第9讲《规律总结》第1课时（教案）2023年人教版中考数学一轮复习

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第九讲“规律总结”.（第一课时）
［教学目标］
知识与技能
1.了解中考四种常见的规律题型；
2.理解并熟练掌握四种常见的规律总结解题方法；
3.能够应用全等、勾股定理、相似等方法解决规律总结题目.
数学思考
通过观察、猜测、推理等活动，让学生发现图形或数字的排列规律，并联系所学知识、进行知识迁移、总结得到结论，从而整理得到解决规律题型的重要方法.
问题解决
1.培养学生的观察、操作及归纳推理能力；
2.培养学生的知识迁移意识；
3.培养学生发现和欣赏数学的美的意识.
情感态度
让学生积极参与到数学学习活动中，陪同学生经历"发现规律"、"理解规律"、"运用规律"的过程，增强他们对数学学习的好奇心与求知欲，利用所学内容，简化重难知识点的解题难度，提升学生攻坚重难点的信心.
[教学重点、难点]
教学重点：归纳四种规律总结题型的解法.
教学难点：全等、勾股定理、相似等方法在其中的应用.
[教学准备]
动画多媒体语言课件.
教学过程 第一课时
教学路径
教学说明
课堂导入
一次N=kn+b型
二次N=an2+bn+c型
规律总结 幂次N=abkn +c型
循环型
师：我国著名数学家陈省身曾说过“数学是一门演绎的学问，从一组公设，经过逻辑的推理，获得结论.”而今天即将学习的第九讲“规律总结”就是要根据一些图形、数据的特点经过逻辑推理、计算、总结归纳而得到我们需要的结论.
师：在中考中常出现的规律总结题型有四种：一次型、二次型、幂次型、循环型，也就是教材“知识佳构”中的四种类型.接下来我们逐步研究这四类规律型.
佳题探究
探究类型之一 一次型
例1 下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律组成的，其中第 = 1 \* GB3 ①个图形中一共有6个小圆圈，其中第 = 2 \* GB3 ②个图形中一共有9个小圆圈，其中第 = 3 \* GB3 ③个图形中一共有12个小圆圈，……按此规律排列，则第 = 7 \* GB3 ⑦个图形中小圆圈的个数为 （ ）
A. 21 B. 24 C. 27 D. 30
解析：根据该图的特点，可把图形分成基础部分与变化部分，显然图 = 1 \* GB3 ①就可看作基础部分， = 2 \* GB3 ②、 = 3 \* GB3 ③……都可看作基础部分 = 1 \* GB3 ①与变化部分和的形式.
基础部分：n=1，N=6 下一步
n=2 ，N=6+1×3=9
n=3 ，N=6+2×3=12
下一步
第n个 ，N=6+（n-1）×3=3n+3
答案：（括号中只填B）
师：观察题目中的图形，同学们有什么样的发现？（方法不唯一）
生：每后一个图形中的圆圈数都比前一个图形的圆圈数多3个.
师：非常好，那谁能告诉大家第7个图形有多少个小圆圈.
生：24个
师：那第n个图形呢？有多少个小圆圈.
生：（3n+3）个
师：非常好，下面我们一起看一看例3
探究类型之二 二次型
例3 如图所示，将边长为(n＝1，2，3，…)的正方形纸片从左到右顺次摆放，其对应的正方形的中心依次为A1、A2、①若摆放前6个正方形纸片，则图中被遮盖的线段(虚线部分)之和为________；②若摆放前n(n为大于1的正整数)个正方形纸片，则图中被遮盖的线段(虚线部分)之和为____________．
解析：解决此题的关键在于知道每一个被遮盖的线段（虚线部分）的长度.
下一步
= 1 \* GB3 ①连接A1B、A1C (连线)，不难得到(动画涂色两个三角形)，从而可知虚线的长度和等于被遮盖的正方形的边长之和；
. 下一步 = 2 \* GB3 ②依次求得几个长度，总结其规律.
n=2 N=
n=3 N=+
n=4 N=++下一步
第n个 N=+++……+下一步=
答案：10，
师：当只摆放一个正方形时，被遮盖的线段长度是多少？
生：没有被遮盖，所以长度是0.
