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    专题02 探索平行线的性质压轴题六种模型全攻略-七年级数学下册压轴题攻略(苏科版)
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    数学七年级下册7.2 探索平行线的性质优秀随堂练习题

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    这是一份数学七年级下册7.2 探索平行线的性质优秀随堂练习题,文件包含专题02探索平行线的性质压轴题六种模型全攻略解析版docx、专题02探索平行线的性质压轴题六种模型全攻略原卷版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共41页, 欢迎下载使用。

    目录
    TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc29495" 【典型例题】 PAGEREF _Tc29495 \h 1
    \l "_Tc17475" 考点一 两直线平行,同位角相等 PAGEREF _Tc17475 \h 1
    \l "_Tc19532" 考点二 两直线平行,内错角相等 PAGEREF _Tc19532 \h 3
    \l "_Tc24025" 考点三 两直线平行,同旁内角互补 PAGEREF _Tc24025 \h 4
    \l "_Tc6823" 考点四 根据平行线的性质与判定求角度 PAGEREF _Tc6823 \h 6
    \l "_Tc1165" 考点五 平行线的性质在生活中的应用 PAGEREF _Tc1165 \h 8
    \l "_Tc18396" 考点六 平行线的性质与判定综合应用 PAGEREF _Tc18396 \h 11
    \l "_Tc5404" 【过关检测】 PAGEREF _Tc5404 \h 13
    【典型例题】
    考点一 两直线平行,同位角相等
    例题:(2022·陕西·西安市铁一中学八年级阶段练习)如图,.,则的度数为( )
    A.58°B.112°C.120°D.132°
    【答案】A
    【分析】根据平行线性质得出,根据对顶角相等即可得出答案.
    【详解】解:如图,
    ∵,,
    ∴,
    ∴,故A正确.
    故选:A.
    【点睛】本题考查了平行线的性质和对顶角性质,解题的关键是熟练掌握:两直线平行,同位角相等.
    【变式训练】
    1.(2023·吉林· 九年级阶段练习)如图,直线.直线与、分别交于、两点.若,则的大小为_____度.
    【答案】
    【分析】根据邻补角的定义和平行线的性质即可得到结论.
    【详解】解:如图,
    ∵,
    ∴,
    ∵直线,
    ∴,
    故答案为:.
    【点睛】本题考查了平行线的性质,邻补角的应用,解此题的关键是求出的度数,注意:两直线平行,同位角相等.
    2.(2020·吉林·东北师大附中明珠学校七年级期末)如图,D为中延长线上一点,,若,,则_____.
    【答案】72
    【分析】由,,求出,,,由得,即可得到答案.
    【详解】解:∵,,
    ∴,
    ∵,
    ∴,
    ∵,
    ∴,
    ∴,
    故答案为:.
    【点睛】此题主要考查了平行线性质,熟练掌握平行线性质是解题的关键.
    考点二 两直线平行,内错角相等
    例题:(2022·湖南·长沙市立信中学九年级阶段练习)如图,直线a,b被c所截,,若,则的度数为( )
    A.30°B.40°C.50°D.60°
    【答案】B
    【分析】根据两直线平行,内错角相等可以判断,即可求出的度数.
    【详解】解:∵,,
    ∴,故B正确.
    故选:B.
    【点睛】本题考查了平行线的性质,根据两直线平行内错角相等得出,是解答本题的关键.
    【变式训练】
    1.(2022·广西大学附属中学九年级阶段练习)如图,直线,被直线所截,,,则的度数为( )
    A.20°B.40°C.50°D.140°
    【答案】B
    【分析】根据两直线平行内错角相等可得出答案.
    【详解】解:∵,,
    ∴,
    故选:B.
    【点睛】本题考查了平行线的性质,熟知两直线平行,内错角相等是解本题的关键.
    2.(2022·重庆市第七中学校九年级期中)如图,,,则的度数为( )
    A.160B.140C.50D.40
    【答案】B
    【分析】利用平行线的性质先求解,再利用邻补角的性质求解即可.
