8.5 圆锥曲线焦半径比例公式 讲义-高考数学一轮复习解题技巧方法

第5节  圆锥曲线焦半径比例公式

知识与方法

1．设过圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的焦点F的直线与该圆锥曲线交于A、B两点，记，若，其中，则，其中e为圆锥曲线的离心率.

速记口诀：“一口干”，“一口”是的谐音，“干”是等号右侧的上“－”下“＋”.

2．对于焦点在x轴上的圆锥曲线C，若过其焦点F且斜率为k的直线交C于A、B两点，且，其中，则该圆锥曲线的离心率

典型例题

【例1】已知椭圆，过右焦点F且斜率为的直线l交椭圆C于A、B两点，若，则_______.

变式1（2010·全国Ⅱ卷）已知椭圆的离心率为，过其右焦点F且斜率为的直线l交椭圆C于A、B两点，若，则k的值为（    ）

A.1 B. C. D.2

变式2  过椭圆的右焦点F且斜率为的直线l与椭圆C交于A、B两点，若，则椭圆C的离心率为_______.

【例2】已知双曲线，过其左焦点F且斜率为的直线l交双曲线C于A、B两点，若，则_______.

变式1  已知双曲线的离心率为，过其左焦点F的斜率为k的直线l交双曲线C于A、B两点，若，则_______.

变式2  过双曲线的左焦点F且斜率为的直线l与双曲线C交于A、B两点，若，则双曲线C的离心率为_______.

【例3】已知抛物线的焦点为F，过F的直线l与双曲线C交于A、B两点，若，则直线l的斜率为_______.

变式  已知抛物线的焦点为F，过F且斜率为的直线l与双曲线C交于A、B两点，O为原点，A在x轴上方，记和的面积分别为和，则_______.

强化训练

1.（★★★）已知椭圆，过左焦点F作倾斜角为60°的直线l交椭圆于A、B两点，若，则_______.

2．（★★★）已知椭圆，过其左焦点F作倾斜角为45°的直线l交椭圆C于A、B两点，若，则_______.

3.（2010·全国Ⅰ卷·★★★）已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段的延长线交C于点D，且，则C的离心率为_______.

4.（★★★）已知双曲线的离心率为2，过其右焦点F的斜率为的直线l交双曲线C于A、B两点，若，则_______.

5.（★★★）已知椭圆的离心率为，过左焦点F且斜率为的直线交椭圆C于A、B两点，若，则_______.

6.（★★★）过椭圆的左焦点F作斜率为2的直线l与C交于A、B两点，若，则椭圆C的离心率为_______.

7.（★★★）设抛物线的焦点为F，过F的直线l与抛物线C交于A、B两点，若A在x轴上方，且，则直线l的方程为_______.

8.（★★★★）已知、分别为椭圆的左、右焦点，E上存在两点A、B使得梯形的高为，其中c为椭圆E的半焦距，且，则椭圆E的离心率为（    ）

A. B. C. D.

9.（★★★★）倾斜角为的直线l经过双曲线的右焦点F，直线l与双曲线C的右支交于A、B两点，且，则双曲线C的离心率的取值范围是（    ）

A. B. C. D.