8.14 曲线系方程巧解四点共圆问题 讲义——高考数学一轮复习解题技巧方法

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第14节  曲线系方程巧解四点共圆问题知识与方法圆锥曲线中的四点共圆问题在高考中是一大难点，常规的做法是用垂径定理找圆心，并通过计算得出圆心到四点的距离相等，从而证出四点共圆，再求出圆的方程.除此之外，应用曲线系方程也可以很好地解决这类问题.1.曲线系方程：设和分别表示平面上的两条有公共点的曲线，则经过两曲线交点的曲线系方程可以为.2．高考中常见的四点共圆问题是两条直线与圆锥曲线交于不同的四点，判断四点是否在同一圆上，如果是，需求出圆的方程.应用曲线系方程求解这类四点共圆问题的解题步骤是：（1）设经过圆锥曲线和两直线交点的曲线系方程为，其中表示圆锥曲线方程，表示两直线构成的曲线的方程;（2）将展开，合并同类项，与圆的一般方程比较系数，求出的值；（3）将反代回方程的展开式，化为圆的标准方程，从而得出四点共圆且求出了圆的方程.3.圆锥曲线中四点共圆问题的结论：设两条直线和圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）交于四点，则四个交点在同一个圆上的充要条件是两直线倾斜角互补.典型例题【例1】（2014·大纲卷）已知抛物线的焦点为F，直线与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且（1）求C的方程；（2）过F的直线l与C相交于A、B两点，若的垂直平分线与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程.【解析】（1）联立解得：，所以点Q的坐标为，因为，所以，解得：或（舍去），故抛物线C的方程为.（2）解法1：显然直线l的斜率存在且不为0，故可设其方程为，设,，联立消去x整理得：①，由韦达定理，，所以，故中点为，所以直线的方程为，代入消去x整理得：②，设，，则，故，从而的中点E的坐标为，所以由A、M、B、N四点在同一圆上知圆心必为点E，所以，而，所以，，由得：，解得：，经检验，均满足方程①和②的判别式大于0，故直线l的方程为或.解法2：由题意，直线l不与y轴垂直，故可设其方程为，设，，联立消去x整理得：，显然，由韦达定理，，所以，故中点D的坐标为，从而直线的方程为，即，可设经过A、M、B、N四点的曲线系方程为，整理得：①，因为A、M、B、N四点四点共圆，所以存在，使方程①表示圆，此时应有，解得：或当，时，代入式①整理得：，从而A、M、B、N四点都在圆上，当，时，代入式①整理得：，从而A、M、B、N四点都在圆上，综上所述，直线l的方程为或.【例2】设A、B是椭圆上的两点，点是线段的中点，线段的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点.（1）确定的取值范围，并求直线的方程；（2）证明：当取（1）中任意值时，A、B、C、D四点都在同一个圆上.【解析】解：（1）由题意，N点在椭圆内部，故，即，设，，则，两式作差得：，整理得：，即，所以，故直线的方程为，即.（2）解法l：由（1）可得线段的中垂线的方程为，即，设，，联立消去y整理得：，判别式，当时，， 由韦达定理，，，所以中点为，从而，，故，联立消去y整理得：，判别式，，所以，从而，故A、B、C、D四点都在同一个圆上.解法2：由（1）可得线段的中垂线的方程为，即，设经过A、B、C、D四点的曲线系方程为，整理得：①，若方程①表示圆，则，解得：，代入式①化简得：配方得：，显然对任意的，该方程都表示圆，综上所述，当取（1）中任意值时，A、B、C、D四点都在同一个圆上.强化训练1.（★★★★）已知，，动点P满足直线、的斜率之积为定值1，记动点P的轨迹为曲线C.（1）求C的方程；（2）直线与C交于M、N两点，直线与C交于S、T两点，M、N、S、T四点是否在同一圆上？若是，求出该圆的方程；否则，说明理由.【解析】（1）设，则，整理得：，即曲线C的方程为.（2）解法1：如图，设，，，，联立消去y整理得：，判别式，由韦达定理，，所以，从而的中点为，且，联立消去y整理得：，判别式，由韦达定理，，所以，从而的中点为，且，线段的中垂线为，即，线段的中垂线为，即，联立解得：，记，则，所以，，，从而，故M、N、S、T四点都在以K为圆心，为半径的圆上，该圆的方程为.解法2：由题意，可设经过M、N、S、T四点的曲线系的方程为，整理得： ①，令得：，代入①整理得：，该方程是圆的方程，所以M、N、S、T四点在同一圆上，其方程为.2.（★★★★）已知椭圆的离心率为，右顶点为A，O为原点，B为椭圆E上异于左、右顶点的动点，的面积的最大值为.（1）求椭圆E的方程；（2）设直线与x轴交于点P，直线交椭圆E于另一点C，直线和分别交l于点M和N，若O、A、M、N四点共圆，求t的值.【解析】（1）由题意，，，解得：，，故椭圆E的方程为.（2）解法1：由题意，，，显然直线不与y轴垂直，可设其方程为，设，，联立消去x整理得：，由韦达定理，，，所以，，直线的方程为，令得：，所以，同理，，因为O、A、M、N四点共圆，所以，从而，故，所以，从而，结合化简可得.解法2：由题意，，，显然直线、均不与坐标轴垂直，故可设其方程分别为，，其中，，联立消去x整理得：，解得：或所以，从而，故，同理，，因为P、B、C三点共线，所以，从而，化简得：①联立可得，所以，同理，，显然线段的中垂线为，线段的中垂线为，即，因为O、A、M、N四点共圆，所以该圆的圆心必为，而，，化简得：，将式①代入可得解得：或2，又，所以.【反思】本题不属于椭圆上的四个点在同一圆上的情形，所以就不能套用曲线系方程来求解，因此我们在掌握曲线系方程求解四点共圆问题的方法的同时，常规方法也不能丢弃，否则一旦遇到这种反套路的题，就无从下手了.