5.1 特值法速解单条件等差、等比数列求值问题 讲义-高考数学一轮复习解题技巧方法

第五章  数列

第1节  特值法速解单条件等差、等比数列求值问题

知识与方法

当等差（等比）数列求值问题中只给出了一个条件，我们无法将、d（或q）都求出，此时可以大胆假设（或），将数列假设为常数数列，代入问题进行计算，可以快速得出答案，但一定要注意检验和已知条件是否冲突，不是每一道这类题都可以用特值法.

典型例题

【例1】设等差数列的前n项和为，若，则______.

【解析】解法1：，所以.

解法2：本题只有这一个条件，无法将和d都求出来，所以不妨假设是常数数列，此时可设，则由题意，，解得：，所以，故.

【答案】18

【反思】上面的解法2本质上就是特值法的思想，相当于假设了.

变式1  在等差数列中，已知，则的前7项和______

【解析】解法1：

，

所以.

解法2：本题只有这一条件，可以假设，则，解得：，所以.

【答案】21

变式2  设等差数列的前n项和为，若，则______.

【解析】解法1：因为，所以，故，即，从而.

解法2：本题只有这一个条件，可以假设，则，所以，故.

【答案】15

变式3  （2015·新课标II卷）设为等差数列的前n项和，若，则（    ）

A.5 B.7 C.9 D.11

【解析】解法1：由题意，，所以

解法2：本题只有这一条件，所以可设，则，故，.

【答案】A

【例2】已知正项等比数列中，，则______.

【解析】解法1：由题意，

.

解法2：本题的正项等比数列只有这一个条件，可以假设是常数数列，即，此时，.

【答案】5

变式1  正项等比数列中，若，则______.

【解析】解法1：

.

解法2：本题只有一个条件，可以假设是常数数列，设，

则，解得：，所以.

【答案】2

变式2  已知正项等比数列满足，则______.

【解析】解法1：由题意，，又，所以.

解法2：本题只有一个条件，可以假设是常数数列，设，

则，所以，从而.

【答案】4

变式3  在等比数列中，，则______.

【解析】在两端同时除以可得，解得：或1，

所以或1.

【答案】8或1

【反思】本题是本节技巧的一个反例，因为不难发现，如果本题假设是常数数列，会漏掉这种情况，所以技巧失效了.

强化训练

l.（★★）设为等差数列的前n项和，若，则______.

【解析】解法1：由题意，，

所以.

解法2：由题意，不妨设，则，所以，故.

【答案】9

2.（★★）已知是等差数列，若，则______.

【解析】解法1：由题意，

，

所以.

解法2：由题意，不妨设，则，所以，故.

【答案】4

3.（★★）已知等差数列的前n项和为，若，则（    ）

A.27 B.18 C.9 D.3

【解析】解法1：由题意，，所以.

解法2：由题意，不妨设，则，所以，故.

【答案】A

4.（★★）设等差数列的前n项和为，若，则______.

【解析】解法1：

解法2：由题意，不妨设，则，所以.

【答案】

5.（★★）已知是等差数列，，则______.

【解析】解法1：，

所以.

解法2：由题意，不妨设，则，所以，

故.

【答案】

6.（★★）若等比数列满足，则______.

【解析】解法1：由题意，，所以.

解法2：由题意，不妨设，则，所以.

【答案】

7.（★★）在正项等比数列中，，则______.

【解析】解法1：由题意，，又，所以，

从而.

解法2：由题意，不妨设，则，所以，

从而.

【答案】10

8.（★★）在等比数列中，，则______.

【解析】在两端同时除以可得，解得：或，

所以或.

【答案】243或

【反思】本题是本节技巧的一个反例，因为不难发现，如果本题假设是常数数列，与条件是冲突的，所以技巧失效.

9.（★★★）已知数列、满足，其中是等差数列，若，则_______.

【解析】解法1：设的公差为d，，所以是等比数列，从而

解法2：由题意，是等差数列，，且除以之外题干只给出了这一个等式，所以不妨假设是是常数数列，那么也是常数数列，设，则，

由题意，，所以，从而.

【答案】1011