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2020-2021学年5.2 平面与平面垂直教学设计
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这是一份2020-2021学年5.2 平面与平面垂直教学设计，共22页。
《平面与平面垂直的性质》教学设计
◆ 教材分析
空间中平面与平面之间的位置关系中， 垂直是一种非常重要的位置关系， 它不仅应用较
多，而且是空间问题平面化的典范．空间中平面与平面垂直的性质定理具备以下两个特点：
（ 1）它是立体几何中最难、最
由面面垂直转化为线面垂直，
最重要的定理．
“高级 ”的定理． （2）它往往又是一个复杂问题的开端，即先
否则无法解决问题． 因此， 面面垂直的性质定理是立体几何中
◆ 教学目标
1．探究平面与平面垂直的性质定理，进一步培养学生的空间想象能力．
2．面面垂直的性质定理的应用，培养学生的推理能力．
3．通过平面与平面垂直的性质定理的学习，培养学生转化的思想．
◆ 教学重难点
◆
教学重点：平面与平面垂直的性质定理．
教学难点：平面与平面性质定理的应用．
◆ 教学过程
复习
（ 1）面面垂直的定义．
如果两个相交平面所成的二面角为直二面角，那么这两个平面互相垂直．
（2）面面垂直的判定定理．
两个平面垂直的判定定理：
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．
AB
两个平面垂直的判定定理符号表述为： α⊥β．
AB
两个平面垂直的判定定理图形表述为：
图 1
导入新课
思路 1． （情境导入）
黑板所在平面与地面所在平面垂直，你能否在黑板上画一条直线与地面垂直？
思路 2． （事例导入）
如图 2，长方体 ABCD —A′B′C′D ′中，平面 A′ADD ′与平面 ABCD 垂直，直线 A′A 垂直于
其交线 AD ．平面 A′ADD ′内的直线 A′A 与平面 ABCD 垂直吗？
新知探究
提出问题
①如图 3，若 α⊥
请同学们讨论直线
图 2
β， α∩β=CD， AB α， AB⊥CD， AB ∩CD =B．
AB 与平面 β的位置关系．
图 3
②用三种语言描述平面与平面垂直的性质定理，并给出证明．
③设平面 α⊥平面 β，点 P∈ α， P∈a， a⊥ β，请同学们讨论直线 a 与平面 α的关系．
④分析平面与平面垂直的性质定理的特点，讨论应用定理的难点．
⑤总结应用面面垂直的性质定理的口诀．
活动： 问题①引导学生作图或借助模型探究得出直线 AB 与平面 β的关系．
问题②引导学生进行语言转换．
问题③引导学生作图或借助模型探究得出直线 a 与平面 α的关系．
问题④引导学生回忆立体几何的核心，以及平面与平面垂直的性质定理的特点．
问题⑤引导学生找出应用平面与平面垂直的性质定理的口诀．
讨论结果： ①通过学生作图或借助模型探究得出直线 AB 与平面 β垂直，如图 3．
②两个平面垂直的性质定理用文字语言描述为： 如果两个平面垂直， 那么在一个平面内
垂直于它们交线的直线垂直于另一平面．
两个平面垂直的性质定理用图形语言描述为：如图 4．
图 4
AB
两个平面垂直的性质定理用符号语言描述为：
AB
AB
两个平面垂直的性质定理证明过程如下：
CD AB⊥ β．
CD
CD B
图 5
如图 5，已知 α⊥ β， α∩β=a， AB α， AB⊥a 于 B．
求证： AB⊥ β．
证明： 在平面 β内作 BE⊥CD 垂足为 B，则∠ ABE 就是二面角 αCDβ的平面角．
由 α⊥ β，可知 AB⊥ BE．又 AB⊥CD， BE 与 CD 是 β内两条相交直线，∴ AB⊥ β．
③问题③也是阐述面面垂直的性质，变为文字叙述为：
求证： 如果两个平面互相垂直， 那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，
在第一个平面内．下面给出证明．
如图 6，已知 α⊥ β， P ∈ α， P ∈a， a⊥ β．求证： a α．
图 6
证明： 设 α∩β=c，过点 P 在平面 α内作直线 b⊥c，
