第5讲《四边形》第2课时（教案）2023年人教版中考数学一轮复习

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佳题探究

探究类型之四   矩形

例5.如图所示，D为△ABC内部一点，E、F两点分别在AB、BC上，且四边形DEBF为矩形，直线CD交AB于G点．若CF＝6，BF＝9，AG＝8，则

△ADC的面积是(　　 )

A．16      B．24        C．36        D．54

解析：将阴影S△ADC转化为（S△ACG  - S△ADG）即可求得.

答案：解：S△ADC= S△ACG  - S△ADG   在括号中出现“B”

=AG·CB-AG·DE

= 24

师：讲解分析不规则图形面积求解方法：根据图形特点转换割补.

分两页出示

第一页

例6.如图所示，矩形ABCD中,AB=2,BC=5,E、P分别在AD、BC上,且DE=BP=1．

（1）判断△BEC的形状,并说明理由?

（2）判断四边形EFPH是什么特殊四边形?并证明你的判断；

解析：（1）计算△BEC三边长度，并应用勾股逆定理验证其形状；下一步

（2）应用（1）中结论易证：∠HEF=∠EFP=∠FPH=∠PHE=90°.

答案1：（1）△BEC为直角三角形. 下一步

证明：在Rt△CDE与Rt△BAE中，

由勾股定理易得CE=，BE=2，

∵在△BEC中有CE=，BE=2，BC=5

∴BC2=CE2+ BE2，

∴△BEC为直角三角形.

答案2：四边形EFPH是矩形.   下一步

证明：∵ABCD是矩形，且DE=BP，

又∵DE∥BP，

∴四边形DEBP是平行四边形，

∴EB∥DP，

由（1）知∠BEC=90°，

∴∠PFE=90°，

同理易得：∠APF=∠PHE =90°,

∴四边形EFPH是矩形.

师：分析重点第2问，方法不唯一，也可启发学生先证明四边形EFPH是平行四边形，在通过内角为直角，证得EFPH是矩形，本题重点为分析平行四边形到矩形的证明方法与直接证明矩形的方法.

第二页

例6.如图所示，矩形ABCD中,AB=2,BC=5,E、P分别在AD、BC上,且DE=BP=1．

（3）求四边形EFPH的面积．

答案：解：∵SRt△PCD=PC×CD=CF×PD,  PC=4，PD=2, DC=2

∴CF=

又∵CE=

∴EF=      下一步

又∵在Rt△PFC中，可求得PF=，

∴矩形EFPH的面积= EF×PF=×=.

师：分析，本小题目重点讲解的内容为等面积法求解直角三角形斜边上的高CF，另外，在本问中，教师也可启发学生在Rt△CDE中，应用射影定理求得DF，进而求得PF

例7.如图所示，在边长为的正方形ABCD中，E是AB边上一点，G是AD延长线一点，BE＝DG，连接EG，CF⊥EG交EG于点H，交AD于点F，连接CE、BH．若BH＝8，则FG＝_____________．

解析：①连接CG，易证△BCE≌△DCG；

动画连接CG，△BCE与△DCG涂淡颜色   下一步

②得△ECG为等腰直角三角形，即EH=HG=CH；

标记EH、HG、CH相等.     下一步

③过H分别作HM⊥AB、HN⊥BC，交AB、BC于点M、N，

易证△HME≌△HNC；

过H分别作HM⊥AB、HN⊥BC，交AB、BC于点M、N  下一步

④得四边形MBNH为正方形，由BH＝8，AB=得MH=，

NC=；  下一步

⑤在Rt△HME中，勾股定理得HE=；下一步

⑥Rt△HME∽Rt△GHF，即可得FG＝.

答案：在空中填“”

师分析：该题难度稍大，需要添加的辅助线较多，应用了全等、勾股、相似的方法，教师在讲解时，可以先分析方法，之后在借助课件中的解析学习.

中考佳题

1.如图所示，正方形ABCD的边长为2，H在CD的延长线上，四边形CEFH也为正方形，则△DBF的面积为（     ）

 A. 4        B.        C.       D. 2

解析：连接CF，

S△FCD=FH×CD=S△FBC=FE×BC,

即可将S△FDG填补至S△BCG，

进而S△DBF=S△BCD.

答案：在括号中填“D”

6.如图所示，折叠矩形纸片ABCD，使点B落在边AD上，折痕EF的两端分别在AB、BC上（含端点），且AB=6cm,BC=10cm.则折痕EF的最大值是____ cm.

解析：点F与点C重合时，折痕EF有最大值，如图所示，可分别在Rt△B'DC、

Rt△B'AE、Rt△EBC求得EF的最大值.

答案：

分两页出示

第一页

7.如图所示，已知点E、F在四边形ABCD的对角线延长线上，AE＝CF，

DE∥BF，∠1＝∠2．

（1）求证：△AED≌△CFB；

答案：证明：∵DE∥BF，

∴∠DEA＝∠BFC，

在△AED和△CFB中，

∵∠1＝∠2，

∠DEA＝∠BFC，

AE＝CF，

∴△AED≌△CFB.

第二页

7.如图所示，已知点E、F在四边形ABCD的对角线延长线上，AE＝CF，

DE∥BF，∠1＝∠2．

（2）若AD⊥CD，四边形ABCD是什么特殊的四边形？请说明理由．

答案：四边形ABCD是矩形，

证明：∵△AED≌△CFB，

∴∠EAD＝∠FCB，

∴∠DAC＝∠BCA，

∴AD∥BC，

又∵AD=BC，

∴四边形ABCD为平行四边形，

又∵AD⊥CD，

∴四边形ABCD是矩形.

