北师大版高中数学必修第二册6-4-2平面与平面平行学案

5.4.2　平面与平面平行

1.平面与平面平行的性质定理

文字叙述：两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面________，那么两条交线平行．

符号表示：α∥β，α∩γ＝α，β∩γ＝b⇒a∥b.

图形表示：

作用：证明两直线平行．

2.平面与平面平行的判定定理

文字叙述：如果一个平面内的两条________与另一个平面平行，那么这两个平面平行．

符号表示：

a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，α∥β，b∥β⇒α∥β.

图形表示：

作用：证明平面与平面平行．

答案：1.相交

2.相交直线

研习1  平面与平面平行性质定理的应用(直观想象、逻辑推理)　　　　　　　　　　　　　　　　　　

[典例1]　1.已知长方体ABCD－A′B′C′D′，平面α∩平面ABCD＝EF，平面α∩平面A′B′C′D′＝E′F′，则EF与E′F′的位置关系是(　　)

A．平行    B．相交

C．异面    D．不确定

2.已知平面α∥β，直线a⊂α，有下列命题：

①a与β内的所有直线平行；

②a与β内无数条直线平行；

③a与β内的任意一条直线都不垂直．

其中真命题的序号是________．

3.如图，已知α∥β，点P是平面α，β外的一点(不在α与β之间)，直线PB，PD分别与α，β相交于点A，B和C，D.

(1)求证：AC∥BD；

(2)已知PA＝4，AB＝5，PC＝3，求PD的长．

[自主记]

1.[答案]　A　

2.[答案]　②

3.[解]　(1)因为PB∩PD＝P，所以直线PB和PD确定一个平面γ.

则α∩γ＝AC，β∩γ＝BD.又α∥β，所以AC∥BD.

(2)由(1)得AC∥BD，所以＝，

所以＝，

所以CD＝.

所以PD＝PC＋CD＝.

[巧归纳]　常用的面面平行的性质

(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面；

(2)平行于同一个平面的两个平面平行；

(3)两条直线被三个平行平面所截，截得的线段长成比例；

(4)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.

研习3  平面与平面平行的判定(逻辑推理)

[典例2]　在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分别是C1C，B1C1，C1D1的中点，求证：平面MNP∥平面A1BD.

[巧归纳]　判定平面与平面平行的常用方法

(1)定义法：证明两个平面没有公共点，通常采用反证法．

(2)利用判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面．证明时应遵循先找后作的原则，即先在一个平面内找到两条与另一个平面平行的相交直线，若找不到再作辅助线.

[练习1]　如图，在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别是PA，PB，PC的中点．M是AB上一点，连接MC，N是PM与DE的交点，连接NF，求证：NF∥CM.

证明：因为D，E分别是PA，PB的中点，所以DE∥AB．又DE⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，

所以DE∥平面ABC，同理DF∥平面ABC，且DE∩DF＝D，所以平面DEF∥平面ABC．

又平面PCM∩平面DEF＝NF，

平面PCM∩平面ABC＝CM，所以NF∥CM.

研习3  面面平行的性质定理与判定定理的综合应用(直观想象、逻辑推理)

角度1　利用面面平行的性质定理和判定定理证明平行关系

[典例3]　如图所示，两条异面直线BA，DC与两平行平面α，β分别交于B，A和D，C，M，N分别是AB，CD的中点．求证：MN∥平面α.

[自主记]

[证明]　如图，过A作AE∥CD交平面α于点E，取AE的中点P，

连接MP，PN，BE，ED，AC．

因为AE∥CD，所以AE，CD确定平面AEDC．

则平面AEDC∩平面α＝DE，平面AEDC∩平面β＝AC．因为α∥β，所以AC∥DE.又因为P，N分别为AE，CD的中点，所以PN∥DE.

因为PN⊄平面α，DE⊂平面α，所以PN∥平面α.

又因为M，P分别为AB，AE的中点，

所以MP∥BE.又因为MP⊄平面α，BE⊂平面α，

所以MP∥α.因为MP，PN⊂平面MPN，且MP∩PN＝P，

所以平面MPN∥平面α.

又因为MN⊂平面MPN，所以MN∥平面α.

[变式探究]

如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，P，Q分别是BC，C1D1，AD1，BD的中点．

(1)求证：PQ∥平面DCC1D1；

(2)求PQ的长；

(3)求证：EF∥平面BB1D1D.

解：(1)如图所示．

连接AC，CD1，因为P，Q分别是AD1，AC的中点，

所以PQ∥CD1.

又因为PQ⊄平面DCC1D1，CD1⊂平面DCC1D1，

所以PQ∥平面DCC1D1.

(2)由(1)易知PQ＝D1C＝a.