∵ α⊥ β，∴ b⊥ β．而 a⊥ β， P∈a，
∵经过一点只能有一条直线与平面 β垂直，∴直线 a 应与直线 b 重合．那么 a α．
利用 “同一法 ”证明问题， 主要是在按一般途径不易完成问题的情形下所采用的一种数学
方法，这里要求做到两点．一是作出符合题意的直线 b，不易想到，二是证明直线 b 和直线
a 重合，相对容易些．点 P 的位置由投影所给的图及证明过程可知，可以在交线上，也可以
不在交线上．
④我认为立体几何的核心是： 直线与平面垂直， 因为立体几何的几乎所有问题都是围绕
它展开的， 例如它不仅是线线垂直与面面垂直相互转化的桥梁， 而且由它还可以转化为线线
平行， 即使作线面角和二面角的平面角也离不开它． 两个平面垂直的性质定理的特点就是帮
我们找平面的垂线，因此它是立体几何中最重要的定理．
⑤应用面面垂直的性质定理口诀是：
应用示例
例 1 如图 7，已知 α⊥ β， a⊥ β，
“见到面面垂直， 立即在一个平面内作交线的垂线 ”．
思路 1
a α，试判断直线 a 与平面 α的位置关系．
解： 在 α内作垂直于
∵ α⊥ β，
∴b⊥ β．
∵a⊥ β，
∴a∥b．
∵a α，
∴a∥ α．
图 7
α与 β交线的垂线 b，
变式训练
如图 8，已知平面 α交平面
证： （1） a⊥ γ； （2） b⊥ γ．
证明： 如图 9，
β于直线 a． α、 β同垂直于平面 γ，又同平行于直线 b．求
图 8 图 9
2 2
（ 1）设 α∩γ=AB， β∩γ=AC．在 γ内任取一点 P 并在 γ内作直线 PM ⊥AB， PN⊥AC． ∵ γ⊥ α，∴ PM ⊥ α．而 a α，∴ PM ⊥a．
同理， PN⊥a．又 PM γ， PN γ，∴ a⊥ γ．
（2）在 a 上任取点 Q，过 b与 Q 作一平面交 α于直线 a1，交 β于直线 a2．∵b∥ α， ∴b∥a1． 同理， b∥a2．
∵a1、 a2 同过 Q 且平行于 b，∴ a1、 a2 重合．
又 a1 α， a2 β，∴ a1、 a2 都是 α、 β的交线，即都重合于 a．
∵b∥a1，∴ b∥a．而 a⊥ γ，∴ b⊥ γ．
点评： 面面垂直的性质定理作用是把面面垂直转化为线面垂直， 见到面面垂直首先考虑
利用性质定理，其口诀是： “见到面面垂直，立即在一个平面内作交线的垂线 ”．
例 2 如图 10，四棱锥 P— ABCD 的底面是 AB=2， BC= 2 的矩形，侧面 PAB 是等边
三角形，且侧面 PAB⊥底面 ABCD．
图 10 图 11
（ 1）证明侧面 PAB⊥侧面 PBC；
（2）求侧棱 PC 与底面 ABCD 所成的角；
（ 3）求直线 AB 与平面 PCD 的距离．
（ 1） 证明： 在矩形 ABCD 中， BC ⊥AB，
又∵面 PAB⊥底面 ABCD ，侧面 PAB ∩底面 ABCD =AB，∴ BC⊥侧面 PAB．
又∵ BC 侧面 PBC，∴侧面 PAB⊥侧面 PBC．
（2）解： 如图 11， 取 AB 中点 E， 连接 PE、 CE， 又∵△ PAB 是等边三角形， ∴PE⊥AB．
又∵侧面 PAB⊥底面 ABCD ，∴ PE⊥面 ABCD．
∴∠ PCE 为侧棱 PC 与底面 ABCD 所成角．
3
PE= BA= 3，
2
在 Rt△PEC 中，∠
CE= BE BC = 3，
PCE=45°为所求．
30
a
2
（ 3） 解： 在矩形 ABCD 中， AB∥ CD，
∵CD 侧面 PCD， AB 侧面 PCD ，∴ AB∥侧面 PCD．
取 CD 中点 F ，连接 EF、 PF ，则 EF ⊥AB．
又∵ PE⊥AB ，∴ AB ⊥平面 PEF．又∵ AB∥CD，
∴CD⊥平面 PEF ．∴平面 PCD⊥平面 PEF．
作 EG ⊥PF ，垂足为 G，则 EG⊥平面 PCD．
在 Rt△PEF 中， EG= PE ? EC
PF
变式训练
为所求．
5
如图 12， 斜三棱柱 ABC— A1B1C1 的棱长都是 a， 侧棱与底面成 60°角， 侧面 BCC1B1 ⊥ 面 ABC．求平面 AB1C1 与底面 ABC 所成二面角的大小．