    【详解】解:∵,,
    ∴,
    ∴,
    故选B.
    【点睛】本题考查的是平行线的性质,邻补角的性质,熟知两直线平行,内错角相等是解题的关键.
    考点三 两直线平行,同旁内角互补
    例题:(2022·辽宁·沈阳市培英中学七年级期中)如图,ABCD,射线AE交CD于点F,若∠1=114°,则∠2的度数等于_____°.
    【答案】66
    【分析】根据两直线平行,同旁内角互补可求出∠AFD的度数,然后根据对顶角相等求出∠2的度数.
    【详解】∵ABCD,
    ∴∠1+∠AFD=180°.
    ∵∠1=114°,
    ∴∠AFD=66°.
    ∵∠2和∠AFD是对顶角,
    ∴∠2=∠AFD=66°.
    故答案为66.
    【点睛】本题考查了平行线,解题的关键是熟练掌握平行线的性质,两直线平行,同旁内角互补.
    【变式训练】
    1.(2022·上海理工大学附属中学七年级期末)如图直线、被直线所截,且,已知比大,则______.
    【答案】65
    【分析】根据题意可得,然后利用平行线的性质可得,进行计算即可解答.
    【详解】解:比大,





    故答案为:.
    【点睛】本题考查了平行线的性质,熟练掌握平行线的性质是解题的关键.
    2.(2022·江西抚州·七年级期中)如图,直线,直线l与a,b分别相交于A,B两点,过点A作直线l的垂线交直线b与点C,若,则的度数为________.
    【答案】##63度
    【分析】根据,可得,即可求出的度数.
    【详解】解:∵,,,
    ∴(两直线平行,同旁内角互补),
    ∴,
    故答案为:.
    【点睛】本题考查了平行线的性质,根据两直线平行,同旁内角互补正确找出是解答本题的关键.
    考点四 根据平行线的性质与判定求角度
    例题:(2021·四川省南充市高坪中学七年级阶段练习)如图,已知:,,
    (1)说明:.
    (2)求的度数.
    【答案】(1)见解析
    (2)
    【分析】(1)根据对顶角相等得到,再利用平行线的判定即可证明;
    (2)根据平行线的性质求出即可.
    (1)
    解:∵,,
    ∴,
    ∴;
    (2)
    ∵,
    ∴,
    ∵,
    ∴.
    【点睛】本题考查了平行线的性质和判定的应用,能灵活运用定理进行推理是解此题的关键.
    【变式训练】
    1.(2022·山东·宁津县德清中学七年级期中)如图,已知,,,求:
    (1)
    (2)的度数.
    【答案】(1)见解析;
    (2)100°.
    【分析】(1)根据平行线的性质和判定方法即可得到结论;
    (2)根据两直线平行,同旁内角互补,即可求解.
    (1)
    解:∵,
    ∴.
    ∵,
    ∴.
    ∴.
    (2)
    解:∵
    ∴.
    ∵,

    【点睛】本题主要考查平行线的判定和性质,熟练掌握两只线平行同旁内角互补是关键.
    2.(2022·西藏·林芝市广东实验中学七年级期中)如图,点D,E在AC上,点F,G分别在BC,AB上,且,∠1=∠2.
    (1)求证:;
    (2)若EF⊥AC,∠1=50°,求∠ADG的度数.
    【答案】(1)见解析
    (2)∠ADG=40°
    【分析】(1)利用两直线平行,内错角相等,再根据同位角相等,两直线平行即可得证;
    (2)先求出∠C,再根据两直线平行,同位角相等,即可得解.
    (1)
    证明:∵,
    ∴∠1=∠DBC.
    又∵∠1=∠2,
    ∴∠2=∠DBC,
    ∴.
    (2)
    ∵EF⊥AC,
    ∴∠CEF=90°.
    ∵∠2=∠1=50°,
    ∴∠C=90°-50°=40°.
