
＝(0，－1，1)，＝(，0，0)．
设平面PBC的法向量为＝(x2，y2，z2)，
由，得
令z2＝1，则＝(0，1，1)．
〉＝＝＝－.
∵所求二面角为锐角，∴二面角A­PB­C的余弦值为.
例2 解析：过P作PE⊥BC，垂足为E，连接DE，平面PBC⊥平面ABCD，所以BC⊥平面PDE，PE⊥平面ABCD，故∠PAE是直线PA与平面ABCD所成的角，
即∠PAE＝，且DE⊥BC，DE⊥PE.
设PE＝a，则AE＝a，PA＝2a.在△DEC中，设DE＝m，
则EC＝m，DC＝m，
所以在Rt△EDA中，(a)2＝m2＋(m)2，所以m＝a.
以E为坐标原点，ED，EB，EP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则D(a，0，0)，A(a，a，0)，P(0，0，a)，则平面PBC的一个法向量为a＝(1，0，0)．
设平面PAD的一个法向量为b＝(x，y，z)，因为＝(－a，－a，a)，＝(0，－a，0)，
所以取x＝1，则b＝(1，0，1)．
设平面PAD与平面PBC的夹角为θ，
则cs θ＝＝＝，
所以平面PAD与平面PBC夹角的余弦值为.
跟踪训练2 解析：
(1)如图，以点A为坐标原点建立空间直角坐标系，依题意得A(0，0，0)，B(0，0，2)，C(1，0，1)，B1(0，2，2)，C1(1，2，1)，E(0，1，0)．
易得＝(1，0，－1)，＝(－1，1，－1)，于是·＝0，
所以B1C1⊥CE.
(2)易得＝(1，－2，－1)．
设平面B1CE的法向量为m＝(x，y，z)，
则，即，
消去x，得y＋2z＝0，
令z＝1，可得m＝(－3，－2，1)．
由(1)知，B1C1⊥CE，又CC1⊥B1C1，
所以B1C1⊥平面CEC1，
故＝(1，0，－1)为平面CEC1的一个法向量．
于是〉＝＝＝－，
从而〉＝.
所以二面角B1－CE－C1的正弦值为.
[课堂十分钟]
1．解析：由＝＝，
知这两个平面夹角的余弦值为，故选A.
答案：A
2．解析：
如图所示，建立空间直角坐标系．
设PA＝AB＝1，则A(0，0，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1)，∴＝(0，1，0)．取PD的中点E，
则E，
∴＝，易知是平面PAB的一个法向量，是平面PCD的一个法向量，所以cs 〈〉＝，故平面PAB与平面PCD的夹角为45°.故选B.
答案：B
3．解析：直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠ACB＝90°，∴CC1⊥BC，CC1⊥AC，AC⊥BC
如图以C为坐标原点，分别以CA，CB，CC1为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
则A，B，C，C1，B1，A1
＝＝＝，
〉
＝＝
所以异面直线BC1与A1B1所成角为；设平面ABC1的法向量为n＝
则即令y＝1，则n＝
显然平面CBC1的一个法向量为m＝，cs 〈n，m〉＝＝＝
故二面角A­BC1­C的余弦值是.
答案：
4．解析：(1)证明：由正方形的性质可知A1B1∥AB∥DC，且A1B1＝AB＝DC，所以四边形A1B1CD为平行四边形，从而B1C∥A1D，又A1D⊂面A1DE，B1C⊄面A1DE，于是B1C∥面A1DE.又B1C⊂面B1CD1.面A1DE∩面B1CD1＝EF，所以EF∥B1C.
(2)因为四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，所以AA1⊥AB，AA1⊥AD，AB⊥AD且AA1＝AB＝AD.以A为原点，分别以为x轴，y轴和z轴单位正向量建立如图所示的空间直角坐标系，可得点的坐标A(0，0，0)，B(1，0，0)，D(0，1，0)，A1(0，0，1)，B1(1，0，1)，D1(0，1，1)，而E点为B1D1的中点，所以E点的坐标为.
设面A1DE的法向量n1＝(r1，s1，t1)，而该面上向量＝，＝(0，1，－1)，由n1⊥．
n1⊥得r1，s1，t1应满足的方程组(－1，1，1)为其一组解，所以可取n1＝(－1，1，1)．
设面A1B1CD的法向量n2＝(r2，s2，t2)，而该面上向量＝(1，0，0)，＝(0，1，－1)，由此同理可得n2＝(0，1，1)．所以结合图形知二面角E­A1D­B1的余弦值为＝＝.易错原因
纠错心得
本题易错的地方是认为平面BPC与平面DPC的夹角就是二面角B－PC－D，得到错解：求得，n2〉＝＝后，观察图形知二面角B－PC－D为钝角，得平面BPC与平面DPC夹角的余弦值为－.
事实上，二面角的取值范围是[0，π]，面面角的取值范围是[0，]，不要将两者混淆了．
求二面角θ的大小时，通过求二面角两个半平面的法向量的夹角φ，把问题转化为向量的运算，需注意两法向量的夹角与二面角相等或互补，在解题中，可根据法向量的方向来进行判断，以便准确求出二面角的大小．一般地，如果二面角为锐角，cs θ＝|cs φ|＝；如果二面角为钝角，cs θ＝－|cs φ|＝－(u，v为二面角两个半平面的法向量)．