1.15 泰勒公式 讲义-高考数学一轮复习解题技巧方法

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第15节  泰勒公式 知识与方法用简单函数逼近复杂函数是数学中的一种基本思想方法，泰勒公式就是利用多项式函数来逼近其他函数所得到的一个基本定理.1.泰勒公式：设函数在处存在n阶导数，则，其中，是函数在处的n阶导数值，是皮亚诺余项，它表示时，的高阶无穷小.2.麦克劳林公式：当时，泰勒公式变成，这个公式叫做麦克劳林公式，它是泰勒公式的特例.下面列出几个常见的麦克劳林公式：（1）；  （2）；（3）；  （4）；（5）.3.泰勒公式在高中数学中的应用：（1）构造不等式用于放缩：例如，我们在上面的麦克劳林公式（1）中将右侧保留到一次项，其余全部丢掉，就可以得到一个常用的切线放缩不等式，若保留到二次项，则可以得到；类似地，还可以得到，，，，，等不等式.（2）近似计算：泰勒公式展开的阶数越高，计算的精度越高，但计算复杂度也随之升高，我们可以通过选择恰当的展开阶数，来达到我们需要的计算精度.4.提醒：在高考数学中，我们放缩时使用的以泰勒公式为背景的不等式，绝大多数都是一阶的，也就是切线放缩； 典型例题【例1】已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若，证明：.【解析】，设，则，，，注意到，所以有端点效应，而，所以，故，此时，，设，则，，，所以在上，又，所以，从而在上，因为，所以，故在上，易求得，所以恒成立，因为，所以，即，满足题意，故实数的取值范围是.【例2】若当时，恒成立，则实数a的取值范围是________.【解析】根据泰勒展式，，，所以当时，，从而要使，只需，故，所以.【答案】【例3】（2021·新课标Ⅰ卷）设，，，则（    ）A.   B.   C.   D.【解析】解法1：根据泰勒展开式，，所以，，设，则，，，所以，，，，从而故，比较a、b、c的近似表达式容易发现.解法2：，所以选项A、D错误，此时观察选项B、C知只需比较a和c的大小即可，设，则，，所以在上，所以，即，故，选B.解法3：，所以选项A、D错误，此时观察选项B、C知只需比较a和c的大小即可，注意到，设，，则，当时，，所以，从而，故，当且仅当时取等号，从而在上，所以，即，所以，选B.解法4：设，，，则显然、、在上都，且，，，，易证当时，，所以，即三个函数在上的增长速率是最大，居中，最小，而，，，所以必然有.【答案】B 强化训练1.（★★★★）若关于x的不等式恒成立，则正实数a的取值范围是________.【解析】解法1：,两端同时加x得：，即①，设，则不等式①即为，显然在R上，所以，从而，注意到，当且仅当时取等号，所以，即，因为，所以，从而.解法2：，首先取得到，从而，其次，当时，因为，所以，又，所以，故a的取值范围是.【答案】2.（★★★★）若当时，恒成立，则实数a的取值范围是________.【解析】解法1：，设，则恒成立，，设，则，，所以在上，又，所以，故在上，因为，所以恒成立，从而，故在上，由洛必达法则，，所以.解法2：，由泰勒展开式，，所以当时，，故，从而要使，只需，所以.【答案】3.（★★★★★）若当时，恒成立，则实数a的取值范围是________.【解析】解法1：显然当时，不等式对任意的实数a都成立，当时，，设，则，设，则，所以在上，又，所以，故，从而在上，由洛必达法则，，因为恒成立，所以.解法2：，由泰勒公式，，，所以当时，，，从而，要使，只需，从而，故.【答案】