师：是的，同学们观察的比较仔细，这点是需要同学们注意的，被遮盖的线段长度有什么特点呢？
生：等于每一个正方形的边长.
师：好，这位同学请站起来给其他的同学说明下.
生：就是应用全等，能将其中的一段虚线转换到另外的一边上.
师：同学们听懂他的意思了吗？
生：嗯，懂了
师：我们一起看下动画演示.
师：我们多求出几个不同的n的值，（动画出示到第四个的和，之后在出示第n的规律，最后可以请同学们总结和的规律）
师：我们刚学过的例1，最后我们总结得到的n的最高次项为1次，而例3中，n的最高次数为2次，是不是与我们学习的一次函数与二次函数的形式相同？
生：是的.
师：这就是我们学习的前两种重要的规律方式，一次型与二次型，那我们现在一起总结一下这两种规律的求解方法.
课件出示顺序：（1）（图1、2）列出n与N. 下一步
（2）（图1）斜线与3，N=kn+b与（图2）1、..， 下一步
总结1，一个数列中的相邻的数字作一次差后，如果差值相等，那么此数列称为为一次型，其中一次项系数k等于该差值(如图1数列：k=3). 下一步
图1：将（1,6）代入N=3n+b,得6=3+b，解得b=3，则N=3n+3为该数列的通项公式. 下一步
总结2，一个数列中的相邻的数字作一次差后，所得差值在作一次差，如果两次差后的差值相等，那么此数列称为二次型，其中二次项系数a等于该差值的（如图2数列：a=） . 下一步
图2：将（2,1）、（4，）代入N=n2+bn+c得1=1+2b+c；=4+4b+c.
解得 b= 、 c=，则N=为该数列的通项公式.

图1 图2
师：我们按着动画中的方式排列，对应n得到每一个N的值，首先让N中相邻的数字做差，同学们可以看到图1数列的差为3，（强调图2中一次差后的值不等）我们可以这样总结，一个数列中的相邻的数字作一次差后，如果差值相等，那么此数列必为一次型，其中一次项系数k为该差值. 图1中的k即为3，之后我们可以应用求解函数待定系数法，求得b的值，例如我们可以代入（1,6）点也可代入（2,9）点等等，都是可以求出b的值，这样我们也可求出此类数列的通项公式.
师：图2中，我们在进行两次差后，差值相等，此时，我们称该数列为二次型，其中a的值为该差值的，图2数列中a=，接下来我们可以应用求解函数待定系数法求得b、c，即带入两点（1，0）与（2，1）（此处也可带入其他点，方法不唯一，教师可以板书演示）
师：好，这种求解数列的方式同学们理解了吗？
生：理解了.
例2 小东玩一种“挪珠子”游戏，根据挪动珠子的难度不同而得分不同，规定每次挪动珠子的颗数与所得分数的对应关系如下表所示：
挪动珠子数（颗）
2
3
4
5
6
…
所得分数（分）
5
11
19
29
41
…
按表中规律，当所得分数为71分时，则挪动的珠子数为 颗；当挪动n颗珠子时（n为大于1的整数）, 所得分数为 （用含n的代数式表示）.
解析：如下图示排列

下一步
a=1，
将（2,5）与（3,11）代入N=n2+bn+c得
5=4+2b+c 解得 b=1 即：
11=9+3b+c c=-1
答案：8，
师：很好，那现在同学们独自完成例2，老师一会要请一位同学来为大家讲解.
生：讲解
师：大家同意他的方法吗？
生：同意（不同意）
师：在请一位同学为我们讲解一下，谁主动站起来？
生：讲解.
