中考数学全面突破：第七讲　一次函数 含解析答案

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第七讲　一次函数
命题点分类集训
命题点1　一次函数的图象与性质
【命题规律】1.考查内容：①一次函数所在象限；②一次函数(含正比例函数)解析式的确定；③一次函数的增减性与其系数之间的关系；④一次函数与方程(组)的关系；⑤一次函数与不等式的关系；⑥一次函数图象平移；⑦一次函数与几何图形结合.2.三大题型均有考查，但解答题的设题一般多与反比例函数结合(试题详见反比例函数)．
【命题预测】一次函数的图象与性质是命题的焦点与趋势，值得关注．
1. 一次函数y＝－2x＋3的图象不经过的象限是(　　)
A. 第一象限　　　　B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
1. C
2.在直角坐标系中，点M，N在同一个正比例函数图象上的是(　　)
A. M(2，－3)，N(－4，6) B. M(－2，3)，N(4，6)
C. M(－2，－3)，N(4，－6) D. M(2，3)，N(－4，6)
2. A
3.若关于x的一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx＋b的图象可能是(　　)

3. B
4.如图，直线y＝ax＋b过点A(0，2)和点B(－3，0)，则方程ax＋b＝0的解是(　　)
A. x＝2 B. x＝0 C. x＝－1 D. x＝－3
4. D　【解析】方程ax＋b＝0的解就是一元一次函数y＝ax＋b的图象与x轴交点的横坐标，即x＝－3.
5.设点A(a，b)是正比例函数y＝－x图象上的任意一点，则下列等式一定成立的是(　　)
A.2a＋3b＝0 B.2a－3b＝0 C.3a－2b＝0 D.3a＋2b＝0
5. D　【解析】把点A(a，b)代入y＝－x，得b＝－a，即2b＝－3a，∴3a＋2b＝0.
6.关于直线l：y＝kx＋k(k≠0)，下列说法不正确的是(　　)
A. 点(0，k)在l上 B. l经过定点(－1，0)
C. 当k>0，y随x的增大而增大 D. l经过第一、二、三象限
6. D　【解析】逐项分析如下：
选项
逐项分析
正误
A
点(0，k)在直线l上，是直线与y轴的交点
√
B
当x＝－1时，函数值y＝－k＋k＝0，所以直线l经过定点(－1，0)
√
C
当k＞0时，y随x的增大而增大
√
D
直线l经过第一、二、三象限仅仅当k 是正数时成立，当k 是负数时，函数图象经过二、三、四象限
×
7.一次函数y＝x－b与y＝x－1的图象之间的距离等于3，则b的值为(　　)
A. －2或4　　　B. 2或－4　　　C. 4或－6　　　D. －4或6
7. D　【解析】∵直线y＝x－1 与x轴的交点A的坐标为( ，0)，与y轴的交点C的坐标为(0，－1)，∴OA＝，OC＝1，直线y＝x－b与直线y＝x－1的距离为3，可分为两种情况：(1)如解图①，点B的坐标为(0，－b)，则OB＝－b，BC＝－b＋1，易证△OAC∽△DBC，则＝ ，即＝，解得b＝－4；(2)如解图②，点F的坐标为(0，－b)，则CF＝b－1，易证△OAC∽△ECF，则＝ ，即＝，解得b＝6，故b＝－4或6.


8.将直线y＝2x＋1向下平移3个单位长度后所得直线的解析式是____________．
8. y＝2x－2　【解析】根据直线的平移规律：上加下减，可得到平移后的解析式为y＝2x＋1－3＝2x－2.
9.若函数y＝(m－1)x|m|是正比例函数，则该函数的图象经过第________象限．
9. 二、四 　【解析】∵函数y＝(m－1)x|m|是正比例函数，则，∴m＝－1.则这个正比例函数为y＝－2x，其图象经过第二、四象限．
10.若一次函数y＝－2x＋b(b为常数)的图象经过第二、三、四象限，则b的值可以是________(写出一个即可)．
10. －1(答案不唯一，满足b＜0即可)　【解析】∵一次函数y＝－2x＋b的图象经过第二、三、四象限，∴b＜0，故b的值可以是－1.
11.已知一次函数y＝kx＋2k＋3的图象与y轴的交点在y轴的正半轴上，且函数值y随x的增大而减小，则k所能取到的整数值为________．
11. －1　【解析】∵一次函数图象与y轴的交点在y轴的正半轴上，∴2k＋3>0，∴k>－1.5；又∵函数值y随x的增大而减小，∴k<0，则－1.5 12.如图，过点A(2，0)的两条直线l1，l2分别交y轴于点B，C，其中点B在原点上方，点C在原点下方，已知AB＝.
(1)求点B的坐标；
(2)若△ABC的面积为4，求直线l2的解析式．
12. 解：(1)∵点A的坐标为(2，0)，
∴AO＝2.
在Rt△AOB中，OA2＋OB2＝AB2，即22＋OB2＝()2，
∴OB＝3，
∴B(0，3)．
(2)∵S△ABC＝BC·OA，即4＝BC×2，
∴BC＝4，
∴OC＝BC－OB＝4－3＝1，
∴C(0，－1)．
设直线l2的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，
∵直线l2经过点A(2，0)，C(0，－1)，
∴，
解得.
∴直线l2的解析式为y＝x－1.