图 12
活动： 请同学考虑面 BB1C1C⊥面 ABC 及棱长相等两个条件，师生共同完成表述过程， 并作出相应辅助线．
解： ∵面 ABC ∥面 A1B1C 1 ，则面 BB1C1C ∩面 ABC= BC，
面 BB1C 1C ∩面 A1B1C1=B1C1，∴ BC ∥B1C1，则 B1C 1∥面 ABC．
设所求两面交线为 AE，即二面角的棱为 AE，
则 B1C 1∥AE，即 BC ∥AE．
过 C1 作 C1D ⊥BC 于 D ，∵面 BB1C 1C⊥面 ABC，
∴C1D ⊥面 ABC， C1 D ⊥BC．
又∠ C 1CD =60°， CC 1=a，故 CD= ，即 D 为 BC 的中点．
又△ABC 是等边三角形，∴ BC⊥AD．
那么有 BC⊥面 DAC 1 ，即 AE⊥面 DAC 1．
故 AE⊥AD， AE ⊥AC 1，
∠C1AD 就是所求二面角的平面角．
2 2 CE
3 1 OE
3
3 3
2 2
2
∵C1D = a， AD = a， C 1D⊥AD ，故∠ C 1AD=45°．
点评： 利用平面与平面垂直的性质定理，找出平面的垂线是解决问题的关键．
思路 2
例 1 如图 13，把等腰直角三角形 ABC 沿斜边 AB 旋转至 △ABD 的位置，使 CD =AC，
（ 1）求证：平面 ABD ⊥平面 ABC；
（2）求二面角 CBDA 的余弦值．
（ 1） 证明： （证法一） ：由题设，知
图 13
AD=CD =BD ，作 DO⊥平面 ABC， O 为垂足，则
OA=OB=OC．
∴O 是△ABC 的外心，即 AB 的中点．
∴O∈AB，即 O∈平面 ABD．
∴OD 平面 ABD．∴平面 ABD ⊥平面 ABC．
（证法二） ：取 AB 中点 O，连接 OD、 OC，
则有 OD ⊥AB， OC⊥AB，即∠ COD 是二面角 CABD 的平面角．
设 AC=a，则 OC =OD = a，
2
又 CD=AD =AC，∴ CD =a．∴△ COD 是直角三角形，即∠ COD =90°．
∴二面角是直二面角，即平面 ABD⊥平面 ABC．
（2） 解： 取 BD 的中点 E，连接 CE、 OE、 OC，∵△ BCD 为正三角形，∴ CE⊥BD．
又△BOD 为等腰直角三角形，∴ OE⊥ BD．∴∠ OEC 为二面角 CBDA 的平面角．
同（ 1）可证 OC⊥平面 ABD，∴ OC ⊥OE．∴△ COE 为直角三角形．
设 BC=a，则 CE=
变式训练
a， OE= a，∴ cs∠OEC =
即为所求．
3
如图 14， 在矩形 ABCD 中， AB=33， BC=3， 沿对角线 BD 把△BCD 折起， 使 C 移到 C′，
．
C G C =
3 C'O
2 ，即
．
且 C′在面 ABC 内的射影 O 恰好落在 AB 上．
图 14
（ 1）求证： AC′⊥BC′；
（2）求 AB 与平面 BC ′D 所成的角的正弦值；
（ 3）求二面角 C′BDA 的正切值．
（ 1） 证明： 由题意，知 C′O⊥面 ABD ，∵ C′O ABC′，
∴面 ABC′⊥面 ABD．
又∵AD ⊥AB，面 ABC′ ABD =AB，∴ AD ⊥面 ABC′．∴ AD ⊥BC′．
∵BC′⊥ C′D，∴ BC′⊥面 AC′D ．∴ BC′⊥AC′．
（2） 解： ∵BC′⊥面 AC′D， BC′ 面 BC′D ，∴面 AC′D ⊥面 BC′D．
作 AH ⊥C′D 于 H ，则 AH⊥面 BC′D ，连接 BH ，则 BH 为 AB 在面 BC′D 上的射影，
∴∠ABH 为 AB 与面 BC ′D 所成的角．
又在 Rt△AC′D 中， C′D =33， AD =3，∴ AC ′=3 2 ．∴ AH= 6 ．
∴sin∠ABH= AH
AB
AB 与平面 BC′D 所成角的正弦值为
3
2
3
（ 3） 解： 过 O 作 OG⊥ BD 于 G，连接 C′G，则 C′G⊥BD，则∠ C′GO 为二面角 C′BDA
的平面角．
在 Rt△AC ′B 中， C′O= AC'?BC'
AB
在 Rt△BC ′D 中， C′G= BC '?C 'D
BD
