2024河南中考数学真题分类卷 第七讲 一次函数 (含答案)

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1. (2023安徽)在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax＋a2与y＝a2x＋a的图象可能是( )
2. (2022柳州)若一次函数y＝kx＋b的图象如图所示，则下列说法正确的是( )
第2题图
A. k>0
B. b＝2
C. y随x的增大而增大
D. x＝3时，y＝0
3. (新趋势)·条件开放性问题 (2023天津)若一次函数y＝x＋b(b是常数)的图象经过第一、二、三象限，则b的值可以是________(写出一个即可).
类型二 与一次函数增减性、最值有关的问题
4. (2023包头)在一次函数y＝－5ax＋b(a≠0)中，y的值随x值的增大而增大，且ab＞0，则点A(a，b)在( )
A. 第四象限 B. 第三象限 C. 第二象限 D. 第一象限
5. (2023邵阳)在直角坐标系中，已知点A( eq \f(3,2) ，m)，点B( eq \f(\r(7),2) ，n)是直线y＝kx＋b(k＜0)上的两点，则m，n的大小关系是( )
A. m＜n B. m＞n C. m≥n D. m≤n
6. (2023绍兴)已知(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)为直线y＝－2x＋3上的三个点，且x10 B. 若x1x30
C. 若x2x3>0，则y1y3>0 D. 若x2x30
7. (新趋势)·结论开放性问题 (2023河南)请写出一个y随x的增大而增大的一次函数的表达式：________．
8. (2023泰州)一次函数y＝ax＋2的图象经过点(1，0).当y＞0时，x的取值范围是________．
9. (2022自贡)当自变量－1≤x≤3时，函数y＝|x－k|(k为常数)的最小值为k＋3，则满足条件的k的值为________．
10. (2023北京)在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过点(4，3)，(－2，0)，且与y轴交于点A.
(1)求该函数的解析式及点A的坐标；
(2)当x>0时，对于x的每一个值，函数y＝x＋n的值大于函数y＝kx＋b(k≠0)的值，直接写出n的取值范围．
类型三 一次函数图象的交点问题
11. (2023株洲)在平面直角坐标系中，一次函数y＝5x＋1的图象与y轴的交点的坐标为( )
A. (0，－1) B. (－ eq \f(1,5) ，0) C. ( eq \f(1,5) ，0) D. (0，1)
12. (2023德阳)如图，已知点A(－2，3)，B(2，1)，直线y＝kx＋k经过点P(－1，0).试探究：直线与线段AB有交点时k的变化情况，猜想k的取值范围是________．
第12题图
13. (新考法)·结合坐标系设计动画考查一次函数的图象与性质 (2023河北)如图，平面直角坐标系中，线段AB的端点A(－8，19)，B(6，5).
(1)求AB所在直线的解析式；
(2)某同学设计了一个动画：
在函数y＝ eq \x(m) x＋ eq \x(n) (m≠0，y≥0)中，分别输入m和n的值，便得到射线CD，其中C(c，0).当c＝2时，会从C处弹出一个光点P，并沿CD飞行；当c≠2时，只发出射线而无光点弹出．
①若有光点P弹出，试推算m，n应满足的数量关系；
②当有光点P弹出，并击中线段AB上的整点(横、纵坐标都是整数)时，线段AB就会发光．求此时整数m的个数．
第13题图
命题点2 一次函数图象的平移、旋转与对称
14. (2023娄底)将直线y＝2x＋1向上平移2个单位，相当于( )
A. 向左平移2个单位 B. 向左平移1个单位
C. 向右平移2个单位 D. 向右平移1个单位
15. (2022陕西)在平面直角坐标系中，若将一次函数y＝2x＋m－1的图象向左平移3个单位后，得到一个正比例函数的图象，则m的值为( )
A. －5 B. 5 C. －6 D. 6
16. (2022扬州)如图，一次函数y＝x＋ eq \r(2) 的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，把直线AB绕点B顺时针旋转30°交x轴于点C.则线段AC长为( )
第16题图
A. eq \r(6) ＋ eq \r(2) B. 3 eq \r(2) C. 2＋ eq \r(3) D. eq \r(3) ＋ eq \r(2)
命题点3 一次函数与方程、不等式结合
类型一 一次函数与方程(组)的关系
17. (2022贺州)直线y＝ax＋b(a≠0)过点A(0，1), B(2，0)，则关于x的方程ax＋b＝0的解为( )
A. x＝0 B. x＝1 C. x＝2 D. x＝3
18. (2023贵阳)在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax＋b与y＝mx＋n(a＜m＜0)的图象如图所示．小星根据图象得到如下结论：
①在一次函数y＝mx＋n的图象中，y的值随着x值的增大而增大；
②方程组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y－ax＝b,y－mx＝n)) 的解为 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－3,y＝2)) ；
③方程mx＋n＝0的解为x＝2；
④当x＝0时，ax＋b＝－1.