    ∵,
    ∴∠ADG=∠C=40°.
    【点睛】本题考查平行线的判定和性质.熟练掌握平行线的性质和判定是解题的关键.
    考点五 平行线的性质在生活中的应用
    例题:(2022·山东青岛·七年级期中)已知:某小区地下停车场的栏杆如图所示,当栏杆抬起到最大高度时∠ABC=150°,若此时CD平行地面AE,则_________度.
    【答案】120
    【分析】过点B作BF∥CD,因为AB⊥AE,可得∠ABF=90°,即可得出∠FBC的度数,再由BF∥CD,可得∠FBC+∠BCD=180°,代入计算即可得出答案.
    【详解】解:过点B作BF∥CD,如图,
    由题意可知,∠ABF=90°,
    ∵∠ABC=150°,
    ∴∠FBC=∠ABC-∠ABF=150°-90°=60°,
    ∵BF∥CD,
    ∴∠FBC+∠BCD=180°,
    ∴∠BCD=180°-∠FBC=180°-60°=120°.
    故答案为:120.
    【点睛】本题主要考查了平行线的性质,熟练应用平行线的性质进行求解是解决本题的关键.
    【变式训练】
    1.(2022·山东·菏泽市牡丹区第二十二初级中学七年级期中)光线在不同介质中的传播速度不同,因此当光线从空气射向水中时,会发生折射.如图,在空气中平行的两条入射光线,在水中的两条折射光线也是平行的.若水面和杯底互相平行,且∠1=132°,则∠2=______.
    【答案】48°##48度
    【分析】根据平行线的性质解答即可.
    【详解】解:如图,∵水面和杯底互相平行,
    ∴∠1+∠3=180°,又∠1=132°,
    ∴∠3=180°-∠1=48°,
    ∵水中的两条折射光线是平行的,
    ∴∠2=∠3=48°,
    故答案为:48°.
    【点睛】本题考查平行线的性质应用,熟练掌握平行线的性质是解答的关键.
    2.(2022·云南昆明·七年级期末)《七彩云南》少数民族传统艺术表演,是七彩云南欢乐世界的王牌演艺节目,它荟萃云南人文之美,深受观众喜爱.在展演中,舞台上的灯光由灯带上位于点和点的两盏激光灯控制.如图,光线与灯带的夹角,当光线与灯带的夹角______时,.
    【答案】140°或40°
    【分析】当AB与在AC同侧时,CB′∥AB,同旁内角互补;当AB与CB"在AC异侧时,CB"∥AB,内错角相等.
    【详解】解:如下图:
    当AB与CB′在AC同侧时,
    当CB′∥AB时,
    ∵∠CAB+∠ACB′=180°
    ∴∠ACB′=140°
    当AB与CB"在AC异侧时,
    当CB"∥AB时,
    ∠CAB=∠ACB"=40°
    答案:140°或40°.
    【点睛】本题考查了平行线的性质,解题的关键是掌握两直线平行,内错角相等,同旁内角互补及需要由分论讨论的思想求解.
    考点六 平行线的性质与判定综合应用
    例题:(2021·浙江·绍兴市锡麟中学八年级阶段练习)探究问题:已知∠ABC,画一个角∠DEF,使,且DE交BC于点P.∠ABC与∠DEF有怎样的数量关系?
    (1)我们发现∠ABC与∠DEF有两种位置关系:如图1与图2所示.
    ①图1中∠ABC与∠DEF数量关系为 ;图2中∠ABC与∠DEF数量关系为 ;
    请选择其中一种情况说明理由.
    ②由①得出一个真命题(用文字叙述): .
    (2)应用②中的真命题,解决以下问题:
    若两个角的两边互相平行,且一个角比另一个角的2倍少30°,请直接写出这两个角的度数.
