专题10 焦半径公式的应用 微点1 焦半径公式的应用

这是一份专题10 焦半径公式的应用 微点1 焦半径公式的应用，共23页。学案主要包含了微点综述，针对训练等内容，欢迎下载使用。

微点1 焦半径公式的应用
【微点综述】
研究圆锥曲线的性质，焦半径是一个回避不了的问题． 焦半径、焦点弦问题是圆锥曲线几何性质的进一步应用，在高考中经常出现，这些问题的处理体现了多种数学思想方法的交汇．本文利用圆锥曲线的定义、方程思想及数形结合思想推导出圆锥曲线的焦半径公式，并举例说明其应用．
在圆锥曲线问题中若涉及焦半径，如果想到应用焦半径公式来求解，有时会使求解过程十分简捷．下面举例说明，供大家参考．
一、圆锥曲线焦半径定义：
圆锥曲线上任意一点到焦点的距离叫做圆锥曲线关于该点的焦半径．
二、圆锥曲线焦半径公式：
对于椭圆和双曲线上的任意一点，都对应有两条焦半径，对于抛物线上任意一点，焦半径唯一存在．
1．椭圆的焦半径公式
（1）若为椭圆上任意一点，，分别为椭圆的左、右焦点，则，．
证明：证法1（代数方法）：设是椭圆上任意一点（如图1），则有，
从而焦半径，
而，所以，其中为椭圆离心率．
图1 图2
证法2（代数方法）设，依题意有方程组
②-③得
代①于④并整理得⑤
联立①⑤得
证法3（几何方法，利用第二定义）：
如图2，F是椭圆的右焦点，直线l：为椭圆准线，P为椭圆上任意一点，过P作准线l的垂线交于，根据第二定义可得：证明：由椭圆的第二定义知：
同理可证焦点在轴上椭圆的焦半径公式——
（2）若为椭圆上任意一点，，分别为椭圆的上、下焦点，则，．
2．双曲线的焦半径公式
（1）若为双曲线上任意一点，，分别为双曲线的左、右焦点，则
①当点P在双曲线的左支上时，，；
②当点P在双曲线的右支上时，，．
（2）若为双曲线上任意一点，，分别为双曲线的上、下焦点，则
①当点P在双曲线的上支上时，，；
②当点P在双曲线的下支上时，，．
证明：双曲线上的两焦点，相应的准线方程分别是，双曲线上任一点到焦点的距离与它到相应准线的距离的比等于双曲线的离心率，
若点P在右半支上，则，化简得．
同理可证若点P在左半支上，则，．同理可证焦点在轴上的双曲线的焦半径公式．
【评注】（1）对于焦点在在轴上的双曲线时只须把上述“左”、“右”换成“下”、“上”，“”换成“”即可；
（2）若点P在左半支上，也可以根据点P在右半支上的焦半径公式和双曲线的第一定义推导出点P在左半支上的焦半径公式．
3．抛物线的焦半径公式
（1）若为抛物线上任意一点，则；
（2）若为抛物线上任意一点，则；
（3）若为抛物线上任意一点，则；
（4）若为抛物线上任意一点，则．
由抛物线定义易证上述抛物线焦半径公式．
下面用三张表格总结椭圆、双曲线、抛物线的主要性质．
表1．椭圆的定义、标准方程及其几何性质
表2．双曲线的定义、标准方程及其几何性质
表3．抛物线的定义、标准方程及其几何性质
三、圆锥曲线焦半径公式应用举例：
例1．（2022广东海珠区期末）椭圆的右焦点F，直线与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】解法1：由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，即F点到P点与A点的距离相等而于是即，
∴又故．故选D．
解法2：（焦半径公式）设P点，则有，即，解得，又因为，所以有，两边同时除以a，可以解得．
【解析】解法1：根据题意，椭圆中，，，
则，则椭圆的焦点，，
又由线段的中点在y轴上，则与x轴垂直，设，
将P的坐标代入椭圆方程可得，解可得，即，
又由，则，则；故答案为：7．
解法2：（焦半径公式）设P点，由题意，，所以．
例2．过抛物线的焦点的直线交该抛物线于两点，若，则= ．
【解析】解法一：抛物线的准线．
设，．
