2024届高考数学-第2讲 圆锥曲线第二定义与焦半径公式（解析版）

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第2讲 圆锥曲线第二定义与焦半径公式 参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．已知点是双曲线上的动点，，为该双曲线的左右焦点，为坐标原点，则的最大值为　　A． B．2 C． D．【解答】解：由题意，分子最大且分母最小时，即在顶点处取得最大值，不妨取顶点，，则的最大值为，故选：．2．已知双曲线的右支上的点，满足，分别是双曲线的左右焦点），则为双曲线的半焦距）的取值范围是　　A．， B．， C．， D．，【解答】解：由双曲线的第二定义可知，，右支上的点，满足，，由，解得，在右支上，可得，可得，即，则，令，，可得而在，递减，，，，故选：．3．已知点是双曲线上的动点，，分别是其左、右焦点，为坐标原点，若的最大值是，则此双曲线的离心率是　　A． B． C． D．2【解答】解：不妨设为右支上的一点，其中，，，当时，取得最大值，，故选：．4．已知为抛物线的焦点，过作两条互相垂直的直线，，直线与交于，两点，直线与交于，两点，则当取得最小值时，四边形的面积为　　A．32 B．16 C．24 D．8【解答】解：因为，要使最小，而，由抛物线的对称性可得与，与关于轴对称，所以可得直线的斜率为1，又过抛物线的焦点，所以直线的方程为：，，整理可得，，，所以可得，所以．故选：．5．过椭圆的右焦点作两条相互垂直的直线分别交椭圆于，，，四点，则的值为　　A． B． C．1 D．【解答】解：由椭圆，得椭圆的右焦点为，当直线的斜率不存在时，，则．此时，，则；当直线的斜率存在时，设，则．又设点，，，．联立方程组，消去并化简得，，，由题知，直线的斜率为，同理可得．为定值．故选：．二．填空题（共3小题）6．已知是椭圆上的动点，，分别是其左右焦点，是坐标原点，则的取值范围是　，　．【解答】解：设的坐标为椭圆中，，，，得椭圆的准线方程为，即作出椭圆的右准线，设在右准线上的射影为，连结，根据圆锥曲线的统一定义，得，，同理可得，，点在椭圆上，得，，由此可得，得，，即，，得，，，．故答案为：，7．已知为抛物线的焦点，过作两条互相垂直的直线，，直线与交于、两点，直线与交于、两点，则的值为　　．【解答】解：根据题意可得，抛物线的焦点坐标为，准线方程为，设直线，直线，互相垂直，直线的斜率为，即得，设，，，，，，，，则分别将直线，的方程与抛物线方程联立组成方程组可得，；由韦达定理可得，，，由抛物线性质可知，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，，，．故答案为：．8．已知为抛物线的焦点，过作两条互相垂直的直线，，直线与交于、两点，直线与交于、两点，则的最小值为　36　．【解答】解：抛物线的焦点，准线方程为，设直线的方程为，，联立方程组，则，设，，，，可得，由抛物线的定义可得，由，可将上式中的换为，可得，则．当且仅当时，上式取得等号，则的最小值为36．故答案为：36．三．解答题（共6小题）9．已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为，．（1）证明：；（2）设为的右焦点，为上一点，且．证明：，，成等差数列，并求该数列的公差．【解答】解：（1）设，，，，线段的中点为，，将，代入椭圆中，可得，两式相减可得，，即，点在椭圆内，即，解得．①（2）由题意得，设，，则，，由（1）及题设得，．又点在上，所以，从而，．于是．同理．所以，故，即，，成等差数列．设改数列的公差为，则②将代入①得．所以的方程为，代入的方程，并整理得．故，，代入②解得．所以该数列的公差为或．10．已知斜率为的直线与椭圆交于、两点，线段的中点为，．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）设为的右焦点，为上的一点，且，证明：，，成等差数列．【解答】（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）设，，，，则有（2分）（1）（2）得．，．．（3分）．（4分）由题设可知点在椭圆内，，解得，．（5分）（Ⅱ），为的中点，，（6分），．点在椭圆上，．（7分）又．（8分）由（Ⅰ）知，所以．直线的方程为，即．（9分）由直线的方程与椭圆方程联立，得消化简得，解得，．（10分）从而得，，又，，，．（11分），，成等差数列．（12分）11．已知、是椭圆的左、右焦点，且离心率，点为椭圆上的一个动点，△的内切圆面积的最大值为．（1）求椭圆的方程；（2）若，，，是椭圆上不重合的四个点，满足向量与共线，与共线，且，求的取值范围．【解答】解：（1）由几何性质可知，当，△的内切圆面积的最大值时，即，取最大值，且，由，解得，又由△的周长为定值，，又，可得，即，，，，故椭圆方程为，（2）①当直线和中有一条垂直轴时，，②当直线的斜率存在但不为0时，设的方程为：，由得，代入弦长公式得，，同理由，消去，代入弦长公式得，，令，则，，由①②可知的取值范围是，．12．已知椭圆经过点，且椭圆的离心率，过椭圆的右焦点作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点、及、．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求证：为定值；（Ⅲ）求的最小值．【解答】解：由，得，，．（1），（1分）由椭圆过点知，．（2）（2分）联立（1）、（2）式解得，．（3分）故椭圆的方程是．（4分）为定值（5分）证明：椭圆的右焦点为，分两种情况．当直线的斜率不存在时，，则．此时，，；（6分）当直线的斜率存在时，设，则．又设点，，，．联立方程组，消去并化简得，，（7分），（8分）由题知，直线的斜率为，同理可得（9分）所以为定值．（10分）（Ⅲ）解：由知，（11分），（12分）当且仅当，即，即，时取等号（13分）的最小值为．（14分）13．已知椭圆的长轴长为4，离心率为，一动圆过椭圆右焦点，且与直线相切．（1）求椭圆的方程及动圆圆心轨迹的方程；（2）过作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于，两点，交曲线于，两点，求四边形面积的最小值．【解答】解：（1）由已知可得，则所求椭圆方程．由已知可得动圆圆心轨迹为抛物线，且抛物线的焦点为，准线方程为，则动圆圆心轨迹方程为．（2）当直线的斜率不存在时，，此时的长即为椭圆长轴长，，从而．设直线的斜率为，则，直线的方程为：，直线的方程为，设，，，，，，，，由，消去可得，由抛物线定义可知：，由，消去得，从而，，令，，则，则，所以，所以四边形面积的最小值为8．14．平面直角坐标系中，已知为椭圆的右焦点，且，过作两条互相垂直的直线交椭圆分别于、与、．以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求椭圆的极坐标方程与的代数表达式；（Ⅱ）求的取值范围．【解答】解：由已知，（Ⅰ）设，，，以右焦点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为，即，其中．设，，则，，，，即；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，．，，且，解得．记（a），则（a），当时，（a），（a）为增函数，则（a），，即，．