    【答案】(1)①∠ABC+∠DEF=180°,∠ABC=∠DEF,理由见解析;②如果两个角的两边互相平行,那么这两个角相等或互补
    (2)30°,30°或70°和110°
    【分析】(1)①根据平行线的性质,即可求解;②根据①写出结论,即可求解;
    (2)设两个角分别为x和2x﹣30°,由(1)的结论可得x=2x﹣30°或x+2x﹣30°=180°,即可求解.
    (1)
    解:①如图1中,∠ABC+∠DEF=180°.如图2中,∠ABC=∠DEF,
    故答案为:∠ABC+∠DEF=180°,∠ABC=∠DEF.
    理由:如图1中,
    ∵,
    ∴∠DPB=∠DEF,
    ∵,
    ∴∠ABC+∠DPB=180°,
    ∴∠ABC+∠DEF=180°.
    如图2中,∵,
    ∴∠DPC=∠DEF,
    ∵,
    ∴∠ABC=∠DPC,
    ∴∠ABC=∠DEF.
    ②结论:如果两个角的两边互相平行,那么这两个角相等或互补.
    故答案为:如果两个角的两边互相平行,那么这两个角相等或互补.
    (2)
    解:设两个角分别为x和2x﹣30°,
    由(1)得:x=2x﹣30°或x+2x﹣30°=180°,
    解得x=30°或x=70°,
    ∴这两个角的度数为30°,30°或70°和110°.
    【点睛】本题主要考查了平行线的性质,理解如果两个角的两边互相平行,那么这两个角相等或互补是解答关键.
    【变式训练】
    1.(2022·甘肃·金昌市第五中学七年级期中)如图,已知AMBN,∠A=64°.点P是射线AM上一动点(与点A不重合),BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN,分别交射线AM于点C,D.
    (1)∠ABN的度数是 ;
    (2)求∠CBD的度数;
    (3)当点P运动时,∠APB与∠ADB之间的数量之比是否随之发生变化?若不变化,请写出它们之间的关系,并说明理由:若变化,请写出变化规律.
    【答案】(1)116°
    (2)58°
    (3)不变,∠APB=2∠ADB,理由见解析
    【分析】(1)根据两直线平行同旁内角互补即可求解;
    (2)根据角平分线的定义,结合(1)的结论即可求解;
    (3)由平行线的性质可得∠APB=∠PBN,∠ADB=∠DBN,根据角平分线的定义可得∠PBN=2∠DBN,即可求解.
    (1)
    解:∵AMBN,∠A=64°,
    ∴∠ABN=180°﹣∠A=116°,
    故答案为116°;
    (2)
    ∵AMBN,
    ∴∠ABN+∠A=180°,
    ∴∠ABN=180°﹣64°=116°,
    ∴∠ABP+∠PBN=116°,
    ∵BC平分∠ABP,BD平分∠PBN,
    ∴∠ABP=2∠CBP,∠PBN=2∠DBP,
    ∴2∠CBP+2∠DBP=116°,
    ∴∠CBD=∠CBP+∠DBP=58°;
    (3)
    不变,∠APB=2∠ADB,理由如下:
    ∵AMBN,
    ∴∠APB=∠PBN,∠ADB=∠DBN,
    ∵BD平分∠PBN,
    ∴∠PBN=2∠DBN,
    ∴∠APB=2∠ADB.
    【点睛】本题考查了平行线的性质,角平分线的定义,数形结合是解题的关键.
    【过关检测】
    一、选择题
    1.(2022·黑龙江·哈尔滨市第四十九中学校七年级阶段练习)如图,,则的度数是( )度
    A.100B.80C.120D.150
    【答案】A
    【分析】根据邻补角互补求出∠3,根据平行线的性质得出∠2=∠3,代入求出即可.
    【详解】解:∵∠1=80°,
    ∴∠3=180°−80°=100°,
    ∵ABCD,
    ∴∠2=∠3=100°,
    故选:A.
    【点睛】本题考查了邻补角的定义,平行线的性质的应用,注意:①两直线平行,同旁内角互补,②两直线平行,内错角相等,③两直线平行,同位角相等.
