8.7 椭圆、双曲线的焦点三角形面积公式 讲义——高考数学一轮复习解题技巧方法

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第7节  椭圆、双曲线的焦点三角形面积公式知识与方法1.如图1所示，、是椭圆的焦点，设P为椭圆上任意一点，记，则的面积.2.如图2所示，、是双曲线的焦点，设P为双曲线上任意一点，记，则的面积.典型例题【例1】设、是椭圆的两个焦点，点P在椭圆上，，则的面积为________.【解析】由焦点三角形面积公式，.【答案】变式1  设、是椭圆的两个焦点，点P在椭圆上，，且的面积为，则________.【解析】由焦点三角形面积公式，.【答案】2变式2  设、是椭圆的焦点，点P在椭圆上，且，则的面积为________.【解析】设，则，所以，由知，所以，从而，故.【答案】变式3  设、是椭圆的焦点，点P在椭圆上，且，则________.【解析】记，则，，又，所以，故.【答案】变式4  设、是椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，且，则的面积为________.【解析】解法1：如图，由题意，，易求得，由余弦定理，，所以，故.解法2：设，由焦半径公式，即为，解得：，又，所以，从而，易求得，如图，.【答案】 【反思】不是每一道题都能很方便地代公式计算焦点三角形面积，所以掌握焦点三角形面积公式的推导方法也是有必要的.【例2】已知双曲线的左、右焦点分别为、，点P在C上，且，则的面积为________.【解析】由焦点三角形面积公式，.【答案】变式1  已知双曲线的左、右焦点分别为、，点P在C上，且，则的面积为________.【解析】记，则，所以，由知，所以，从而，故.【答案】 变式2  已知、是双曲线的左、右焦点，P为双曲线C右支上的一点，，则________.【解析】由焦点三角形面积公式，，又，所以，故，由双曲线定义，，解得：.【答案】 变式3  （2020·新课标Ⅲ卷）双曲线的左、右焦点分别为、，离心率为，P是C上一点，，若的面积为4，则（    ）A.1 B.2 C.4 D.8【解析】解法1：，不妨设P在双曲线C的右支上，则，因为，所以，故，从而，故，所以，解得：，故.解法2：，.【答案】A 强化训练1.（★★★）设、是椭圆的两个焦点，点P在椭圆上，且，则的面积为________.【解析】【答案】2.（★★★）设、是双曲线的左、右焦点，P为C上一点，若，则的面积为________.【解析】由焦点三角形面积公式，.【答案】53.（★★★）设、是椭圆的两个焦点，点P在椭圆上，且，则的面积为________.【解析】记，则，由知，所以，从而，故.【答案】4.（★★★）设、是椭圆的左、右焦点，P是椭圆在第一象限上的一点，且，则点P的坐标为________.【解析】设，一方面，，另一方面，，所以，解得：,又，结合可得，所以点P的坐标为.【答案】5.（★★★）已知双曲线的左、右焦点分别为、，点P在C上，且，则的面积为________.【解析】设，则，因为，所以，故，从而.【答案】6.（★★★）已知双曲线的左、右焦点分别为、，双曲线上一点P满足的面积为2，则的周长为________.【解析】，又，所以，从而，故的周长.【答案】7.（★★★）已知、是双曲线的左、右焦点，P为C在第一象限上的一点，若，则点P的坐标为________.【解析】设，一方面，，另一方面，，所以，从而，代入双曲线方程结合可解得：，所以点P的坐标为.【答案】8.（2020·新课标Ⅰ卷·★★★）设、是双曲线的两个焦点，O为坐标原点，点P在双曲线C上且，则的面积为（    ）A.7 B.3 C. D.2【解析】如图，设，则,由题意，，所以.解法2：如图，由题意，，.【答案】B9.（2010·全国Ⅰ卷·★★★）已知、是双曲线的左、右焦点，点P在C上，，则|（    ）A.2 B.4 C.6 D.8【解析】一方面，，另一方面，，所以，故.【答案】B10.（★★★）设、是椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，且，则的面积为________.【解析】如图，由题意，，易求得，由余弦定理，，所以，故.解法2：设，由焦半径公式，即为，解得：，又，所以，从而，易求得，如图，.【答案】