∵，∴根据抛物线的定义，点到准线的距离为，∴，即．
又由，得，即．
解法二：根据=1，又，则=．（显然解法二计算量小）
【评注】（1）过抛物线的焦点F作直线l交抛物线于A、B两点，则，p是焦准距（焦点到对应准线的距离）；
（2）掌握抛物线焦点弦的这个定值性质，处理相关焦半径问题时非常简捷．
例3．（2021年高考北京12）已知抛物线的焦点为F，点M在抛物线上，MN垂直x轴于点N，若，则点M的横坐标是______；△MNF的面积为______．
【答案】5
【解析】解法1：抛物线C：，则焦点，准线方程l为x＝－1，
过点M作ME⊥l，垂足为E，设，则MF＝ME＝6，
所以，则，所以点M的横坐标为5；
点M在抛物线上，故，所以，即，
所以．
解法2：（焦半径公式）p＝2，，，，带入抛物线方程，得到，．
例4．（2022江苏南京鼓楼期中）椭圆的焦点为，点P在椭圆上，如果线段的中点在y轴上，那么的值为______．
【答案】7
【解析】焦半径公式，，所以．
例5．以抛物线的焦半径为直径的圆与y轴位置关系为（ ）
A．相交 B．相离 C．相切 D．不确定
【解析】解法1：抛物线的焦点F的坐标为，设点P点坐标为，
则以PF为直径的圆的圆心是，根据抛物线的定义与P到直线是等距离的，
所以PF为直径的圆的半径为，因此以PF为直径的圆与y轴的位置关系相切，故选C．
解法2：（焦半径公式）设，由焦半径公式得：，，PF中点为圆心，圆心横坐标，半径，所以与y轴相切，故选C．
例6．设，为椭圆C：的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若为直角三角形，则M的坐标为 ．
【答案】或
【解析】解法1：设，为椭圆C：的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．
若为直角三角形，M为三角形的直角顶点时，M在以原点为圆心、为半径的圆上，
可得，因为M在第一象限，所以M的横坐标与纵坐标都大于0，解得，．所以，点为直角三角形的直角顶点时，椭圆的右焦点，此时．
解法2：（焦半径公式）设，由焦半径公式得：，
，，
若M为直角顶点，勾股定理得到；若为直角顶点，勾股定理得到．
故答案为：或．
例7．（2019全国高考3卷）已知，是椭圆的两个焦点，P是该椭圆上的一个动点，则的最大值是 ．
【答案】4
【解析】设，由焦半径公式得，，，的最大值是．
例8．设F为圆锥曲线的焦点，P是圆锥曲线上任意一点，则定义PF为圆锥曲线的焦半径．下列几个命题
①平面内与两个定点，的距离之和为常数的点的轨迹是椭圆
②平面内与两个定点，的距离之差的绝对值为常数的点的轨迹是双曲线
③平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线
④以椭圆的焦半径为直径的圆和以长轴为直径的圆相切
⑤以抛物线的焦半径为直径的圆和对称轴相切
⑥以双曲线的焦半径为直径的圆和以实轴为直径的圆相切
其中正确命题的序号是______．
【答案】④⑤⑥
【解析】①平面内与两定点距离之和为常数的点的轨迹是椭圆，如果距离之和对于零点的距离，轨迹表示的是线段，不表示椭圆，所以①不正确；
②平面内与两定点距离之差绝对值为常数的点的轨迹是双曲线，这个常数必须小于两点的距离，此时是双曲线，否则不正确，所以②不正确；
③当定点位于定直线时，此时的点到轨迹为垂直于直线且以定点为垂足的直线，只有当点不在直线时，轨迹才是抛物线，所以③错误；
④设椭圆的方程，F、分别是椭圆的左右焦点，
作出以线段PF为直径的圆和以长轴为直径的圆，如图所示．
设PF中点为M，连结，∴OM是的中位线，可得，即两圆的圆心距为
根据椭圆定义，可得，∴圆心距，
即两圆的圆心距等于它们半径之差，因此，以PF为直径的圆与以长半轴为直径的圆相内切．即④正确；