    2.(2022·广东·深圳市宝安中学(集团)三模)如图,将直尺与角的三角尺叠放在一起,若,则∠1的大小是( )
    A.B.C.D.
    【答案】D
    【分析】根据平角的定义和平行线的性质即可得到结论.
    【详解】解:如图:
    由题意得:,
    ∵ABCD,
    ∴∠3=∠2=,
    ∴.
    故选D.
    【点睛】本题考查了平行线的性质,平角的定义,熟练掌握平行线的性质是解题的关键.
    3.(2022·黑龙江·哈尔滨市呼兰区第四中学校七年级期中)如图,,将一副直角三角板作如下摆成,图中点A、B、C在同一直线上,则的度数为( )
    A.B.C.D.
    【答案】C
    【分析】如图,过点C作CM,则,根据平行线的性质可得∠1+∠ECM=180°,∠2=∠ACM,再根据三角板的特点求解即可.
    【详解】解:如图,过点C作CM,
    ∵,
    ∴,
    ∴∠1+∠ECM=180°,∠2=∠ACM,
    ∵∠2=180°−45°=135°,
    ∴∠ACM=135°,
    ∴∠ECM=135°−30°=105°,
    ∴∠1=180°−105°=75°,
    故选:C.
    【点睛】此题考查了平行线的性质,熟记“两直线平行,同旁内角互补;两直线平行,同位角相等”及作平行线是解题的关键.
    4.(2022·广东·广州市第四中学七年级阶段练习)把正方形ABCD和长方形EFGH按如图的方式放置在直线l上.若∠1=43°,则∠2的度数为( )
    A.B.C.D.
    【答案】B
    【分析】先根据:∠1=43°,∠HEF=90°,即可得到∠CEB=47°,再根据CDAB,可得∠2=∠CEB=47°.
    【详解】解:∵∠1=43°,∠HEF=90°,
    ∴∠CEB=47°,
    ∵CDAB,
    ∴∠2=∠CEB=47°,
    故选:B.
    【点睛】本题主要考查了平行线的性质,解题时注意:两直线平行,同位角相等.
    5.(2021·山东·高青县教学研究室期末)在同一平面内,若∠A与∠B的两边分别平行,且∠A比∠B的3倍少40°,则∠A的度数为( )
    A.20°B.55°C.20°或125°D.20°或55°
    【答案】C
    【分析】根据平行线的性质分两种情况求解即可.
    【详解】解: ①如图1所示:
    若AEBD,ACBD,
    则∠A=∠1,∠1=∠B,
    ∴∠A=∠B,
    ∵∠A=3∠B﹣40°=3∠A-40°,
    ∴∠A=∠B=20°,
    ②如图2所示:
    若ADBE,BCAF,
    则∠1=∠B,∠1+∠A=180°,
    ∴∠A+∠B=180°,
    ∵∠A=3∠B﹣40°,
    ∴3∠B﹣40°+∠B=180°,
    ∴∠B=55°,∠A=125°,
    综上所述,∠A的度数为20°或125°,
    故选:C.
    【点睛】本题考查了平行线的性质,解题的关键是根据平行线的性质找出图中角度之间的关系.
    二、填空题
    6.(2022·上海市罗南中学七年级阶段练习)如图,,∠A=50°,则∠1=_____.
    【答案】130°##130度
    【分析】由平行线的性质可得出∠2,根据对顶角相得出∠1.
    【详解】解:如图:
    ∵,
    ∴∠A+∠2=180°,
    ∵∠A=50°,
    ∴∠1=∠2=180°﹣∠A=180°﹣50°=130°.
    故答案为:130°.
    【点睛】本题考查了平行线的性质,解题的关键是能够根据两直线平行,同旁内角互补和对顶角相等进行分析解答.
    7.(2022·陕西·潼关县教育局教学研究室七年级期中)如图,,,,则的度数是_____________.
    【答案】##37度
    【分析】先根据平行线的性质得到,再根据垂线的定义得到,则.