(3)取B1C1的中点E1，连接EE1，FE1，B1D1，则有FE1∥B1D1，EE1∥BB1，因为FE1∩E1E＝E1，

所以平面EE1F∥平面BB1D1D.又因为EF⊂平面EE1F，所以EF∥平面BB1D1D.

角度2　线线平行与面面平行的综合问题

[典例4]　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO？

[自主记]

[解]　当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.

连接PQ，因为Q为CC1的中点，P为D1D的中点，所以PQ∥DC．

又DC∥AB，所以PQ∥AB且PQ＝AB，所以四边形ABQP为平行四边形，所以QB∥PA．

又PA⊂平面PAO，QB⊄平面PAO，所以BQ∥平面PAO.连接BD，则O∈BD，

又O为DB的中点，P为D1D的中点，所以PO∥D1B．PO⊂平面PAO，D1B⊄平面PAO，

所以D1B∥平面PAO.

又D1B∩BQ＝B，所以平面D1BQ∥平面PAO.

[巧归纳]　

1.面面平行的性质：两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面，符号表示为α∥β，a⊂α⇒a∥β.这是证明线面平行的另一种方法．

2.利用线面平行和面面平行的判定和性质定理，可以完成线线平行、线面平行和面面平行的相互转化.

[练习2]　1.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．

答案：　

解析：由EF∥平面AB1C可知，EF∥AC，

所以EF＝AC＝×＝×2＝.

2.平面α∥平面β，点A，C∈α，点B，D∈β，直线AB，CD相交于P，已知AP＝8，BP＝9，CD＝34，则CP＝________.

答案：16或272　

解析：当AB与CD交点P位于α，β之间时，如图．

由题意知AC∥BD，＝＝.

又CP＋PD＝CD＝34.

所以CP＝16.

当交点位于BA延长线上时，AC∥BD.

所以＝＝，＝，CP＝272.

3.如图，已知ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：AP∥GH.

证明：如图，连接AC交BD于O，连接MO.

因为四边形ABCD是平行四边形，所以O是AC的中点．

又因为M是PC的中点，所以AP∥OM.

因为OM⊂平面BMD，PA⊄平面BMD，

所以PA∥平面BMD.因为平面PAHG∩平面BMD＝GH.

PA⊂平面PAHG，所以PA∥GH.

1.能够判断两个平面α，β平行的条件是(　　)

A．平面α，β都和第三个平面相交，且交线平行

B．夹在两个平面间的线段相等

C．平面α内的无数条直线与平面β无公共点

D.平面α内的所有的点到平面β的距离都相等

答案：D　

2.(教材二次开发：习题改编)给出下列命题：①m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β⇒α∥β　②α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n　③α∥β，l⊂α⇒l∥β　④α内的任一直线都平行于β⇒α∥β

其中正确的命题是(　　)

A．①③    B．②④

C．③④    D．②③

答案：C

3.六棱柱的两底面为α，β，且A∈α，B∈α，C∈β，D∈β，AD∥BC，则AB与CD的位置关系是________．

答案：平行　

解析：因为AD∥BC，且平面ABCD∩α＝AB，平面ABCD∩β＝CD，又α∥β，所以AB∥CD.

4.如图所示，四边形ABCD是矩形，P∉平面ABCD，过BC作平面BCFE交AP于点E，交DP于点F，求证：四边形BCFE是梯形．

证明：因为BC∥AD，AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD.

所以BC∥平面PAD.又因为BC⊂平面BCFE，

平面BCFE∩平面PAD＝EF.

所以BC∥EF.

又因为EF≠BC．所以四边形BCFE是梯形．

[方法技巧]　平面与平面平行的判定方法

(1)定义法：两个平面没有公共点；

(2)判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面；

(3)转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β；

(4)利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ.

[示例]　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是BC，CC1，C1D1，A1A的中点．求证：

(1)BF∥HD1；

(2)EG∥平面BB1D1D；

(3)平面BDF∥平面B1D1H.

[证明]　(1)如图所示，取BB1的中点M，易证四边形HMC1D1是平行四边形，∴HD1∥MC1.

又∵MC1∥BF，∴BF∥HD1.

(2)取BD的中点O，连接EO，D1O，则OE綊DC，

又D1G綊DC，∴OE綊D1G，

∴四边形OEGD1是平行四边形，∴GE∥D1O.

又D1O⊂平面BB1D1D，∴EG∥平面BB1D1D.

(3)由(1)知D1H∥BF，

又BD∥B1D1，B1D1，HD1⊂平面HB1D1，

BF，BD⊂平面BDF，且B1D1∩HD1＝D1，DB∩BF＝B，

∴平面BDF∥平面B1D1H.

[题后反思]　1.在平面和平面平行的判定定理中，“两条相交直线”中的“相交”两个字不能忽略，否则结论不一定成立．

2.若由两个平面平行来推证两条直线平行，则这两条直线必须是这两个平行平面与第三个平面的交线，有时候第三个平面需要作出来．