6，
3 3
2
∴OG= 2 2
．∴ tan∠C′GO = 2 2，
2 OG
即二面角 C′BDA 的正切值为 2 2 ．
点评： 直线与平面垂直是立体几何的核心， 它是证明垂直问题和求二面角的基础， 因此
利用平面与平面垂直的性质定理找出平面的垂线，就显得非常重要了．
6
AN 6
6
例 2 如图 15，三棱柱 ABC—A1B1C 1 中， ∠BAC=90°， AB =BB1=1， 直线 B1C 与平面 ABC 成 30°角，求二面角 BB1CA 的正弦值．
图 15
活动： 可以知道， 平面 ABC 与平面 BCC 1B1 垂直， 故可由面面垂直的性质来寻找从一个 半平面到另一个半平面的垂线．
解： 由直三棱柱性质得平面 ABC ⊥平面 BCC 1B1， 过 A 作 AN⊥平面 BCC 1B1， 垂足为 N，
则 AN⊥平面 BCC1 B1 （AN 即为我们要找的垂线） ，在平面 BCB 1 内过 N 作 NQ⊥棱 B1C，垂 足为 Q，连接 QA ，则∠ NQA 即为二面角的平面角．
∵AB1 在平面 ABC 内的射影为 AB， CA ⊥AB，
∴CA⊥B1A． AB=BB1=1，得 AB1= 2．
∵直线 B1C 与平面 ABC 成 30°角，∴∠ B1CB=30°， B1C=2．
在 Rt△B1AC 中，由勾股定理，得 AC= 2 ．∴ AQ=1．
在 Rt△BAC 中， AB=1， AC= 2 ，得 AN= ．
3
sin∠AQN = = ，
AQ 3
即二面角 BB1CA 的正弦值为 ．
3
变式训练
如图 16， 边长为 2 的等边 △PCD 所在的平面垂直于矩形 ABCD 所在的平面， BC=2 2 ，
M 为 BC 的中点．
（ 1）证明： AM ⊥PM；
（2）求二面角 PAMD 的大小．
图 16 图 17
（ 1） 证明： 如图 17，取 CD 的中点 E，连接 PE、 EM、 EA，
∵△ PCD 为正三角形，
∴PE⊥CD， PE= PDsin ∠PDE=2sin60°= 3．
∵平面 PCD ⊥平面 ABCD ，∴ PE⊥平面 ABCD．
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴△ADE、 △ECM、 △ABM 均为直角三角形．
由勾股定理可求得 EM = 3， AM = 6， AE=3，
∴EM2+AM2=AE 2．∴ AM ⊥EM．
又 EM 是 PM 在平面 ABCD 上的射影，∴∠ AME =90°．∴ AM ⊥PM．
（2） 解： 由（ 1）可知 EM ⊥AM， PM ⊥AM， ∴∠ PME 是二面角 PAMD 的平面角．
PE ∴tan∠PME =
EM
3
=1 ．∴∠ PME =45°．
3
∴二面角 PAMD 为 45°．
知能训练
课本本节练习．
拓展提升
如图 18，在三棱锥 S— ABC 中，侧面 SAB 与侧面 SAC 均为等边三角形，∠ BAC=90°，
O 为 BC 中点．
（ 1）证明 SO⊥平面 ABC；
（2）求二面角 ASCB 的余弦值．
2
．
3
3
（ 1） 证明： 如图 19，由题设，知
角形，所以 OA=OB=OC= SA，且
2
2
SO= SA．
2
图 18 图 19
AB=AC=SB=SC=SA．连接 OA， △ABC 为等腰直角三
AO⊥BC．又 △SBC 为等腰三角形，故 SO⊥BC，且
从而 OA 2+SO2=SA2 ．所以 △SOA 为直角三角形， SO⊥AO．
又 AO ∩BC=O，所以 SO⊥平面 ABC．
（2） 解： 如图 19，取 SC 中点 M，连接 AM、 OM，
由（ 1），知 SO=OC， SA=AC，得 OM ⊥SC， AM ⊥SC．
所以∠ OMA 为二面角 ASCB 的平面角．
由 AO ⊥BC， AO ⊥SO， SO∩BC=O，得 AO⊥平面 SBC．
所以 AO ⊥OM ．又 AM = SA，故
2
AO sin∠AMO =
AM
2 6
3 3
所以二面角
课堂小结
知识总结：
ASCB 的余弦值为 ．
3
利用面面垂直的性质定理找出平面的垂线， 然后解决证明垂直问题、 平行问