⑤抛物线的焦点F的坐标为，设点P点坐标为，则以PF为直径的圆的圆心是，根据抛物线的定义与P到直线是等距离的，所以PF为直径的圆的半径为，因此以PF为直径的圆与y轴的位置关系相切，即⑤正确；
⑥设以实轴为直径的圆的圆心为，其半径，线段为直径的圆的圆心为，其半径为，当P在双曲线左支上时，，∵，∴两圆内切．
当P在双曲线右支上时，，∵，∴，
∴两圆外切．故⑥正确，故答案为：④⑤⑥．
例9．已知椭圆，在椭圆上求一点M，使它到两焦点距离之积为16．
【解析】显然椭圆焦点在x轴上，所以可选用焦点在x轴上的焦半径公式．
设M（x，y），由椭圆方程得，，
故由题意有：，
解得：x=±5，代入椭圆方程，得y，∴所求点M为（5，0）或（－5，0）．
【评注】1．根据椭圆不同形式的标准方程，合理选择相应的焦半径公式．把问题转化显然到焦点距离最远（近）点为长轴端点．
2．根据椭焦半径公式，椭圆上的点到焦点距离最远（近）点为长轴端点．
3．在涉及到椭圆上的点与其焦点的距离，如果直接用两点间距离公式，运算将非常复杂，而选用焦半径公式使得运算简洁．
例10．已知是椭圆上在第一象限内的点到两焦点的连线互相垂直，求此点到椭圆两准线的距离．
【解析】设左右准线方程为：和
，
又，
，解得，点到右准线的距离为：点到左准线的距离为：．
例11．设是抛物线上两动点，且不垂直于轴，为的焦点，线段的中垂线恒经过点求的方程．
【解析】设
在上，
又
．
∴所求曲线的方程为．
例12．已知椭圆方程：（）．
（1）若椭圆的一个焦点为，短轴的两个三等分点与焦点构成正三角形，求椭圆方程；
（2）定义：椭圆（）上任意一点到左、右两焦点、的距离、称为椭圆的两个“焦半径”，证明：焦半径，；
（3）半椭圆的左焦点为F，在x轴上点F的右侧有一点A，以线段为直径作半径为（）的圆C，且与半椭圆交于M、N两点，试求的值．
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）．
【分析】（1）由正三角形求出，再求出后可得椭圆方程；
（2）计算并代入后化简可得，同理可得，确定的正负后可去掉绝对值符号，
（3），写出圆方程为：，将它与椭圆方程联立，设交点、，方程组消去后，整理，然后由韦达定理，得，由（2）的结论计算，并代入后化简可得．
【解析】（1）解：由题设并结合其图形，知，，
则椭圆方程为；
（2）解：对于椭圆方程：，由椭圆上任意点及左、右焦点、，得
；
同理，；
根据椭圆方程知，，即
故，椭圆两个焦半径为，，
（3）解：设，由题设，
圆C的方程为：，
将它与椭圆方程联立，设交点、
，消去y，得
即，，
由韦达定理，得
又
，
∴．
【评注】本题以椭圆的标准方程，椭圆的焦半径公式及应用，圆与椭圆相交问题为载体，考查学生的运算求解能力，逻辑推理能力，转化与化归能力，
通过上述几例的解答，我们发现，焦半径公式充分体现了数学中的化归思想，通过它可将二个变量x， y问题化归为一个变量x或y来处理，体现了数学中的消元思想，减少了运算量，优化了解题过程．所以我们在平时的教学中，值得重视圆锥曲线的焦半径公式的运用．
总结：
（1）对于椭圆解题，说到底是在以下的5个量中兜圈子：
——半焦距；——长半轴长；——短半轴长；——离心离；——中心到准线的距离．
（2）对于双曲线解题，说到底是在以下的5个量中兜圈子：
——半焦距；——实半轴长；——虚半轴长；——离心离；——中心到准线的距离．
这5个量中，前2个是基本量，后3个是导出量．在椭圆和双曲线的焦半径公式中，2个参量都是基本量，不是基本量，而且导出式还是一个根式，这就是为什么在某些具体问题中，焦半径公式比椭圆（双曲线）方程显得简便的原因．
【针对训练】
1．设为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限.若为等腰三角形，则的坐标为___________.