其中结论正确的个数是( )
第18题图
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
类型二 一次函数与不等式(组)的关系
19. (2022嘉兴)已知点P(a，b)在直线y＝－3x－4上，且2a－5b≤0，则下列不等式一定成立的是( )
A. eq \f(a,b) ≤ eq \f(5,2) B. eq \f(a,b) ≥ eq \f(5,2) C. eq \f(b,a) ≥ eq \f(2,5) D. eq \f(b,a) ≤ eq \f(2,5)
20. (2022娄底)如图，直线y＝x＋b和y＝kx＋4与x轴分别相交于点A(－4，0)，点B(2，0)，则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋b＞0,kx＋4＞0)) 解集为( )
A. －4＜x＜2 B. x＜－4
C. x＞2 D. x＜－4或x＞2
第20题图
21. (2023扬州)如图，函数y＝kx＋b(k＜0)的图象经过点P，则关于x的不等式kx＋b＞3的解集为________．
第21题图
22. (新趋势)·条件开放性问题 (2023济宁)已知直线y1＝x－1与y2＝kx＋b相交于点(2，1).请写出一个b值________(写出一个即可)，使x＞2时，y1＞y2.
命题点4 一次函数与几何图形结合
23. (2022呼和浩特)在平面直角坐标系中，点A(3，0)，B(0，4).以AB为一边在第一象限作正方形ABCD，则对角线BD所在直线的解析式为( )
A. y＝－ eq \f(1,7) x＋4 B. y＝－ eq \f(1,4) x＋4
C. y＝－ eq \f(1,2) x＋4 D. y＝4
24. (挑战题) (2023泸州)如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点B的坐标为(10，4)，四边形ABEF是菱形，且tan ∠ABE＝ eq \f(4,3) .若直线l把矩形OABC和菱形ABEF组成的图形的面积分成相等的两部分，则直线l的解析式为( )
第24题图
A. y＝3x
B. y＝－ eq \f(3,4) x＋ eq \f(15,2)
C. y＝－2x＋11
D. y＝－2x＋12
命题点5 一次函数的实际应用
类型一 行程问题
25. (2023天津)在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境．
第25题图
已知学生公寓、阅览室、超市依次在同一条直线上，阅览室离学生公寓1.2 km，超市离学生公寓2 km.小琪从学生公寓出发，匀速步行了12 min到阅览室；在阅览室停留70 min后，匀速步行了10 min到超市；在超市停留20 min后，匀速骑行了8 min返回学生公寓．给出的图象反映了这个过程中小琪离学生公寓的距离y km与离开学生公寓的时间x min之间的对应关系．
请根据相关信息，解答下列问题：
(Ⅰ)填表：
(Ⅱ)填空：
①阅览室到超市的距离为________km；
②小琪从超市返回学生公寓的速度为________km/min;
③当小琪离学生公寓的距离为1 km时，他离开学生公寓的时间为________min；
(Ⅲ)当0≤x≤92时，请直接写出y关于x的函数解析式．
源自人教八下P76例2
26. (2023成都)随着“公园城市”建设的不断推进，成都绕城绿道化身成为这座城市的一个超大型“体育场”，绿道骑行成为市民的一种低碳生活新风尚．甲、乙两人相约同时从绿道某地出发同向骑行，甲骑行的速度是18 km/h，乙骑行的路程s(km)与骑行的时间t(h)之间的关系如图所示．
(1)直接写出当0≤t≤0.2和t＞0.2时，s与t之间的函数表达式；
(2)何时乙骑行在甲的前面？
第26题图
类型二 方案问题
考向1 方案设计问题
28. (2023德阳)习近平总书记对实施乡村振兴战略作出重要指示强调：实施乡村振兴战略，是党的十九大作出的重大决策部署，是新时代做好“三农”工作的总抓手．为了发展特色产业，红旗村花费4000元集中采购了 A种树苗500株，B种树苗400株，已知 B种树苗单价是 A种树苗单价的1.25倍．
(1)求 A、B两种树苗的单价分别是多少元？
(2)红旗村决定再购买同样的树苗 100株用于补充栽种，其中 A种树苗不多于25株，在单价不变，总费用不超过480元的情况下，共有几种购买方案？哪种方案费用最低？最低费用是多少元？
考向2 方案选取问题