题、求角问题、求距离问题等．
思想方法总结： 转化思想， 即把面面关系转化为线面关系， 把空间问题转化为平面问题．
《平面与平面垂直的性质》教学设计
◆ 教材分析
空间中平面与平面之间的位置关系中， 垂直是一种非常重要的位置关系， 它不仅应用较
多，而且是空间问题平面化的典范．空间中平面与平面垂直的性质定理具备以下两个特点：
（ 1）它是立体几何中最难、最
由面面垂直转化为线面垂直，
最重要的定理．
“高级 ”的定理． （2）它往往又是一个复杂问题的开端，即先
否则无法解决问题． 因此， 面面垂直的性质定理是立体几何中
◆ 教学目标
1．探究平面与平面垂直的性质定理，进一步培养学生的空间想象能力．
2．面面垂直的性质定理的应用，培养学生的推理能力．
3．通过平面与平面垂直的性质定理的学习，培养学生转化的思想．
◆ 教学重难点
◆
教学重点：平面与平面垂直的性质定理．
教学难点：平面与平面性质定理的应用．
◆ 教学过程
复习
（ 1）面面垂直的定义．
如果两个相交平面所成的二面角为直二面角，那么这两个平面互相垂直．
（2）面面垂直的判定定理．
两个平面垂直的判定定理：
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．
AB
两个平面垂直的判定定理符号表述为： α⊥β．
AB
两个平面垂直的判定定理图形表述为：
图 1
导入新课
思路 1． （情境导入）
黑板所在平面与地面所在平面垂直，你能否在黑板上画一条直线与地面垂直？
思路 2． （事例导入）
如图 2，长方体 ABCD —A′B′C′D ′中，平面 A′ADD ′与平面 ABCD 垂直，直线 A′A 垂直于
其交线 AD ．平面 A′ADD ′内的直线 A′A 与平面 ABCD 垂直吗？
新知探究
提出问题
①如图 3，若 α⊥
请同学们讨论直线
图 2
β， α∩β=CD， AB α， AB⊥CD， AB ∩CD =B．
AB 与平面 β的位置关系．
图 3
②用三种语言描述平面与平面垂直的性质定理，并给出证明．
③设平面 α⊥平面 β，点 P∈ α， P∈a， a⊥ β，请同学们讨论直线 a 与平面 α的关系．
④分析平面与平面垂直的性质定理的特点，讨论应用定理的难点．
⑤总结应用面面垂直的性质定理的口诀．
活动： 问题①引导学生作图或借助模型探究得出直线 AB 与平面 β的关系．
问题②引导学生进行语言转换．
问题③引导学生作图或借助模型探究得出直线 a 与平面 α的关系．
问题④引导学生回忆立体几何的核心，以及平面与平面垂直的性质定理的特点．
问题⑤引导学生找出应用平面与平面垂直的性质定理的口诀．
讨论结果： ①通过学生作图或借助模型探究得出直线 AB 与平面 β垂直，如图 3．
②两个平面垂直的性质定理用文字语言描述为： 如果两个平面垂直， 那么在一个平面内
垂直于它们交线的直线垂直于另一平面．
两个平面垂直的性质定理用图形语言描述为：如图 4．
图 4
AB
两个平面垂直的性质定理用符号语言描述为：
AB
AB
两个平面垂直的性质定理证明过程如下：
CD AB⊥ β．
CD
CD B
图 5
如图 5，已知 α⊥ β， α∩β=a， AB α， AB⊥a 于 B．
求证： AB⊥ β．
证明： 在平面 β内作 BE⊥CD 垂足为 B，则∠ ABE 就是二面角 αCDβ的平面角．
由 α⊥ β，可知 AB⊥ BE．又 AB⊥CD， BE 与 CD 是 β内两条相交直线，∴ AB⊥ β．
③问题③也是阐述面面垂直的性质，变为文字叙述为：
求证： 如果两个平面互相垂直， 那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，
在第一个平面内．下面给出证明．
如图 6，已知 α⊥ β， P ∈ α， P ∈a， a⊥ β．求证： a α．
图 6
证明： 设 α∩β=c，过点 P 在平面 α内作直线 b⊥c，
∵ α⊥ β，∴ b⊥ β．而 a⊥ β， P∈a，
∵经过一点只能有一条直线与平面 β垂直，∴直线 a 应与直线 b 重合．那么 a α．
利用 “同一法 ”证明问题， 主要是在按一般途径不易完成问题的情形下所采用的一种数学
