北师大版 (2019)选择性必修 第一册4.3 用向量方法研究立体几何中的度量关系第1课时课时作业

这是一份北师大版 (2019)选择性必修 第一册4.3 用向量方法研究立体几何中的度量关系第1课时课时作业，共24页。
基础过关练
题组一 两条直线所成的角
1.(2021山东泰安肥城高二上学期期中)若两异面直线l1与l2的一个方向向量分别是n1=(1,0,-1),n2=(0,-1,1),则直线l1与l2的夹角为( )
A.30° B.60°
C.120° D.150°
2.(2021浙江衢州五校高二上学期期中联考)如图,点P在正方形ABCD所在平面外一点,PD⊥平面ABCD,PD=AD,则PA与BD所成角的度数为( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
3.(2021山西吕梁贺昌中学高二上学期期中)如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=A1A=2,M,N分别是BB1和B1C1的中点,则直线AM与CN所成角的余弦值等于( )
A.52 B.5 C.25 D.35
4.(2021天津塘沽一中高二上学期期中)如图所示,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,CC1=4,点E是线段CC1的中点,点F是正方形ABCD的中心,则直线A1E与直线B1F所成角的余弦值为 .
5.(2021北京中关村中学高二上学期期中)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,AC=BC=AA1=2.
(1)求证:A1C⊥BC;
(2)求直线AC1和A1B1所成角的大小.
题组二 直线与平面所成的角
6.设直线l与平面α相交,且l的一个方向向量为a,α的一个法向量为n,若=2π3,则l与α所成的角为( )
A.2π3 B.π3 C.π6 D.5π6
7.(2021山东枣庄第八中学高二月考)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱AB,A1D1的中点分别为E,F,则直线EF与平面AA1D1D所成角的正弦值为( )
A.306 B.255 C.66 D.55
8.(2020四川阆中中学高三下学期在线考试)如图,平面ABCD⊥平面ABEF,四边形ABCD为正方形,四边形ABEF为矩形,且AF=12AD=a,G是EF的中点,则GB与平面AGC所成角的正弦值为( )
A.66 B.33 C.63 D.32
9.(2021福建南平高级中学高二上学期期中)在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=90°,D,E,F分别是棱AB,BC,CP的中点,AB=AC=2,PA=4,则直线PA与平面DEF所成角的正弦值为( )
A.15 B.255 C.55 D.25
10.(2021北京首都师范大学附属中学高二上学期月考)已知平面α的一个法向量n=0,-12,-2,A∈α,P∉α,且PA=-32,12,2,则直线PA与平面α所成的角为 .
题组三 两个平面所成的角
11.设平面α与平面β所成二面角的平面角为θ,若平面α,β的法向量分别为n1,n2,则|csθ|=( )
A.n1·n2|n1||n2| B.|n1·n2||n1||n2|
C.|n1||n2|n1·n2 D.|n1||n2||n1·n2|
12.(2020上海华东师范大学第二附属中学高二下学期期末)如图,点A、B、C分别在空间直角坐标系O-xyz的三条坐标轴上,OC=(0,0,2),平面ABC的一个法向量为n=(2,1,2),设二面角C-AB-O的平面角为θ,则csθ=( )
A.34 B.53 C.23 D.-23
13.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E为BB1的中点,则平面A1ED与平面ABCD所成二面角的平面角的余弦值为( )
A.12 B.23 C.33 D.22
14.如图,四边形ABCD为正方形,QA⊥平面ABCD,PD∥QA,QA=AB=12PD.
(1)证明:平面PQC⊥平面DCQ;
(2)求二面角Q-BP-C的平面角的余弦值.
15.(2020天津河西高二上学期期末)如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点.
(1)证明:PA∥平面BDE;
(2)求二面角B-DE-C的平面角的余弦值.
16.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠BAD=90°,AB=23,BC=4,AD=6,E是AD上的点,AE=13AD,P为BE的中点,将△ABE沿BE折起到△A1BE的位置,使得A1C=4,如图所示.求二面角B-A1P-D的平面角的余弦值.
能力提升练
题组一 两条直线所成的角
1.(2021天津静海瀛海学校高二上学期月考,)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BC=BB1=1,P是A1C的中点,则直线BP与AD1所成角的余弦值为( )
A.13 B.64 C.23 D.33
2.(2019新疆乌鲁木齐第一中学高二上学期第二次月考,)如图,已知DE是正△ABC的中位线,沿AD将△ABC折成直二面角B-AD-C,则翻折后异面直线AB与DE所成角的余弦值为( )
A.34 B.23 C.12 D.0
题组二 直线与平面所成的角
3.(2021安徽阜阳太和第一中学高二上学期开学考试,)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线BC1与平面A1BD所成角的余弦值为( )
A.24 B.23 C.33 D.32
4.(2021山东师范大学附属中学高二月考,)如图,三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直,AA1=AB=AC=1,AB⊥AC,N是BC的中点,点P在A1B1上,且满足A1P=λA1B1,当直线PN与平面ABC所成的角取得最大值时,λ的值为( )
A.12 B.22
C.32 D.255
5.(2021福建龙岩高二上学期联考,)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,AD=AA1,且C1D与底面A1B1C1D1所成角为60°,则直线C1D与平面CB1D1所成角的正弦值为 .
题组三 两个平面所成的角
6.()如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1为长方体,AA1=AB=2AD,点E为C1D1的中点,则二面角B1-A1B-E的平面角的余弦值为( )
A.-33 B.-32 C.33 D.32
7.(2020湖北荆州滩桥高级中学高二下学期期末,)如图所示,四边形AEFB为矩形,AE⊥平面ABCD,BC∥AD,BA⊥AD,AE=AD=2AB=2BC=4.
(1)求证:CF∥平面ADE;
(2)求平面CDF与平面AEFB所成锐二面角的平面角的余弦值.
8.()如图,梯形ABCD中,AB=BC=1,AD=2,∠CBA=∠BAD=90°,沿对角线AC将△ABC折起,使点B在平面ACD内的投影O恰在AC上.
(1)求证:AB⊥平面BCD;
(2)求异面直线BC与AD所成的角;
(3)求二面角B-AD-C的平面角的余弦值.
答案全解全析
基础过关练
1.B 由题意,两异面直线l1与l2的一个方向向量分别是n1=(1,0,-1),n2=(0,-1,1),
可得|n1|=2,|n2|=2,n1·n2=-1,
设异面直线l1与l2所成的角为θ,
则csθ=|cs|=|n1·n2||n1||n2|=12,
又因为0°