北师大版 (2019)必修 第二册5.2 平面与平面垂直导学案

5.5.2　平面与平面垂直

1.半平面

一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都称为半平面．

2．二面角

(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角．

(2)相关概念：

①这条直线称为二面角的棱，②这两个半平面称为二面角的面．

(3)画法：

(4)记法：二面角α－AB－β或α－l－β.

(5)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作________于棱的两条射线，这两条射线所成的角称为二面角的平面角．

如图：则二面角α－l－β的平面角是∠AOB．

(6)二面角的平面角θ的取值范围：0°≤θ≤180°.

3．平面与平面垂直的性质定理

(1)文字叙述：两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的________，那么这条直线与另一个平面垂直．

(2)图形表示：

(3)符号表示：α⊥β，a⊂α，α∩β＝l，a⊥l⇒a⊥β.

(4)作用：证明直线和平面垂直．

4．平面与平面垂直的判定定理

(1)语言叙述：如果一个平面过另一个平面的________，那么这两个平面垂直．

(2)图形表示：

(3)符号表示：l⊂α，l⊥β⇒α⊥β.

答案：2.(5)垂直

3．(1)交线

4．(1)垂线

研习1  平面与平面垂直性质定理及应用(直观想象、逻辑推理)

[题组训练]

[典例1]　1.已知平面α、β和直线m、l，则下列命题中正确的是(　　)

A．若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，则l⊥β

B．若α∩β＝m，l⊂α，l⊂m，则l⊥β

C．若α⊥β，l⊂α，则l⊥β

D．若α⊥β，α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥β

2．如图所示，三棱锥P－ABC中，平面PAB⊥底面ABC，且PA＝PB＝PC，则△ABC是________三角形．

3．如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形．侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD．G为AD边的中点．

求证：

(1)BG⊥平面PAD；

(2)AD⊥PB．

[自主记]

1．[答案]　D

2．[答案]　直角　

[解析]　设P在平面ABC上的射影为O，因为平面PAB⊥底面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，所以O∈AB．

因为PA＝PB＝PC，所以OA＝OB＝OC，所以O是△ABC的外心，且是AB的中点，所以△ABC是直角三角形．

3．[解]　(1)由题意知△PAD为正三角形，G是AD的中点，所以PG⊥AD．

又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PG⊂平面PAD，

所以PG⊥平面ABCD，由BG⊂平面ABCD，所以PG⊥BG.又因为四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，

所以△ABD是正三角形，所以BG⊥AD．又AD∩PG＝G，AD，PG⊂平面PAD，所以BG⊥平面PAD．

(2)由(1)可知BG⊥AD，PG⊥AD，BG∩PG＝G，BG，PG⊂平面PBG，所以AD⊥平面PBG，

又PB⊂平面PBG，所以AD⊥PB．

[巧归纳]　对面面垂直的性质定理的理解

(1)定理成立的条件有三个：

①两个平面互相垂直；

②直线在其中一个平面内；

③直线与两平面的交线垂直．

(2)定理的实质是由面面垂直得线面垂直，故可用来证明线面垂直．

(3)已知面面垂直时，可以利用此定理转化为线面垂直，再转化为线线垂直.

研习2  平面与平面垂直的判定(逻辑推理)

[典例2]　如图所示，在四面体A－BCS中，已知∠BSC＝90°，∠BSA＝∠CSA＝60°，又SA＝SB＝SC．

求证：平面ABC⊥平面SBC．

续表

[巧归纳]　证明面面垂直常用的方法

(1)定义法：即说明两个半平面所成的二面角是直二面角；

(2)判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为“线面垂直”；

(3)性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面．

[练习1]　如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，E为PD的中点．

(1)求证：PB∥平面AEC；

(2)若PA⊥平面ABCD，PA＝AD，求证：平面AEC⊥平面PCD．

证明：(1)连接BD交AC于点O，连接EO，

因为O为BD中点，E为PD中点，所以EO∥PB，

又EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，

所以PB∥平面AEC．

(2)因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD，又AD⊥CD，且AD∩PA＝A，所以CD⊥平面PAD，又AE⊂平面PAD，所以CD⊥AE.