方法，这里要求做到两点．一是作出符合题意的直线 b，不易想到，二是证明直线 b 和直线
a 重合，相对容易些．点 P 的位置由投影所给的图及证明过程可知，可以在交线上，也可以
不在交线上．
④我认为立体几何的核心是： 直线与平面垂直， 因为立体几何的几乎所有问题都是围绕
它展开的， 例如它不仅是线线垂直与面面垂直相互转化的桥梁， 而且由它还可以转化为线线
平行， 即使作线面角和二面角的平面角也离不开它． 两个平面垂直的性质定理的特点就是帮
我们找平面的垂线，因此它是立体几何中最重要的定理．
⑤应用面面垂直的性质定理口诀是：
应用示例
例 1 如图 7，已知 α⊥ β， a⊥ β，
“见到面面垂直， 立即在一个平面内作交线的垂线 ”．
思路 1
a α，试判断直线 a 与平面 α的位置关系．
解： 在 α内作垂直于
∵ α⊥ β，
∴b⊥ β．
∵a⊥ β，
∴a∥b．
∵a α，
∴a∥ α．
图 7
α与 β交线的垂线 b，
变式训练
如图 8，已知平面 α交平面
证： （1） a⊥ γ； （2） b⊥ γ．
证明： 如图 9，
β于直线 a． α、 β同垂直于平面 γ，又同平行于直线 b．求
图 8 图 9
2 2
（ 1）设 α∩γ=AB， β∩γ=AC．在 γ内任取一点 P 并在 γ内作直线 PM ⊥AB， PN⊥AC． ∵ γ⊥ α，∴ PM ⊥ α．而 a α，∴ PM ⊥a．
同理， PN⊥a．又 PM γ， PN γ，∴ a⊥ γ．
（2）在 a 上任取点 Q，过 b与 Q 作一平面交 α于直线 a1，交 β于直线 a2．∵b∥ α， ∴b∥a1． 同理， b∥a2．
∵a1、 a2 同过 Q 且平行于 b，∴ a1、 a2 重合．
又 a1 α， a2 β，∴ a1、 a2 都是 α、 β的交线，即都重合于 a．
∵b∥a1，∴ b∥a．而 a⊥ γ，∴ b⊥ γ．
点评： 面面垂直的性质定理作用是把面面垂直转化为线面垂直， 见到面面垂直首先考虑
利用性质定理，其口诀是： “见到面面垂直，立即在一个平面内作交线的垂线 ”．
例 2 如图 10，四棱锥 P— ABCD 的底面是 AB=2， BC= 2 的矩形，侧面 PAB 是等边
三角形，且侧面 PAB⊥底面 ABCD．
图 10 图 11
（ 1）证明侧面 PAB⊥侧面 PBC；
（2）求侧棱 PC 与底面 ABCD 所成的角；
（ 3）求直线 AB 与平面 PCD 的距离．
（ 1） 证明： 在矩形 ABCD 中， BC ⊥AB，
又∵面 PAB⊥底面 ABCD ，侧面 PAB ∩底面 ABCD =AB，∴ BC⊥侧面 PAB．
又∵ BC 侧面 PBC，∴侧面 PAB⊥侧面 PBC．
（2）解： 如图 11， 取 AB 中点 E， 连接 PE、 CE， 又∵△ PAB 是等边三角形， ∴PE⊥AB．
又∵侧面 PAB⊥底面 ABCD ，∴ PE⊥面 ABCD．
∴∠ PCE 为侧棱 PC 与底面 ABCD 所成角．
3
PE= BA= 3，
2
在 Rt△PEC 中，∠
CE= BE BC = 3，
PCE=45°为所求．
30
a
2
（ 3） 解： 在矩形 ABCD 中， AB∥ CD，
∵CD 侧面 PCD， AB 侧面 PCD ，∴ AB∥侧面 PCD．
取 CD 中点 F ，连接 EF、 PF ，则 EF ⊥AB．
又∵ PE⊥AB ，∴ AB ⊥平面 PEF．又∵ AB∥CD，
∴CD⊥平面 PEF ．∴平面 PCD⊥平面 PEF．
作 EG ⊥PF ，垂足为 G，则 EG⊥平面 PCD．
在 Rt△PEF 中， EG= PE ? EC
PF
变式训练
为所求．
5
如图 12， 斜三棱柱 ABC— A1B1C1 的棱长都是 a， 侧棱与底面成 60°角， 侧面 BCC1B1 ⊥ 面 ABC．求平面 AB1C1 与底面 ABC 所成二面角的大小．
图 12
活动： 请同学考虑面 BB1C1C⊥面 ABC 及棱长相等两个条件，师生共同完成表述过程， 并作出相应辅助线．
解： ∵面 ABC ∥面 A1B1C 1 ，则面 BB1C1C ∩面 ABC= BC，
