8.2 椭圆、双曲线的坐标版焦半径公式 讲义-高考数学一轮复习解题技巧方法

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第2节  椭圆、双曲线的坐标版焦半径公式知识与方法1．椭圆的左、右焦点分别为、，点为椭圆上任意点，则椭圆的焦半径和可按下面的公式计算：（1）；（2）（记忆：左加右减）2．双曲线的左、右焦点分别为、，点为双曲线任意一点，则双曲线的焦半径和可按下面的公式计算：（1）；（2）（记忆：左加右减）典型例题【例1】椭圆的左、右焦点分别为、，P为C上一点，且P在第一象限，，则点P的坐标为_______.【解析】由题意，，，，设，则，，由可得，解得：，代入椭圆方程得，故.【答案】变式1  椭圆的左、右焦点分别为、，椭圆上的一点P满足为钝角，则点P的横坐标的取值范围为_______.【解析】由题意，，，，设点P的恒横坐标为，则，，为钝角.【答案】变式2  椭圆的左、右焦点分别为、，椭圆上的一点P满足，若P在第一象限，则点P的坐标为_______.【解析】由题意，，，，设，则，，，代入椭圆方程得，所以.【答案】变式3  椭圆的左、右焦点分别为、，点P在椭圆上，则的取值范围为_______.【解析】由题意，，，，设，其中，则，，所以【答案】变式4  （2019·新课标Ⅲ卷）设、为椭圆的两个焦点，M为C上一点且在第一象限，若为等腰三角形，则M的坐标为_______.【解析】解法1：为等腰三角形，点M在第一象限，且，又，所以，故只能，设，则，解得：，所以.解法2：为等腰三角形，点在M第一象限，且，又，所以，故只能，设，由椭圆焦半径公式知，解得：，代入椭圆方程得，故【答案】【例2】双曲线的左、右焦点分别为、，双曲线上的一点P满足，则点P的坐标为_______.【解析】由题意，，，，，由焦半径公式，，，因为，所以，解得：或（舍去）代入双曲线的方程可求得，所以P的坐标为.【答案】变式1  双曲线的左、右焦点分别为、，双曲线上的一点P满足为钝角，则点P的横坐标的取值范围为_______.【解析】为钝角，而，所以由题意，，，，，，由焦半径公式，，，所以，解得：，又或，且当时，显然么，所以.【答案】变式2  双曲线的左、右焦点分别为、，双曲线上的一点P满足，则的面积为_______.【解析】解法1：由题意，，，，，设，则，解得：或，当时，代入双曲线方程可求得，所以，当时，代入双曲线方程可求得，所以.解法2：由题意，，，，所以当点P在双曲线的右支上时，由双曲线定义，，又，所以，显然，所以，从而，当点P在双曲线的左支上时，由双曲线定义，，又，所以，从而，所以，从而综上所述，的面积为6或.【答案】6或变式3  双曲线的左、右焦点分别为、，双曲线第一象限上的一点P满足为等腰三角形，则点P的坐标为_______.【解析】由题意，，，，设，则，，，因为为等腰三角形，且显然，所以或，若，则，解得：，代入双曲线方程解得，从而，若，则，解得：，代入双曲线方程解得，从而，所以点P的坐标为或.【答案】或 强化训练1.（★★）椭圆的左、右焦点分别为、，P为C上一点，且P在第一象限，，则点P的坐标为_______.【解析】显然，，，设，则，，，代入椭圆方程得，故.【答案】2.（★★）椭圆的左、右焦点分别为、，椭圆第一象限上的一点P满足，则点P的坐标为_______.【解析】由题意，，，设，则，，，因为，所以，故，解得：，代入椭圆方程得，结合P在第一象限可得点P的坐标为.【答案】3.（★★）椭圆的左、右焦点分别为、，椭圆上的一点P满足，则点P的坐标为_______.【解析】由题意，，，设，则，，因为，所以，解得：，代入椭圆方程得，故点P的坐标为【答案】4.（★★）椭圆的左、右焦点分别为、，椭圆上的一点P满足为钝角，则点P的横坐标的取值范围为_______.【解析】设，则，，易求得，因为为钝角，所以，故，从而，解得：.【答案】5.（2021·新高考Ⅰ卷·★★）已知、是椭圆的两个焦点，点M在C上，则的最大值为（    ）A.13 B.12 C.9 D.6【解析】解法l：由题意，椭圆的长半轴长为3，所以，故，当且仅当时等号成立，所以的最大值为9.解法2：由题意，，，，离心率，设，，则，，所以，故当时，取得最大值9.【答案】C6.（★★）双曲线的左、右焦点分别为、，双曲线上的一点P满足，则点P的坐标为_______.【解析】由题意，，，，设，则，，因为，所以，解得：或，又，所以，代入双曲线方程可求得，即.【答案】7.（★★★）设双曲线的左、右焦点分别为、，若双曲线C的左支上的点P到右焦点的距离等于12，则_______.【解析】由题意，，，，由双曲线定义，，所以，又，所以，故，从而.解法2：由题意，，，，离心率，设，则，解得：或7，又点P在双曲线C的左支上，所以，代入双曲线方程可求得，如图，不妨设P在x轴上方，则，作轴于Q，则，显然，所以.【答案】8.（★★★）双曲线的左、右焦点分别为、，双曲线上的一点P满足则的面积为_______.【解析】解法1：由题意，，，，，设，则，解得：或0，显然或，所以，代入双曲线方程可求得，所以解法2：由题意，，，，所以，若点P在双曲线的左支上，则由双曲线定义，，又，所以，不合题意，若点P在双曲线的右支上，则由双曲线定义，，又，所以，所以，故，从而【答案】