命题点2　一次函数的实际应用
【命题规律】1.考查内容：①结合一次函数图象分析实际问题；②结合表格考查一次函数的实际应用；③以阶梯费用问题为背景，考查分段函数；④根据文字中的变量列一次函数解决实际问题；⑤与方程不等式综合的一次函数实际问题.2.主要以解答题形式出题，设问以两问为主．
【命题预测】一次函数的实际应用是全国命题趋势之一，一次函数图象分析题和一次函数与方程综合题是重点．
13.为增强学生体质，某中学在体育课中加强了学生的长跑训练．在一次女子800米耐力测试中，小静和小茜在校园内200米的环形跑道上同时起跑，同时到达终点；所跑的路程S(米)与所用的时间t(秒)之间的函数图象如图所示，则她们第一次相遇的时间是起跑后的第________秒．
13. 120　【解析】从函数图象可知，小茜是正比例函数图象，小静是分段函数图象，小静第二段函数图象与小茜的函数图象的交点的横坐标便是她们第一次相遇的时间．可求出小茜的函数解析式为S＝4t，设小静第二段函数图象的解析式为S＝kt＋b，把(60，360)和(150，540)代入得，解得，∴此段函数解析式为S＝2t＋240，解方程组，得，故她们第一次相遇时间为起跑后第120秒．
14.昨天早晨7点，小明乘车从家出发，去西安参加中学生科技创新大赛，赛后，他当天按原路返回．如图，是小明昨天出行的过程中，他距西安的距离y(千米)与他离家的时间x(时)之间的函数图象．根据下面图象，回答下列问题：
(1)求线段AB所表示的函数关系式；
(2)已知昨天下午3点时，小明距西安112千米，求他何时到家？
14. (1)【思路分析】利用待定系数法可求出函数解析式，再根据图象确定出自变量的取值范围．
解：设线段AB所表示的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0)，则
根据题意，得，解得，
∴线段AB所表示的函数关系式为y＝－96x＋192(0≤x≤2)．
(2)【思路分析】利用待定系数法求出线段CD的解析式，令y＝192，解方程即可求出小明到家的时间．
解：由题意可知，下午3点时，x＝8，y＝112.
设线段CD所表示的函数关系式为y＝k′x＋b′(k′≠0)，则
根据题意，得，
解得.∴线段CD的函数关系式为y＝80x－528.
∴当y＝192时，80x－528＝192，解得x＝9.
∴他当天下午4点到家．


15.根据卫生防疫部门要求，游泳池必须定期换水、清洗．某游泳池周五早上8∶00打开排水孔开始排水，排水孔的排水速度保持不变，期间因清洗游泳池需要暂停排水，游泳池的水在11∶30全部排完，游泳池内的水量Q(m3)和开始排水后的时间t(h)之间的函数图象如图所示，根据图象解答下列问题：
(1)暂停排水需要多少时间？排水孔的排水速度是多少？
(2)当2≤t≤3.5时，求Q关于t的函数表达式．

15. 解：(1)暂停排水时间为30分钟(半小时)；排水孔的排水速度为900÷(3.5－0.5)＝300 (m3/h)．
(2)由图可知排水1.5 h后暂停排水，此时游泳池的水量为900－300×1.5＝450 (m3)，
设当2≤t≤3.5时，Q关于t的函数表达式为Q＝kt＋b(k≠0)，
把(2，450)，(3.5，0)代入得
解得.
∴函数表达式为Q＝－300t＋1050.



