2024届高考数学-第2讲 圆锥曲线第二定义与焦半径公式（原卷版）

第2讲 圆锥曲线第二定义与焦半径公式

一．选择题（共5小题）

1．已知点是双曲线上的动点，，为该双曲线的左右焦点，为坐标原点，则的最大值为　　

A． B．2 C． D．

2．已知双曲线的右支上的点，满足，分别是双曲线的左右焦点），则为双曲线的半焦距）的取值范围是　　

A．， B．， C．， D．，

3．已知点是双曲线上的动点，，分别是其左、右焦点，为坐标原点，若的最大值是，则此双曲线的离心率是　　

A． B． C． D．2

4．已知为抛物线的焦点，过作两条互相垂直的直线，，直线与交于，两点，直线与交于，两点，则当取得最小值时，四边形的面积为　　

A．32 B．16 C．24 D．8

5．过椭圆的右焦点作两条相互垂直的直线分别交椭圆于，，，四点，则的值为　　

A． B． C．1 D．

二．填空题（共3小题）

6．已知是椭圆上的动点，，分别是其左右焦点，是坐标原点，则的取值范围是　　．

7．已知为抛物线的焦点，过作两条互相垂直的直线，，直线与交于、两点，直线与交于、两点，则的值为　　．

8．已知为抛物线的焦点，过作两条互相垂直的直线，，直线与交于、两点，直线与交于、两点，则的最小值为　　．

三．解答题（共6小题）

9．已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为，．

（1）证明：；

（2）设为的右焦点，为上一点，且．证明：，，成等差数列，并求该数列的公差．

10．已知斜率为的直线与椭圆交于、两点，线段的中点为，．

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）设为的右焦点，为上的一点，且，证明：，，成等差数列．

11．已知、是椭圆的左、右焦点，且离心率，点为椭圆上的一个动点，△的内切圆面积的最大值为．

（1）求椭圆的方程；

（2）若，，，是椭圆上不重合的四个点，满足向量与共线，与共线，且，求的取值范围．

12．已知椭圆经过点，且椭圆的离心率，过椭圆的右焦点作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点、及、．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）求证：为定值；

（Ⅲ）求的最小值．

13．已知椭圆的长轴长为4，离心率为，一动圆过椭圆右焦点，且与直线相切．

（1）求椭圆的方程及动圆圆心轨迹的方程；

（2）过作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于，两点，交曲线于，两点，求四边形面积的最小值．

14．平面直角坐标系中，已知为椭圆的右焦点，且，过作两条互相垂直的直线交椭圆分别于、与、．以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．

（Ⅰ）求椭圆的极坐标方程与的代数表达式；

（Ⅱ）求的取值范围．