30. (2023宿迁)某单位准备购买文化用品，现有甲、乙两家超市进行促销活动．该文化用品两家超市的标价均为10元/件，甲超市一次性购买金额不超过400元的不优惠，超过400元的部分按标价的6折售卖；乙超市全部按标价的8折售卖．
(1)若该单位需要购买30件这种文化用品，则在甲超市的购物金额为________元，在乙超市的购物金额为________元；
(2)假如你是该单位的采购员，你认为选择哪家超市支付的费用较少？
31. (2022云南)某鲜花销售公司每月付给销售人员的工资有两种方案．
方案一：没有底薪，只付销售提成；
方案二：底薪加销售提成．
下图中的射线l1，射线l2分别表示该鲜花销售公司每月按方案一， 方案二付给销售人员的工资y1(单位：元)和y2(单位：元)与其当月鲜花销售量x(单位：千克)(x≥0)的函数关系．
(1)分别求y1、y2与x的函数解析式(解析式也称表达式)；
(2)若该公司某销售人员今年3月份的鲜花销售量没有超过70千克，但其3月份的工资超过2000元．这个公司采用了哪种方案给这名销售人员付3月份的工资？
第31题图
32. (新趋势)·真实问题情境 (2022呼和浩特)下面图片是七年级教科书中“实际问题与一元一次方程”的探究3.
考虑下列问题：
(1)设一个月内用移动电话主叫为t min(t是正整数).根据上表，列表说明：当t在不同时间范围内取值时，按方式一和方式二如何计费；
(2)观察你的列表．你能从中发现如何根据主叫时间选择省钱的计费方式吗？通过计算验证你的看法．
小明升入初三再看这个问题，发现两种计费方式，每一种都是因主叫时间的变化而引起计费的变化，他把主叫时间视为在正实数范围内变化，决定用函数来解决这个问题．
(1)根据函数的概念，小明首先将问题中的两个变量分别设为自变量x和自变量的函数y，请你帮小明写出：
x表示问题中的________，y表示问题中的________．并写出计费方式一和二分别对应的函数解析式；
(2)在给出的正方形网格纸上画出(1)中两个函数的大致图象，并依据图象直接写出如何根据主叫时间选择省钱的计费方式．(注：坐标轴单位长度可根据需要自己确定)
第32题图
类型三 费用或利润最值问题
33. (2023河南)近日，教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准(2023年版)，将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来．某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动. 据了解，市场上每捆A种菜苗的价格是菜苗基地的 eq \f(5,4) 倍，用300元在市场上购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少3捆．
(1)求菜苗基地每捆A种菜苗的价格；
(2)菜苗基地每捆B种菜苗的价格是30元. 学校决定在菜苗基地购买A，B两种菜苗共100捆，且A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数. 菜苗基地为支持该校活动，对A，B两种菜苗均提供九折优惠. 求本次购买最少花费多少钱．
34. (2023苏州)某水果店经销甲、乙两种水果，两次购进水果的情况如下表所示：
(1)求甲、乙两种水果的进价；
(2)销售完前两次购进的水果后，该水果店决定回馈顾客，开展促销活动．第三次购进甲、乙两种水果共200千克，且投入的资金不超过3360元．将其中的m千克甲种水果和3m千克乙种水果按进价销售，剩余的甲种水果以每千克17元，乙种水果以每千克30元的价格销售．若第三次购进的200千克水果全部售出后，获得的最大利润不低于800元，求正整数m的最大值．
35. (2023怀化)去年防汛期间，某部门从超市购买了一批数量相等的雨衣(单位：件)和雨鞋(单位：双)，其中购买雨衣用了400元，购买雨鞋用了350元，已知每件雨衣比每双雨鞋贵5元．
(1)求每件雨衣和每双雨鞋各多少元？
(2)为支持今年防汛工作，该超市今年的雨衣和雨鞋单价在去年的基础上均下降了20%，并按套(即一件雨衣和一双雨鞋为一套)优惠销售．优惠方案为：若一次购买不超过5套，则每套打九折；若一次购买超过5套，则前5套打九折，超过部分每套打八折．设今年该部门购买了a套，购买费用为W元，请写出W关于a的函数关系式；
(3)在(2)的情况下，今年该部门购买费用不超过320元时最多可购买多少套？
其他类型
36. (2023绍兴)一个深为6米的水池积存着少量水，现在打开水阀进水，下表记录了2小时内5个时刻的水位高度，其中x表示进水用时(单位：小时)，y表示水位高度(单位：米).