16.某校准备组织师生共60人，从南靖乘动车前往厦门参加夏令营活动，动车票价格如下表所示(教师按成人票价购买，学生按学生票价购买)：
运行区间
成人票价(元/张)
学生票价(元/张)


出发站
终点站
一等座
二等座
二等座
南靖
厦门
26
22
16
若师生均购买二等座票，则共需1020元．
(1)参加活动的教师有________人，学生有________人；
(2)由于部分教师需提早前往做准备工作，这部分教师均购买一等座票，而后续前往的教师和学生均购买二等座票．设提早前往的教师有x人，购买一、二等座票全部费用为y元．
①求y关于x的函数关系式；
②若购买一、二等座票全部费用不多于1032元，则提早前往的教师最多只能多少人？

16. 解：(1)10，50；
【解法提示】设有教师x人，则有学生(60－x)人，
由题意列方程得：
22x＋16(60－x)＝1020，
解得x＝10，
∴60－x＝50(人)，
∴有教师10人，学生50人．
(2)①由题意知：
y＝26x＋22(10－x)＋50×16
＝26x＋220－22x＋800
＝4x＋1020；
②由题意得：
4x＋1020≤1032，
解得x≤3，
∴提早前往的教师最多只能3人．







中考冲刺集训
一、选择题
1.已知一次函数y＝kx＋5和y＝k′x＋7，假设k＞0且k′＜0，则这两个一次函数图象的交点在(　　)
A. 第一象限　　B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

1. A　【解析】根据题意画出两个函数的图象，大致图象如解图所示，∴这两个一次函数图象的交点在第一象限．

2.若k≠0，b＜0，则y＝kx＋b的图象可能是(　　)

2. B
3.已知一次函数y＝kx＋b－x的图象与x轴的正半轴相交，且函数值y随自变量x的增大而增大，则k，b的取值情况为(　　)
A. k＞1，b＜0　B. k＞1，b＞0　C. k＞0，b＞0　D. k＞0，b＜0
3. A　【解析】原解析式可变形为y＝(k－1)x＋b，∵函数值y随自变量x的增大而增大，∴k－1>0，∴k>1，∵图象与x轴正半轴相交，∴b<0，即k>1，b<0.
4.如图，一直线与两坐标轴的正半轴分别交于A、B两点，P是线段AB上任意一点(不包括端点)，过P分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形的周长为10，则该直线的函数表达式是(　　)
A. y＝x＋5 B. y＝x＋10 C. y＝－x＋5 D. y＝－x＋10
4. C　【解析】设P(x，y)，则由题意得2(x＋y)＝10，∴x＋y＝5，∴过点P的直线函数表达式为y＝－x＋5，故选C.
5.若式子＋(k－1)0有意义，则一次函数y＝(1－k)x＋k－1的图象可能是(　　)

5. C　【解析】式子＋(k－1)0有意义，则k>1，∴1－k<0，k－1>0，∴一次函数y＝(1－k)x＋k－1的图象经过第一、二、四象限．结合图象，故选C.
6.在坐标平面上，某个一次函数的图象经过(5，0)、(10，－10)两点，则此函数图象还会经过下列哪点(　　)
A. (，9) B. (，9) C. (，9) D. (，9)
6. C　【解析】设该一次函数的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，将点(5，0)、(10，－10)代入到y＝kx＋b中得，，解得，∴该一次函数的解析式为y＝－2x＋10.A.y＝－2×＋10＝9≠9，该点不在直线上；B.y＝－2×＋10＝9≠9，该点不在直线上；C.y＝－2×＋10＝9，该点在直线上；D.y＝－2×＋10＝9≠9，该点不在直线上．
二、填空题
7.将正比例函数y＝2x的图象向上平移3个单位，所得的直线不经过第________象限．
7. 四　【解析】根据平移规律“上加下减，左加右减”，将直线y＝2x向上平移3个单位，得到的直线解析式为y＝2x＋3，因为2>0，3>0，所以图象过第一、第二和第三象限，故不经过第四象限．
8.已知二元一次方程组的解为，则在同一平面直角坐标系中，直线l1：y＝x＋5与直线l2：y＝－x－1的交点坐标为________．
8. (－4，1) 　【解析】二元一次方程x－y＝－5对应一次函数y＝x＋5，即直线l1；二元一次方程x＋2y＝－2对应一次函数y＝－x－1，即直线l2.∴原方程组的解即是直线l1与l2的交点坐标，∴交点坐标为(－4，1)．
9.如图，直线y＝x＋b与直线y＝kx＋6交于点P(3，5)，则关于x的不等式x＋b>kx＋6的解集是________．
9. x＞3　【解析】由题可知，当x＝3时，x＋b＝kx＋6，在点P左边即x＜3时，x＋b＜kx＋6，在点P右边即x＞3时，x＋b＞kx＋6，故答案为x＞3.
10.如图，把Rt△ABC放在直角坐标系内，其中∠CAB＝90°，BC＝5，点A、B的坐标分别为(1，0)、(4，0)，将△ABC沿x轴向右平移，当C点落在直线y＝2x－6上时，线段BC扫过的区域面积为________．