师：看来大家是真的都理解了，那老师现在要分配任务了，（教师将学生分为两组，第一组完成中考佳题1与4，另一组完成中考佳题2与3）
中考佳题
1.一组按规律排列的式子：，，，，…（ab≠0），其中第9个式子是 ，第个式子是 （为正整数）．
解析： = 1 \* GB3 ①观察a、b的幂指数的特点，并应用一次型求解方法得到：；
下一步 = 2 \* GB3 ②注意“+”与“-”交替出现时的表示方法为：（奇项为负），
（偶项为负）.
答案 ，
2.如图，+1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，设△B2D1C1的面积为S1，△B3D2C2的面积为S2，…，△Bn+1DnCn的面积为Sn，则S2= ；Sn=____ （用含n的式子表示）．
解析： = 1 \* GB3 ①△Bn+1DnCn中CnDn边上的高与等边△B1AC1的高相等都为，从而将其面积转化为求解CnDn的长度.
标记线段C1D1、C2D2….. 下一步
= 2 \* GB3 ②△AC1D1∽△AC2 B2得：AC1：AC2 = C1D1：C2B2，从而得C1D1=1，
（颜色突出表示两个△） 下一步
△AC2D2∽△AC3B3得：AC2：AC3 = C2D2：C3B3，从而得C2D2=，
（颜色突出表示两个△） 下一步
同理得：CnDn= 下一步
= 3 \* GB3 ③△Bn+1DnCn的面积为：=
答案：，
3.将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放：第1个图形有6个小圆，
第2个图形有10个小圆，第3个图形有16个小圆，第4个图形有24个小圆，依此规律，第6个图形有______个小圆，第n个图形有______个小圆.
解析：
方法一：观察图形得到其规律：
第1个图的圆圈数4+1×2=6；（外围四个圆圈与内部的圆圈区别颜色，下同）
第2个图的圆圈数4+2×3=10；
第3个图的圆圈数4+3×4=16；
... ... 下一步
第n个图的圆圈数4+n×（n+1）；下一步
方法二：
下一步 6=1+b+c b=1
a=1,将（1,6）、（2,10）代入N=n2+bn+c得 解得：
10=4+2b+c c=4
即：N=n2+n+4
答案：46，n2+n+4.
4.在平面直角坐标系中，我们称边长为1且顶点的横、纵坐标均为整数的正方形为单位格点正方形．如图，在菱形ABCD中，四个顶点坐标分别是
（－8,0），（0,4），（8,0），（0，－4），则菱形ABCD能覆盖的单位格点正方形的个数是 个；若菱形AnBnCnDn的四个顶点坐标分别为（－2n,0），
（0, n），（2n，0），（0，－n）（n为正整数），则菱形AnBnCnDn能覆盖的单位格点正方形的个数为____________个（用含有n的式子表示）
x
y
8
-8
-4
4
O
A
B
C
D
解析： = 1 \* GB3 ①观察图示可知，只需求得第一象限内的单位格点正方形个数在乘以4即是菱形ABCD能覆盖的单位格点正方形个数（图中将第一象限内的灰色的小正方形图亮色），从而可得，n=4时，菱形ABCD能覆盖的单位格点正方形的个数是48 个.
= 2 \* GB3 ②n取不同值时第一象限中菱形AnBnCnDn能覆盖的单位格点正方形的个数是，可列下图示：
下一步
根据二次型求解方法得第一象限内格点正方形个数：n2-n；
菱形AnBnCnDn能覆盖的单位格点正方形的个数为：4（n2-n）.
答案：48，
师：请小组回答，总结方法.
此题目较简单，也可请学生直
接回答，解题方法不唯一，重点
是分析一次规
律型解题思路，并总结此类题
目解决方法.
总结时，教师板书后，或可简单举例，加深学生理解.
总结求解方法后，学生可以独自完成例2
教师可以请学生讲解求解得方法，以检验上面的总结效果，对于此题，难度不大，为防止有学生理解不透，可连续请两位学生讲解，一可加深学生理解记忆，二也可检验学习效果.
在每组选两名代表，分别讲解该组讨论的情况，或者请学生在前面板书计算过程，教师总结：注意点出在规律中如果遇到
“±”相间出现时要如何处理，在规律题目中注意对全等、相似、面积、直线等方法的应用.