    【详解】解:∵,,
    ∴,
    ∵,
    ∴,
    ∴,
    故答案为:.
    【点睛】本题主要考查了平行线的性质,垂线的定义,熟知两直线平行,同旁内角互补是解题的关键.
    8.(2022·安徽·潜山市罗汉初级中学七年级阶段练习)如图,将一副三角板重叠摆故,于点D,则的度数为______.
    【答案】15°##15度
    【分析】由题意可知∠A=90°,∠ACB=60°,∠CDE=45°,由垂直可得∠ADE=90°,则可判定AC∥DE,从而可得∠ACD=∠CDE=45°,即可求得∠BCD的度数.
    【详解】解:由题意得:∠A=90°,∠ACB=60°,∠CDE=45°,
    ∵DE⊥AB,
    ∴∠ADE=90°,
    ∴∠ADE+∠A=180°,
    ∴AC∥DE,
    ∴∠ACD=∠CDE=45°,
    ∴∠BCD=∠ACB-∠ACD=15°.
    故答案为:15°.
    【点睛】本题主要考查平行线的判定与性质,解答的关键是对平行线的判定条件与性质的掌握.
    9.(2022·黑龙江·哈尔滨德强学校七年级期中)如图,汽车灯的剖面图,从位于点的灯发出光照射到凹面镜上反射出的光线,都是水平线,若,,则的度数为______.
    【答案】##60度
    【分析】如图所示,过点O作,则,根据平行线的性质求解即可.
    【详解】解:如图所示,过点O作,
    ∵光线,都是水平线,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    故答案为:.
    【点睛】本题主要考查了平行线的性质,熟知两直线平行,内错角相等是解题的关键.
    10.(2022·福建·平潭第一中学七年级期中)如图(1)纸片ABCD(ADBC),将CD按如图(2)所示沿着DE折叠至DC′,DC′与线段BC交于F,∠BFD=m,点E在线段BC上,若将AD按如图(3)所示沿着DO折叠至DA′,且A′在线段DC的延长线上,点O在线段BC上,则∠ODE=__________.(用含m的式子表示)
    【答案】
    【分析】设∠CDE=x,∠DCE=y,由图(1)折叠性质可得:∠C’DE=∠CDE=x,由平行线性质可得∠ADF=180°-m,则∠ADC=180°-m+2x,由图(2)折叠性质可得:∠ADO=∠CDO=,最后可得∠ODE的度数.
    【详解】解:设∠CDE=x,∠DCE=y,
    由图(1)折叠性质可得:∠C’DE=∠CDE=x,
    ∵∠BFD=m,ADBC,
    ∴∠BFD+∠ADF=180°,
    ∴∠ADF=180°-m,
    ∴∠ADC=180°-m+2x,
    由图(2)折叠性质可得:∠ADO=∠CDO=,
    ∴∠ODE=∠CDO-∠CDE=.
    故答案为:.
    【点睛】本题考查了平行线的性质及角的有关计算,解决本题的关键是熟练掌握平行线的性质.
    三、解答题
    11.(2022·河北·威县第三中学七年级期末)如图,已知,,求证:.
    (1)请将下面证明过程补充完整.
    证明:∵(已知),
    ∴( ).
    又∵(已知),
    ∴ (等角的补角相等),
    ∴( ),
    ∴( );
    (2)若平分,于点,,求的度数.
    【答案】(1)两直线平行,同旁内角互补;;内错角相等,两直线平行;两直线平行,同位角相等
    (2)
    【分析】(1)根据平行线的性质和判断即可求解;
    (2)根据垂直和平行,即可求出,且,只要求出的度数即可求出答案,根据平行线的性质,角平分线的性质即可求出,由此即可求出答案.
    (1)
    证明:∵(已知),
    ∴(两直线平行,同旁内角互补).