10. 16　【解析】平移后如解图所示．∵点A、B的坐标分别为(1，0)、(4，0)，∴AB＝3，∵∠CAB＝90°，BC＝5，∴AC＝4，∴A′C′＝4，∵点C′在直线y＝2x－6上，∴2x－6＝4，解得x＝5，即OA′＝5，∴CC′＝5－1＝4，∴S▱BCC′B′＝4×4＝16，即线段BC扫过的面积为16.
三、解答题
11.为保障我国海外维和部队官兵的生活，现需通过A港口、B港口分别运送100吨和50吨生活物资．已知该物资在甲仓库存有80吨，乙仓库存有70吨．若从甲、乙两仓库运送物资到港口的费用(元/吨)如下表所示．
(1)设从甲仓库运送到A港口的物资为x吨，求总费用y(元)与x(吨)之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
(2)求出最低费用，并说明总费用最低时的调配方案．
港口


费用(元/吨)


甲库
乙库

A港
14
20
B港
10
8
11. 解：(1)∵从甲仓库运往A港口的物资为x吨，
∴从甲仓库运往B港口的物资为(80－x)吨，
∴从乙仓库运往A港口的物资为(100－x)吨，
∴乙仓库运往B港口的物资为70－(100－x)＝(x－30)吨，
∴y＝14x＋10(80－x)＋20(100－x)＋8(x－30)
＝－8x＋2560，
∵80－x≥0，x－30≥0，100－x≥0
∴30≤x≤80.
(2)由(1)知，y＝－8x＋2560，
∵k＝－8<0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x＝80时，y最小，最小值为1920元．
此时的调配方案是，将甲仓库所有物资运往A港口，乙仓库的20吨货物运往A港口，50吨货物运往B港口．


12.某物流公司引进A、B两种机器人用来搬运某种货物，这两种机器人充满电后可以连续搬运5小时，A种机器人于某日0时开始搬运，过了1小时，B种机器人也开始搬运．如图，线段OG表示A种机器人的搬运量yA(千克)与时间x(时)的函数图象，线段EF表示B种机器人的搬运量yB(千克)与时间x(时)的函数图象．根据图象提供的信息，解答下列问题：
(1)求yB关于x的函数解析式；
(2)如果A、B两种机器人各连续搬运5个小时，那么B种机器人比A种机器人多搬运了多少千克？


12. 解：(1)设yB关于x的解析式为yB＝k1x＋b(k1≠0)，
把E(1，0)和P(3，180)代入yB＝k1x＋b中，得：
，
解得，
∴yB关于x的解析式为yB＝90x－90.
(2)设yA关于x的解析式为yA＝k2x(k2≠0)，由题意得：
180＝3k2，即k2＝60，
∴yA＝60x，
当x＝5时，yA＝5×60＝300(千克)，
当x＝6时，yB＝90×6－90＝450(千克)
450－300＝150(千克)．
答：如果A、B两种机器人各连续搬运5小时，那么B种机器人比A种机器人多搬运了150千克．



13.下图中的折线ABC表示某汽车的耗油量y(单位：L/km)与速度x(单位：km/h)之间的函数关系(30≤x≤120)．已知线段BC表示的函数关系中，该汽车的速度每增加1 km/h，耗油量增加0.002 L/km.
(1)当速度为50 km/h、100 km/h时，该汽车的耗油量分别为________L/km、________L/km；
(2)求线段AB所表示的y与x之间的函数表达式；
(3)速度是多少时，该汽车的耗油量最低？最低是多少？

13. 解：(1)0.13，0.14.
【解法提示】x轴表示速度，从30到60之间为40，50，对应的y轴汽车耗油的量由0.15到0.12，列表如下：
速度(km/h)
30
40
50
60
耗油量(L/km)
0.15
0.14
0.13
0.12
∴当速度为50 km/h时，该汽车耗油量为0.13 L/km，当速度为100 km/h时，该汽车耗油量为
0．12＋0.002×(100－90)＝0.14 L/km.
(2)设线段AB所表示的y与x之间的函数表达式为y＝kx＋b(k≠0)，
∵y＝kx＋b的图象过点(30，0.15)与(60，0.12)，
∴，
解得.
∴线段AB所表示的y与x之间的函数表达式为y＝－0.001x＋0.18.
(3)根据题意，得线段BC所表示的y与x之间的函数表达式为y＝0.12＋0.002(x－90)＝0.002x－0.06，
由图象可知，B是折线ABC的最低点，也是AB与BC的交点，
解方程组，
得.
因此，速度是80km/h时，该汽车的耗油量最低，最低是0.1 L/km.