面 BB1C 1C ∩面 A1B1C1=B1C1，∴ BC ∥B1C1，则 B1C 1∥面 ABC．
设所求两面交线为 AE，即二面角的棱为 AE，
则 B1C 1∥AE，即 BC ∥AE．
过 C1 作 C1D ⊥BC 于 D ，∵面 BB1C 1C⊥面 ABC，
∴C1D ⊥面 ABC， C1 D ⊥BC．
又∠ C 1CD =60°， CC 1=a，故 CD= ，即 D 为 BC 的中点．
又△ABC 是等边三角形，∴ BC⊥AD．
那么有 BC⊥面 DAC 1 ，即 AE⊥面 DAC 1．
故 AE⊥AD， AE ⊥AC 1，
∠C1AD 就是所求二面角的平面角．
2 2 CE
3 1 OE
3
3 3
2 2
2
∵C1D = a， AD = a， C 1D⊥AD ，故∠ C 1AD=45°．
点评： 利用平面与平面垂直的性质定理，找出平面的垂线是解决问题的关键．
思路 2
例 1 如图 13，把等腰直角三角形 ABC 沿斜边 AB 旋转至 △ABD 的位置，使 CD =AC，
（ 1）求证：平面 ABD ⊥平面 ABC；
（2）求二面角 CBDA 的余弦值．
（ 1） 证明： （证法一） ：由题设，知
图 13
AD=CD =BD ，作 DO⊥平面 ABC， O 为垂足，则
OA=OB=OC．
∴O 是△ABC 的外心，即 AB 的中点．
∴O∈AB，即 O∈平面 ABD．
∴OD 平面 ABD．∴平面 ABD ⊥平面 ABC．
（证法二） ：取 AB 中点 O，连接 OD、 OC，
则有 OD ⊥AB， OC⊥AB，即∠ COD 是二面角 CABD 的平面角．
设 AC=a，则 OC =OD = a，
2
又 CD=AD =AC，∴ CD =a．∴△ COD 是直角三角形，即∠ COD =90°．
∴二面角是直二面角，即平面 ABD⊥平面 ABC．
（2） 解： 取 BD 的中点 E，连接 CE、 OE、 OC，∵△ BCD 为正三角形，∴ CE⊥BD．
又△BOD 为等腰直角三角形，∴ OE⊥ BD．∴∠ OEC 为二面角 CBDA 的平面角．
同（ 1）可证 OC⊥平面 ABD，∴ OC ⊥OE．∴△ COE 为直角三角形．
设 BC=a，则 CE=
变式训练
a， OE= a，∴ cs∠OEC =
即为所求．
3
如图 14， 在矩形 ABCD 中， AB=33， BC=3， 沿对角线 BD 把△BCD 折起， 使 C 移到 C′，
．
C G C =
3 C'O
2 ，即
．
且 C′在面 ABC 内的射影 O 恰好落在 AB 上．
图 14
（ 1）求证： AC′⊥BC′；
（2）求 AB 与平面 BC ′D 所成的角的正弦值；
（ 3）求二面角 C′BDA 的正切值．
（ 1） 证明： 由题意，知 C′O⊥面 ABD ，∵ C′O ABC′，
∴面 ABC′⊥面 ABD．
又∵AD ⊥AB，面 ABC′ ABD =AB，∴ AD ⊥面 ABC′．∴ AD ⊥BC′．
∵BC′⊥ C′D，∴ BC′⊥面 AC′D ．∴ BC′⊥AC′．
（2） 解： ∵BC′⊥面 AC′D， BC′ 面 BC′D ，∴面 AC′D ⊥面 BC′D．
作 AH ⊥C′D 于 H ，则 AH⊥面 BC′D ，连接 BH ，则 BH 为 AB 在面 BC′D 上的射影，
∴∠ABH 为 AB 与面 BC ′D 所成的角．
又在 Rt△AC′D 中， C′D =33， AD =3，∴ AC ′=3 2 ．∴ AH= 6 ．
∴sin∠ABH= AH
AB
AB 与平面 BC′D 所成角的正弦值为
3
2
3
（ 3） 解： 过 O 作 OG⊥ BD 于 G，连接 C′G，则 C′G⊥BD，则∠ C′GO 为二面角 C′BDA
的平面角．
在 Rt△AC ′B 中， C′O= AC'?BC'
AB
在 Rt△BC ′D 中， C′G= BC '?C 'D
BD
6，
3 3
2
∴OG= 2 2
．∴ tan∠C′GO = 2 2，
2 OG
即二面角 C′BDA 的正切值为 2 2 ．
点评： 直线与平面垂直是立体几何的核心， 它是证明垂直问题和求二面角的基础， 因此