    又∵(已知),
    ∴(等角的补角相等),
    ∴(内错角相等,两直线平行),
    ∴(两直线平行,同位角相等)
    故答案是:两直线平行,同旁内角互补;∠FAC=∠2;内错角相等,两直线平行;两直线平行,同位角相等.
    (2)
    解:∵,平分,
    ∴,
    ∵,
    ∴,
    ∴,
    ∵,,
    ∴,
    ∵,
    ∴,
    故答案是:.
    【点睛】本题主要考查平行线的性质和判断,以及根据平行线的性质求角的度数问题,掌握平行线的性质和判断是解题的关键.
    12.(2022·湖北·武汉市新洲区阳逻街第一初级中学三模)如图,已知,,.
    (1)求证:;
    (2)求证:.
    【答案】(1)见解析
    (2)见解析
    【分析】(1)根据垂直得出,根据平行线的判定得出;
    (2)根据平行线的性质得出,由得出,根据平行线的判定得出,再根据平行线的性质即可得解.
    【详解】(1)证明:∵,,
    ∴,(垂直的定义),
    ∴(等量代换),
    ∴(同位角相等,两直线平行;
    (2)证明:∵,
    ∴(两直线平行,同位角相等),
    又(已知),
    ∴(等量代换),
    ∴(内错角相等,两直线平行),
    ∴(两直线平行,同旁内角互补).
    【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质,熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键.
    13.(2022·河南·虞城县第二初级中学七年级期中)如图,与有公共顶点A,且点C在边BE上,CD交AE于点F且平分.,.
    (1)求证:.
    (2)若,求的度数.
    【答案】(1)证明见解析;
    (2)
    【分析】(1)根据平行线的性质得出∠D=∠DCE,根据角平分线的定义得出∠ACD=∠DCE,求出∠BAC=∠ACD,根据平行线的判定得出即可;
    (2)根据平行线的性质求出∠E=∠DAE,∠BAC= ∠ACD,根据角平分线的定义得出∠ACD=∠DCE,求出, 即可求出答案.
    (1)
    证明:∵,
    ∴∠D=∠DCE,
    ∵CD平分∠ACE,
    ∴∠ACD= ∠DCE,
    ∴∠ACD=∠D,
    ∵∠BAC =∠D,
    ∴∠BAC=∠ACD,
    ∴;
    (2)
    解:∵,
    ∴∠E=∠DAE,∠D =∠DCE,
    ∵∠DAE=∠D,
    ∴∠E= ∠DCE,
    由(1)知,
    ∴∠DCE=∠B,
    又∵,
    ∴∠E=∠B=.
    【点睛】本题考查了平行线的性质和判定,角平分线的定义等知识点,能灵活运用平行线的性质和判定定理进行推理是解此题的关键.
    14.(2022·江苏·涟水县第四中学七年级期末)如图,FN交HE、MD于点A、点C,过C作射线CG交HE于点B.若∠EAF=∠NCM=∠MCB=45°.
    (1)求证:AB∥CD;
    (2)求∠ABG的度数.
    【答案】(1)证明见解析;
    (2)135°
    【分析】(1)由对顶角相等得到∠NCM=∠FCD,即可得到∠EAF=∠FCD,即可判定AB∥CD;
    (2)由平角的定义得到∠BCD=180°−∠MCB=135°,再根据平行线的性质即可得解.
    (1)
    证明:∵∠EAF=∠NCM,∠NCM=∠FCD,
    ∴∠EAF=∠FCD,
    ∴AB∥CD;
    (2)
    解:∵∠MCB+∠BCD=180°,∠MCB=45°,
    ∴∠BCD=180°−∠MCB=135°,
    由(1)知,AB∥CD,
    ∴∠ABG=∠BCD,
    ∠ABG=135°,
    故∠ABG的度数是135°.
    【点睛】此题考查了平行线的判定与性质,熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键.
    15.(2022·山东烟台·期末)如图把一个含有30°角的直角三角板的直角顶点放在直线上,,、两点在平面上移动,请根据如下条件解答:
    (1)如图1,若点在直线上,点在直线的下方,,求的度数.
