专题07 成比例线段、黄金分割压轴题六种模型全攻略-【常考压轴题】2022-2023学年九年级数学下册压轴题攻略（苏科版）

专题07 成比例线段、黄金分割压轴题六种模型全攻略

考点一 比例的性质                               考点二 线段的比

考点三 成比例线段                               考点四 黄金分割

考点五 由平行判断成比例的线段                   考点六 由平行截线求相关线段的长或比值

考点一 比例的性质

例题：（2021·江苏·南通市八一中学九年级阶段练习）已知，则的值为（　　）

A． B． C． D．

【变式训练】

1．（2022·四川·渠县崇德实验学校九年级期末）已知，则下面结论成立的是（       ）

A． B． C． D．

2．（2021·河南·鹤壁市淇滨中学九年级阶段练习）已知，那么______．

考点二 线段的比

例题：（2022·全国·九年级专题练习）地图上乐山到峨眉的图上距离为3.8厘米，比例尺是1：1000000，那么乐山到峨眉的实际距离是（　　）

A．3800米 B．38000米 C．380000米 D．3800000米

【变式训练】

1．（2022·河南南阳·九年级期中）在比例尺为1：5000000的地图上，若测得甲、乙两地间的图上距离为5厘米，则甲、乙两地间的实际距离为 _____千米．

2．（2022·云南文山·九年级期末）如图，在中，D、E分别是AB、AC的中点，则______．

考点三 成比例线段

例题：（2022·全国·九年级专题练习）已知a、b、c、d是成比例线段，其中a＝3，b＝0.6，c＝2，则线段d的长为（　　）

A．0.4 B．0.6 C．0.8 D．4

【变式训练】

1．（2020·辽宁·宽甸满族自治县第一初中九年级阶段练习）下列四组线段中，是成比例线段的是（       　）

A．5cm，6cm，7cm，8cm B．3cm，6cm，2cm，5cm

C．2cm，4cm，6cm，8cm D．2cm，3cm，4cm，6cm

2．（2022·陕西渭南·九年级期末）若长度为，，，的四条线段是成比例线段，则的值为（       ）

A． B． C． D．

考点四 黄金分割

例题：（2021·广西·梧州市第十中学九年级期中）已知C是线段AB的黄金分割点，且AC>BC，则下列结论错误的是（     ）

A．AC2=BC·AB B．BC2=AC·AB C． D．

【变式训练】

1．（2022·黑龙江大庆·八年级期末）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度为_______．（结果保留根号）

2．（2022·山东淄博·八年级期末）我们把宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，已知四边形是黄金矩形，边的长度为，则该矩形的周长为 __．

考点五 由平行判断成比例的线段

例题：（2021·广西·梧州市第十中学九年级期中）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，AC，BC边上，DE∥BC，EF∥AB，则下列结论正确的是（     ）

A． B． C． D．

【变式训练】

1．（2021·安徽·合肥市五十中学新校九年级期中）如图，直线AC与DF交于点O，且与，，分别交于点A，B，C，D，E，F，则下列比例式不正确的是（　　　）

A． B． C． D．

2．（2022·山东烟台·八年级期末）如图，已知，那么下列结论正确的是（       ）

A． B． C． D．

考点六 由平行截线求相关线段的长或比值

例题：（2022·黑龙江·大庆市庆新中学八年级期中）如图，点，分别在，上，，，若，则的长为________________

【变式训练】

1．（2022·山东济南·八年级期中）如图，已知在中，点D、E、F分别是边上的点，，且，那么等于___________．

2．（2022·山东烟台·八年级期中）图，，直线、与、、分别相交于点A、、和点、、．若，，，则______．

一、选择题

1．（2021·浙江衢州·九年级阶段练习）若，则的值为（    ）

A． B． C． D．

2．（2022·吉林省第二实验学校八年级期中）下列各组线段的长度成比例的是（    ）

A．6cm、2cm、1cm、4cm B．4cm、5cm、6cm、7cm

C．3cm、4cm、5cm、6cm D．6cm、3cm、8cm、4cm

3．（2021·江苏·东海县驼峰中学九年级阶段练习）在一幅比例尺是1：5000000的地图上，量得上海到杭州的距离是3.4cm．那么上海到杭州的实际距离是（　　）

A．17km B．34km C．170km D．340km

4．（2021·全国·九年级专题练习）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AB，DE分别交l1，l2，l3于点A，B，C和D，E，F，若AB：AC＝2：5，EF＝15，则DF的长等于（　　）

A．18 B．20 C．25 D．30

5．（2022·湖北省直辖县级单位·九年级阶段练习）已知线段，且点是线段上一点，，点P叫做线段的黄金分割点，则线段的长为（    ）

A． B． C． D．

二、填空题

6．（2023·河南省实验中学九年级阶段练习）如果，那么的值为 __．

7．（2022·山东省济南燕山中学九年级阶段练习）已知线段，C为线段AB的黄金分割点，则___________．

8．（2020·浙江杭州·九年级期末）如图，点G是的重心，，交于点F，则______，等于______．

9．（2022·上海·测试·编辑教研五八年级期末）我们把边长是两条对角线长度的比例中项的菱形叫做“钻石菱形”，如果一个“钻石菱形”的边长是，那么这个菱形的面积是______．

10．（2022·全国·九年级单元测试）如图，在等腰中，，点在的延长线上，，点在边上，，则的值是_____．

三、解答题

11．（2022·全国·九年级专题练习）已知线段MN = 1，在MN上有一点A，如果AN =，求证：点A是MN的黄金分割点

12．（2022·上海市淞谊中学九年级阶段练习）已知点C在线段AB上，且满足．

(1)若AB=1，求AC的长；

(2)若AC比BC大2，求AB的长．

13．（2022·福建泉州·九年级阶段练习）已知线段满足，且．

(1)求的值；

(2)请再写出一条线段长，使这条线段以及线段这三条线段中的一条线段是另外两条线段的比例中项．

14．（2022·全国·九年级专题练习）如图，已知ADBECF，它们依次交直线、于点A、B、C和点D、E、F，且AB=6，BC=8．

（1）求的值；

（2）当AD=5，CF=19时，求BE的长．

15．（2022·全国·九年级专题练习）阅读理解：二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式．

例如：化简．

解：将分子、分母同乘以得：

．

拓展延伸：

宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．如图1，已知黄金矩形的宽．

(1)求黄金矩形中边的长；

(2)如图2，将图1中的黄金矩形裁剪掉一个以为边的正方形，得到新的矩形，猜想矩形是否为黄金矩形，并证明你的结论．

16．（2022·全国·九年级课时练习）（如图1），点P将线段AB分成一条较小线段AP和一条较大线段BP，如果，那么称点P为线段AB的黄金分割点，设=k，则k就是黄金比，并且k≈0.618．

（1）以图1中的AP为底，BP为腰得到等腰APB（如图2），等腰△APB即为黄金三角形，黄金三角形的定义为：满足≈0.618的等腰三角形是黄金三角形；类似地，请你给出黄金矩形的定义：__；

（2）如图1，设AB=1，请你说明为什么k约为0.618；

（3）由线段的黄金分割点联想到图形的“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成面积为S1和面积为S2的两部分（设S1＜S2），如果，那么称直线l为该矩形的黄金分割线．（如图3），点P是线段AB的黄金分割点，那么直线CP是△ABC的黄金分割线吗？请说明理由；

（4）图3中的△ABC的黄金分割线有几条？