利用平面与平面垂直的性质定理找出平面的垂线，就显得非常重要了．
6
AN 6
6
例 2 如图 15，三棱柱 ABC—A1B1C 1 中， ∠BAC=90°， AB =BB1=1， 直线 B1C 与平面 ABC 成 30°角，求二面角 BB1CA 的正弦值．
图 15
活动： 可以知道， 平面 ABC 与平面 BCC 1B1 垂直， 故可由面面垂直的性质来寻找从一个 半平面到另一个半平面的垂线．
解： 由直三棱柱性质得平面 ABC ⊥平面 BCC 1B1， 过 A 作 AN⊥平面 BCC 1B1， 垂足为 N，
则 AN⊥平面 BCC1 B1 （AN 即为我们要找的垂线） ，在平面 BCB 1 内过 N 作 NQ⊥棱 B1C，垂 足为 Q，连接 QA ，则∠ NQA 即为二面角的平面角．
∵AB1 在平面 ABC 内的射影为 AB， CA ⊥AB，
∴CA⊥B1A． AB=BB1=1，得 AB1= 2．
∵直线 B1C 与平面 ABC 成 30°角，∴∠ B1CB=30°， B1C=2．
在 Rt△B1AC 中，由勾股定理，得 AC= 2 ．∴ AQ=1．
在 Rt△BAC 中， AB=1， AC= 2 ，得 AN= ．
3
sin∠AQN = = ，
AQ 3
即二面角 BB1CA 的正弦值为 ．
3
变式训练
如图 16， 边长为 2 的等边 △PCD 所在的平面垂直于矩形 ABCD 所在的平面， BC=2 2 ，
M 为 BC 的中点．
（ 1）证明： AM ⊥PM；
（2）求二面角 PAMD 的大小．
图 16 图 17
（ 1） 证明： 如图 17，取 CD 的中点 E，连接 PE、 EM、 EA，
∵△ PCD 为正三角形，
∴PE⊥CD， PE= PDsin ∠PDE=2sin60°= 3．
∵平面 PCD ⊥平面 ABCD ，∴ PE⊥平面 ABCD．
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴△ADE、 △ECM、 △ABM 均为直角三角形．
由勾股定理可求得 EM = 3， AM = 6， AE=3，
∴EM2+AM2=AE 2．∴ AM ⊥EM．
又 EM 是 PM 在平面 ABCD 上的射影，∴∠ AME =90°．∴ AM ⊥PM．
（2） 解： 由（ 1）可知 EM ⊥AM， PM ⊥AM， ∴∠ PME 是二面角 PAMD 的平面角．
PE ∴tan∠PME =
EM
3
=1 ．∴∠ PME =45°．
3
∴二面角 PAMD 为 45°．
知能训练
课本本节练习．
拓展提升
如图 18，在三棱锥 S— ABC 中，侧面 SAB 与侧面 SAC 均为等边三角形，∠ BAC=90°，
O 为 BC 中点．
（ 1）证明 SO⊥平面 ABC；
（2）求二面角 ASCB 的余弦值．
2
．
3
3
（ 1） 证明： 如图 19，由题设，知
角形，所以 OA=OB=OC= SA，且
2
2
SO= SA．
2
图 18 图 19
AB=AC=SB=SC=SA．连接 OA， △ABC 为等腰直角三
AO⊥BC．又 △SBC 为等腰三角形，故 SO⊥BC，且
从而 OA 2+SO2=SA2 ．所以 △SOA 为直角三角形， SO⊥AO．
又 AO ∩BC=O，所以 SO⊥平面 ABC．
（2） 解： 如图 19，取 SC 中点 M，连接 AM、 OM，
由（ 1），知 SO=OC， SA=AC，得 OM ⊥SC， AM ⊥SC．
所以∠ OMA 为二面角 ASCB 的平面角．
由 AO ⊥BC， AO ⊥SO， SO∩BC=O，得 AO⊥平面 SBC．
所以 AO ⊥OM ．又 AM = SA，故
2
AO sin∠AMO =
AM
2 6
3 3
所以二面角
课堂小结
知识总结：
ASCB 的余弦值为 ．
3
利用面面垂直的性质定理找出平面的垂线， 然后解决证明垂直问题、 平行问
题、求角问题、求距离问题等．
思想方法总结： 转化思想， 即把面面关系转化为线面关系， 把空间问题转化为平面问题．
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