2．已知F是椭圆的一个焦点，P是C上的任意一点，则称为椭圆C的焦半径.设C的左顶点与上顶点分别为A，B，若存在以A为圆心，为半径长的圆经过点B，则椭圆C的离心率的最小值为________.
3．双曲线的两个焦点为、，点在双曲线上，若，则点到轴的距离为（ ）
A．B．C．4D．
4．长为11的线段AB的两端点都在双曲线的右支上，则AB中点M的横坐标的最小值为（ ）
A．B．C．D．
5．抛物线的焦点弦被焦点分成长是m和n的两部分，则m与n的关系是（ ）
A．m＋n＝mnB．m＋n＝4C．mn＝4D．无法确定
6．已知为抛物线的焦点，是该抛物线上的两点，，则线段的中点到轴的距离为
A．B．C．D．
7．点在双曲线的右支上，若点到右焦点的距离等于，则___________
8．已知双曲线的左，右焦点分别为，，在双曲线的右支存在一点，使，求点的坐标．
9．已知斜率为的直线与椭圆交于、两点，线段的中点为，．
(1)证明：；
(2)设为的右焦点，为上的一点，且，证明：，，成等差数列．
10．已知椭圆经过点，且椭圆的离心率，过椭圆的右焦点作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点及、．
(1)求椭圆的方程；
(2)求证：为定值；
(3)求的最小值．
焦点的位置
焦点在轴上
焦点在轴上
图 形
标准方程
第一定义
到两定点的距离之和等于常数2，即（）
第二定义
与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数，即
范 围
且
且
顶 点
，
，
轴 长
长轴的长，短轴的长
对称性
关于轴、轴对称，关于原点中心对称
焦 点
，
，
焦 距
离心率

准线方程
焦半径
左焦半径：右焦半径：
下焦半径：上焦半径：
焦点三角形面积
通 径
过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：
弦长公式
，
焦点的位置
焦点在轴上
焦点在轴上
图 形
标准方程
第一定义
到两定点的距离之差的绝对值等于常数，即
第二定义
与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数，即
范 围
或，
或，
顶 点
轴 长
实轴的长 虚轴的长
对称性
关于轴、轴对称，关于原点中心对称
焦 点
，
，
焦 距
离心率
准线方程
渐近线方程
焦半径
在右支在左支
在上支在下支
焦点三角形面积
通 径
过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：
图 形
标准方程
定 义
与一定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点不在定直线上)
顶 点
离心率
对称轴
轴
轴
范 围
焦 点
准线方程
焦半径
通 径
过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径：
焦点弦长公式
参数的几何意义
参数表示焦点到准线的距离，越大，开口越阔
参考答案：
1．
【分析】根据椭圆的定义分别求出，设出的坐标，结合三角形面积可求出的坐标.
【详解】由已知可得，
又为上一点且在第一象限,为等腰三角形，
．∴．
设点的坐标为，则，
又，解得，
，解得（舍去），
的坐标为．
【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．
2．
【分析】根据题意，存在以A为圆心，为半径长的圆经过点B，即的最大值应该不小于线段的长，根据不等关系列出含的不等式，转化为离心率的不等式，即可求解出椭圆C的离心率的最小值．
【详解】根据题意，存在以A为圆心，为半径长的圆经过点B，即的最大值应该不小于线段的长，可得，化简得，即，且，解得，所以椭圆C的离心率的最小值为．
【点睛】本题主要考查椭圆离心率的求解，在解题时构造有关的不等式，转化为离心率的不等式是关键．
3．B
【分析】设点，根据题意得，进而与双曲线方程联立得，即可得答案.