    (2)如图2,若点在平行直线,内部,点在直线的下方,,求的度数.
    【答案】(1)
    (2)
    【分析】(1)先求出,再根据平行线的性质求出∠3即可解决问题;
    (2)过点作,则,根据平行线的性质可得,,然后结合已知求出即可解决问题.
    (1)
    解:如图1,由题意可知,,,
    ∴,
    ∵,
    ∴,
    ∴;
    (2)
    如图2,过点作,
    ∵,
    ∴,
    ∴,,
    ∵,
    ∴,
    ∵,
    ∴.
    【点睛】本题主要考查了平行线的性质,熟知两直线平行,内错角相等;两直线平行,同位角相等是解题的关键.
    16.(2022·江苏·泰兴市济川初级中学七年级阶段练习)光线照射到镜面会产生反射现象,由光学知识,入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等,例如:在图1中,有∠1=∠2.
    (1)如图2,已知镜子MO与镜子ON的夹角∠MON=90°,请判断入射光线AB与反射光线CD的位置关系,并说明理由;
    (2)如图3,有一口井,已知入射光线AO与水平线OC的夹角为50°,当平面镜MN与水平线OC的夹角为 °,能使反射光线OB正好垂直照射到井底;
    (3)如图4,直线EF上有两点A、C,分别引两条射线AB、CD.∠BAF=120°,∠DCF=40°,射线AB、CD分别绕A点、C点以3度/秒和1度/秒的速度同时逆时针转动,设时间为t秒,在射线AB转动一周的时间内,是否存在某时刻,使得CD与AB平行?若存在,求出所有满足条件的时间t.
    【答案】(1)ABCD,理由见解析
    (2)65或115
    (3)在射线AB转动一周的时间内,存在时间t,使得CD与AB平行,其t=10s或100s.
    【分析】(1)计算∠ABC+∠BCD的值便可得出结论;
    (2)先计算出∠AOB,进而得∠AOM+∠BON的值,再根据入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等,得出结果;
    (3)分四种情况讨论:当0s≤t≤20s时,当20s<t≤40s时,当40s<t≤80s时,当80s<t≤120s时,根据角度大小变化关系锁确ABCD时的t值.
    (1)
    解: ABCD.理由如下:
    ∵∠1=∠2,∠3=∠4,
    ∴∠ABC=180°-∠1-∠2=180°-2∠2,∠BCD=180°-∠3-∠4=180°-2∠3,
    ∴∠ABC+∠BCD=360°-2(∠2+∠3),
    ∵∠BOC=90°,
    ∴∠2+∠3=90°,
    ∴∠ABC+∠BCD=180°,
    ∴AB∥CD;
    (2)
    解:∵∠AOC=40°,∠BOC=90°,
    ∴∠AOM+∠BON=180°-90°=40°=50°,
    ∵∠AOM=∠BON,
    ∴∠AOM=∠BON=25°,
    ∴∠COM=25°+40°=65°,∠CON=25°+90°=115°,
    ∴当平面镜MN与水平线OC的夹角为65°或115°时,能使反射光线OB正好垂直照射到井底,
    故答案为:65或115;
    (3)
    解:①当0s≤t≤20s时,如下图,
    若ABCD,则∠BAC=∠ACD,
    即120+3t=140+t,
    解得t=10,
    ∴当t=10s时ABCD;
    ②当20s<t≤40s时,如下图,
    有∠BAE<90°<∠ACD,则AB与CD不平行;
    ③当40s<t≤80s时,如下图,
    有∠BAC<∠ACD,AB与CD不平行;
    ④当80s<t≤120s时,如下图,
    若ABCD,则∠BAC=∠DCF,
    即3t-240=t-40,
    解得t=100,
    ∴当t=100s时,ABCD;
    综上可知,在射线AB转动一周的时间内,存在时间t,使得CD与AB平行,其t=10s或100s.
    【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定,关键是应用分类讨论思想解决问题.
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