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佳题补充

分三页出示

第一页

（选学）如图所示，摆放矩形纸片ABCD与矩形纸片ECGF，使B，C，G三点在一条直线上，CE在边CD上．连结AF，若M为AF的中点，连结DM，ME，试猜想DM与ME的关系（数量关系），并证明你的结论．

解析：①利用倍长中线法构造全等三角形；

动画1.延长EM，交AD于点N；2.涂色△ANM、△MEF.   下一步

②利用直角三角形中，斜边中线等于斜边一半得出DM与ME的关系.

动画1.涂淡颜色△DNE；2.动画涂深色，3个线段DM、NM、ME，并在三个线段上画两杠，表示线段相等.

答案：猜想DM=ME    下一步

证明：延长EM，交AD于点N，动画延长EM，交AD于点N. 下一步

在△ANM和△MEF中   涂色△ANM、△MEF.

∵∠NMA=∠EMF

   MA=MF

∠MAN=∠MFE

∴△ANM≌△MEF，下一步

∴NM=ME，

∴在Rt△EDN中DM=ME.

动画1.表示NM、ME线段上画两杠并涂色，2.标注∠ADE直角符号后涂色Rt△EDN，3.在DM上也画两杠并涂色，颜色与NM、ME一致.

第二页

拓展与延伸：

（1）若将“猜想与证明”中的纸片换成正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，其它条件不变，则DM和ME的关系为             ；

解析：①利用倍长中线法构造全等三角形；

动画1.延长EM，交AD于点N；2.涂色△ANM、△MEF.   下一步

②△ANM≌△MEF可证得M为NE的中点，亦可间接证得△EDN为等腰直角三角形  

动画1. 表示NM、ME线段上画两杠并涂色；2.标记相同颜色EF、CE、AN，之后另一种颜色标记DN、DE，并在这两个线段上画“×”；3.颜色标记△EDN后在标注∠ADE直角符号.     下一步

③在等腰Rt△EDN中，可得斜边中线DM与ME 的关系为：DM=ME、DM⊥ME.

动画1.闪烁下Rt△EDN后，标记线段DM、ME两道杠，在标注∠DME为直角符号.  

答案：在题目的空中填“DM=ME且DM⊥ME”

第三页

（2）如图所示，摆放正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，使点F在边CD上，点M仍为AF的中点，试证明（1）中的结论仍然成立．

解析：连接AE，构造Rt△ADF 、Rt△AEF

动画1连接AE；2.涂色△ADF、△AEF，两个颜色不要相同，3.标记∠ADF，∠AEF为直角符号   下一步

在Rt△ADF与Rt△AEF中利用斜边中线等于斜边一半及导角即可证得：DM=ME且DM⊥ME.

答案：证明：连接AE，

∵∠FCE=45°，

∴A、E、C三点共线，

又∵M为AF的中点且△ADF与△AEF为Rt△，

∴DM=ME，下一步

∴∠DAM=∠ADM、∠MAE=∠MEA，

动画1.在∠DAM与∠ADM中画个小“o”，在∠MAE与∠MEA中画个小“×”.

又∵∠DMF=∠DAM+∠ADM，∠EMF=∠MAE+∠MEA，

且∠DAE=45°=∠DAM+∠MAE，

∴∠DME=90°，即DM⊥ME，

综上所述：DM=ME且DM⊥ME.

分三页出示

第一页

（选做）（1）如图所示，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．求证：CE=CF；

解析：证明△CBE≌△CDF即可证得CE=CF.   涂色△CBE、△CDF

答案：证明：在△CBE和△CDF中，

∵∠CBE=∠CDF=90°，标记∠CBE与∠CDF直角符号

  BE = DF，

BC=CD，

∴△CBE≌△CDF，

∴CE=CF.

第二页

（2）如图所示，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果∠GCE=45°，请你利用（1）的结论证明：GE=BE+GD．

解析：参考（1）中图示，延长AD至F，使DF=BE，连接CF，可得CE=CF.

动画延长延长AD至F，使DF=BE，在连接CF，     下一步

证明△CEG≌△CFG即可证得EG=GF=BE+GD.

涂色△CEG与△CFG，并标记EG与GF，在这两个线段上画横杠

答案：证明：延长AD至F，使DF=BE，连接CF，

由（1）可知△CBE≌△CDF

∴CE=CF，∠BCE=∠DCF，

动画1涂色△CBE和△CDF；2.标记CE与CF（画两杠）；3.标记∠BCE和

∠DCF中画个小“×”     下一步

在△CEG和△CFG中，

∵CE=CF，

∠ECG=45°=∠BCE+∠DCG=∠FCG，

  CG=CG，

∴△CEG≌△CFG   下一步

∴EG=GF

又∵DF=BE

∴EG=BE + GD.

第三页

（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：

如图所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B=90°，AB=BC，E是AB上一点，且∠DCE=45°，BE=4，DE=10，求直角梯形ABCD的面积．

解析：动画1.过C点作CF⊥AD的延长于点F，2.标记DF=6（线段上画大括号），3.标记AB=x（线段上画大括号）；4.标记AD=（x-6）,AE=(x-4)；5.涂色Rt△EAD.

运用（1）（2）结论，可得DF的值，在Rt△EAD中应用勾股定理建立方程.

答案：解：过C点作CF⊥AD的延长于点F，

由（1）（2）结论可知DF= DE-BE=10-4=6,

∵∠B=90°，AB=BC

∴四边形ABCF是正方形，下一步

设AB=x，则AD=x-6，AE=x-4，

在Rt△EAD中有：AD2+ AE2= DE2，

即：(x-6)2+( x-4)2=102，

解得：x=12，

∴直角梯形ABCD的面积S=AB(AD+ BC)= ×12×6=36

此问只需回答DM与ME的数量关系.