【详解】设点，由双曲线可知、，
∵，∴，∴，
代入双曲线方程，∴，∴，∴，
∴到轴的距离是．
故选：B．
4．B
【分析】用A、B两点的坐标表示出和，(F为双曲线右焦点）解出A、B两点的坐标，利用，求得m的最小值.
【详解】
由双曲线可知，a＝3，b＝4，c＝5，设AB中点M的横坐标为m，，
则，，
，当且仅当F、A、B共线且不垂直轴时，m取得最小值，此时．
检验: 如图，当F、A、B共线且轴时，为双曲线的通径，则根据通径公式得,所以轴不满足题意.
综上，当F、A、B共线且不垂直轴时，m取得最小值，此时．
故选：B．
5．A
【分析】根据抛物线的定义可得焦点弦，，联立过焦点的直线方程和抛物线方程，根据韦达定理即可求解.
【详解】抛物线的焦点，准线x＝－1，
设，把它代入得，
设，，则，由抛物线定义可得，，
∴，，
∴m＋n＝mn．
故选:A
6．C
【分析】抛物线的准线为，过作准线的垂线，垂足为，的中点为，过作准线的垂线，垂足为，则可利用几何性质得到，故可得到轴的距离.
【详解】抛物线的准线为，过作准线的垂线，垂足为，的中点为，过作准线的垂线，垂足为，
因为是该抛物线上的两点，故，
所以，
又为梯形的中位线，所以，故到轴的距离为，故选C.
【点睛】本题考查抛物线的几何性质，属于基础题.
7．2
【分析】根据双曲线的方程求得的值，结合双曲线的方程及，列出方程，即可求解.
【详解】由双曲线，可得，则，
所以双曲线的右焦点，
将点代入双曲线的方程，可得，
所以，
整理得，解得或（舍去）
所以
故答案为：.
8．
【分析】设，由双曲线的定义得，进而根据双曲线的第二定义得，，再代入方程得，进而得答案.
【详解】解：由双曲线得，右准线方程为，
双曲线的右支存在一点，
由，，解得，
设d为点到准线的距离，则由双曲线的定义可得：，
所以，，又，解得，
代入得，
所以．
9．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）设，代入椭圆的方程，两式相减，结合，，求得，再由点在椭圆内，即可求解；
（2）由，得到，进而得到，因为点在椭圆上，求得，得到，求得直线的方程，联立方程组求得的坐标，进而得到，即可求解．
(1)
证明：设，则，
因为，，所以，所以．
由题设可知点在椭圆内，则，解得，
所以．
(2)
证明：因为，为的中点，所以，
由，可得，
因为点在椭圆上，所以．
又因为，所以，
由（1）知，所以，
所以直线的方程为，即，
由直线的方程与椭圆方程联立，得，
整理得，解得，，
所以，，
又因为，所以，，，
可得，所以，，成等差数列．
10．(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据离心率以及在椭圆方程上即可联立求解，．（2）分两种情况讨论：当与坐标轴垂直时，可求的长度， 当一般情况时，联立直线与椭圆方程，根据弦长公式即可求解；（3）根据第二问的结论，结合基本不等式求最值的方法即可求解.
（1）
由，得，
，．①，
由椭圆过点知，②．
联立①②式解得，．
故椭圆的方程是．
（2）
为定值．
证明：椭圆的右焦点为，分两种情况．
不妨设当的斜率不存在时，，
则．此时，，；
当直线的斜率存在时，
设，则．
又设点，，，．
联立方程组，
消去并化简得，
，，
，
由题知，直线的斜率为，
同理可得
所以为定值．
（3）
解：由（2）知，
，
当且仅当，即，即，时取等号，
的最小值为．