因为PA＝AD，E为PD中点，

所以AE⊥PD．

又CD∩PD＝D，所以AE⊥平面PDC，

又AE⊂平面AEC，所以平面AEC⊥平面PDC．

研习3  平面与平面相交的综合问题(直观想象、逻辑推理)

角度1　求二面角

[典例3]　如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上的一点，且PA＝AC，求二面角P－BC－A的大小．

[自主记]

[解]　由已知PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，

所以PA⊥BC．因为AB是⊙O的直径，且点C在圆周上，

所以AC⊥BC．又因为PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，

所以BC⊥平面PAC．又PC⊂平面PAC，所以PC⊥BC．

又因为BC是二面角P－BC－A的棱，

所以∠PCA是二面角P－BC－A的平面角．

又因为PA＝AC，所以△PAC是等腰直角三角形，

所以∠PCA＝45°，即二面角P－BC－A的大小是45°.

[变式探究]

将本例变为：四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，求二面角B－PA－C的大小．

解：因为PA⊥平面ABCD，

所以AB⊥PA，AC⊥PA．

所以∠BAC为二面角B－PA－C的平面角．

又四边形ABCD为正方形，

所以∠BAC＝45°.即二面角B－PA－C的大小为45°.

角度2　平面与平面相交的平行和垂直问题

[典例4]　在四面体D－ABC中，CB＝CD，AD⊥BD，且E，F分别是AB，BD的中点．

求证：(1)直线EF∥平面ACD；

(2)平面EFC⊥平面BCD．

[自主记]

[证明]　(1)因为E，F分别是AB，BD的中点，

所以EF是△ABD的中位线，所以EF∥AD，

因为EF⊄平面ACD，AD⊂平面ACD，

所以直线EF∥平面ACD．

(2)因为AD⊥BD，EF∥AD，所以EF⊥BD．

因为CB＝CD，F是BD的中点，所以CF⊥BD．

又EF∩CF＝F，所以BD⊥平面EFC．

因为BD⊂平面BCD，

所以平面EFC⊥平面BCD．

[解题策略]　解决二面角问题的策略

(1)清楚二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关，通常可根据需要选择特殊点作平面角的顶点．

(2)求二面角的大小的方法：

一作：即先作出二面角的平面角；

二证：即说明所作角是二面角的平面角；

三求：即利用二面角的平面角所在的三角形算出角的三角函数值，其中关键是“作”．

[练习2]　1.如图，在三棱锥P－ABC中，平面PAB⊥平面ABC，PA＝PB，AD＝DB，则(　　)

A．PD⊂平面ABC

B．PD⊥平面ABC

C．PD与平面ABC相交但不垂直

D．PD∥平面ABC

答案：B

2．如图，在三棱锥P－ABC内，侧面PAC⊥底面ABC，且∠PAC＝90°，PA＝1，AB＝2，则PB＝________.

答案：　

解析：因为侧面PAC⊥底面ABC，交线为AC，∠PAC＝90°(即PA⊥AC)，所以PA⊥平面ABC，又AB⊂平面ABC，所以PA⊥AB，所以PB＝＝＝.

3．如图所示，在△ABC中，AB⊥BC，SA⊥平面ABC，DE垂直平分SC，且分别交AC，SC于点D，E，又SA＝AB，SB＝BC，求二面角E－BD－C的大小．

解：因为SA⊥平面ABC，

所以SA⊥BD．由已知SC⊥ED，SE＝EC，SB＝BC．

所以SC⊥BE，BE∩DE＝E，所以SC⊥平面BED，所以SC⊥BD．

又因为BD⊥SA，SA∩SC＝S，所以BD⊥平面SAC．

因为AC⊂平面SAC，所以BD⊥AC，所以BD⊂CD．

同理BD⊥DE，即∠EDC是二面角E－BD－C的平面角，

设SA＝1，则SA＝AB＝1，

因为AB⊥BC，所以SB＝BC＝，

可证得CB⊥SB，所以SC＝2，

所以在Rt△SAC中，∠DCS＝30°，

所以∠EDC＝60°.即二面角E－BD－C的大小为60°.

