8.13 点乘双根法 讲义——高考数学一轮复习解题技巧方法

第13节  点乘双根法

知识与方法

1．预备知识（二次函数的两根式）：一般地，设，若一元二次方程有两根和，则必有，

即.

2．点乘双根法：若我们将直线与圆锥曲线方程联立，得到关于x的一元二次方程，并且假设该方程的两根为和，现在我们要计算这个量，此时当然可以将其展开，利用韦达定理来进行计算，但更简单的操作方法是利用二次函数的两根式，得出，并在两端同时令，即可得到，从而，这样就求出了我们想要的量，这种技巧叫做“点乘双根法”，其一般的步骤是“化两根式→赋值→求得结采”.

典型例题

【例题】已知抛物线的焦点为F，为抛物线E上一点，

（1）求p和的值；

（2）过F作两条互相垂直的直线与抛物线E交于另外两点B和C，证明：直线过定点.

强化训练

1.（★★★★）椭圆的左焦点为F，左、右顶点分别为A、B，离心率为，.

（1）求椭圆的方程；

（2）过F且斜率为k的直线l与椭圆交于C、D两点，若，求k的值.

2.（★★★★）已知椭圆和点，过点P且斜率为2的直线与椭圆C交于A、B两点.

（1）求的值；

（2）直线l过点P与椭圆C交于不与A、B重合的M、N两点，若，求直线l的方程.