达标篇·课堂速测演习

1．下列命题中错误的是(　　)

A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β

B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β

C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ

D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β

答案：D　

2．已知直线l⊥平面α，则经过l且和α垂直的平面(　　)

A．有一个   B．有两个

C．有无数个   D．不存在

答案：C　

3．(教材二次开发：练习改编)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角D1－BC－D的平面角的大小为(　　)

A．30°   B．45° 

C．60°   D．90°

答案：B

4．在三棱锥P－ABC中，已知PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，如图，则在三棱锥P－ABC的四个面中，互相垂直的面有________对．

答案：3　

解析：平面PAB⊥平面PAC，平面PAB⊥平面PBC，平面PAC⊥平面PBC．

5．如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，AB∥DC，CD＝2AB，AD⊥CD，E为棱PD的中点．

(1)求证：CD⊥AE；

(2)试判断PB与平面AEC是否平行？并说明理由．

解：(1)因为PD⊥底面ABCD，

DC⊂底面ABCD，所以PD⊥DC．

又AD⊥DC，AD∩PD＝D，所以CD⊥平面PAD．

又AE⊂平面PAD，所以CD⊥AE.

(2)PB与平面AEC不平行．

假设PB∥平面AEC，设BD∩AC＝O，连接OE，则平面EAC∩平面PDB＝OE，

又PB⊂平面PDB，

所以PB∥OE.

所以在△PDB中有＝，

由E是PD中点可得＝＝1，

即OB＝OD．

因为AB∥DC，所以＝＝，

这与OB＝OD矛盾，

所以假设错误，PB与平面AEC不平行．

[方法技巧]　化归思想的运用

化归与转化思想贯穿立体几何的始终，是处理立体几何问题的最基本的数学思想．

[示例]　如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为a的菱形，∠DAB＝60°，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD．

(1)求证：AD⊥PB；

(2)若E为BC边的中点，能否在棱上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD？并证明你的结论，

[思路分析]　(1)寻找AD垂直于包含PB的平面．

(2)分析时结合(1)及所给图形的特征，寻找与平面DEF平行且与平面ABCD垂直的平面，进而确定F的确切位置．

[解析]　(1)证明：如图所示，设G为AD的中点，连接PG，BG，

∵△PAD为正三角形，

∴PG⊥AD．

在菱形ABCD中，

∵∠DAB＝60°，

G为AD的中点，∴BG⊥AD．

又∵BG∩PG＝G，∴AD⊥平面PGB．

∵PB⊂平面PGB，∴AD⊥PB．

(2)解：当F为PC的中点时，满足平面DEF⊥平面ABCD．证明如下：

设F为PC的中点，则在△PBC中，FE∥PB．在菱形ABCD中，GB∥DE.

∵FE⊂平面DEF，DE⊂平面DEF，EF∩DE＝E，PB⊂平面PGB，GB⊂平面PGB，PB∩GB＝ B．

∴平面DEF∥平面PGB．

由(1)，得PG⊥平面ABCD，而PG⊂平面PGB，

∴平面PGB⊥平面ABCD，

∴平面DEF⊥平面ABCD．

[题后反思]　空间问题化成平面问题是解决立体几何问题的一个基本原则，解题时要抓住几何图形自身的特点，如等边三角形的三线合一、中位线定理、菱形的对角线互相垂直等．对于一些较复杂的问题，注意应用转化与化归思想解决．