为了描述水池水位高度与进水用时的关系，现有以下三种函数模型供选择：y＝kx＋b(k≠0)，y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，y＝ eq \f(k,x) (k≠0).
(1)在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，再选出最符合实际的函数模型，求出相应的函数表达式，并画出这个函数的图象；
(2)当水位高度达到5米时，求进水用时x.
第36题图
37. (2022衡阳)如图是一种单肩包，其背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．小文购买时，售货员演示通过调节扣加长或缩短单层部分的长度(单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占的长度忽略不计)加长或缩短，设双层部分的长度为x cm，单层部分的长度为y cm.经测量，得到下表中数据．
(1)根据表中数据规律，求出y与x的函数关系式；
(2)按小文的身高和习惯，背带的长度调为130 cm时为最佳背带长．请计算此时双层部分的长度；
(3)设背带的长度为L cm，求L的取值范围．
第37题图
参考答案与解析
1. D 【解析】令x＝1，分别代入一次函数y1＝ax＋a2与y2＝a2x＋a中，得y1＝y2，故A和C选项错误；令y1＝y2＝0，可得x1＝－a，x2＝－ eq \f(1,a) ，即两函数图象与x轴交点应同时在x轴正半轴或负半轴，故B选项错误，故选D.
2. B
3. 2(答案不唯一) 【解析】∵一次函数y＝x＋b的图象经过第一、二、三象限，∴直线y＝x＋b与y轴正半轴相交于点(0，b)，∴b>0，b的值可以是2(答案不唯一).
4. B 【解析】∵y随x的增大而增大，∴－5a＞0，∴a＜0.∵ab＞0，∴b＜0，∴点A(a，b)位于第三象限．
5. A 【解析】∵y＝kx＋b中，k eq \f(\r(7),2) ，∴m2000时，有30x>2000，
解得x>66 eq \f(2,3) .
∵66 eq \f(2,3) 2000时，有10x＋800>2000，解得x>120，
∵120>70，
∴方案二不符合题意，舍去．
答：这个公司采用了方案一给这名销售人员付3月份的工资．
32. 解：(1)主叫时间，计费．
方式一：y＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(58，0＜x≤150，,0.25x＋20.5，x＞150，))
方式二：y＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(88，0＜x≤350，,0.19x＋21.5，x＞350；))
(2)大致图象如解图，
第32题解图
由解图可知，当主叫时间在270分钟以内选方式一，270分钟时两种方式相同，超过270分钟选方式二．
33. 解：(1)设菜苗基地每捆A种菜苗的价格为x元，则市场上每捆A种菜苗价格为 eq \f(5,4) x元．
根据题意，得 eq \f(300,x) － eq \f(300,\f(5,4)x) ＝3.
解得x＝20.
经检验，x＝20是分式方程的解，且符合题意．
答：菜苗基地每捆A种菜苗的价格为20元；
(2)设购买A种菜苗a捆，则购买B种菜苗(100－a)捆，根据题意，得
a≤100－a.解得a≤50.
设本次购买花费w元，则w＝20a×0.9＋30(100－a)×0.9＝－9a＋2700.
∵－9＜0，∴w随a的增大而减小．
∴当a＝50时，w有最小值，w最小＝－450＋2700＝2250.
答：本次购买最少花费2250元．
34. 解：(1)设甲种水果的进价为每千克a元，乙种水果的进价为每千克b元，
根据题意，得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(60a＋40b＝1520，,30a＋50b＝1360.))
解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝12，,b＝20.))
答：甲种水果的进价为每千克12元，乙种水果的进价为每千克20元；
(2)设水果店第三次购进x千克甲种水果，则购进(200－x)千克乙种水果，
根据题意，得12x＋20(200－x)≤3360.
解得x≥80.
设获得的利润为w元，根据题意，得
w＝(17－12)×(x－m)＋(30－20)×(200－x－3m)＝－5x－35m＋2000.
∵－5＜0，
∴w随x的增大而减小．
∴当x＝80时，w的最大值为－35m＋1600.
根据题意，得－35m＋1600≥800.
解得m≤ eq \f(160,7) .
∴正整数m的最大值为22.
35. 解：(1)设每双雨鞋x元，则每件雨衣(x＋5)元，根据题意得，
eq \f(400,x＋5) ＝ eq \f(350,x) ，
解得x＝35，
经检验，x＝35是分式方程的解，且符合实际，
∴x＋5＝35＋5＝40，
答：每件雨衣40元，每双雨鞋35元；
(2)根据题意得，当05时，W＝(40＋35)×(1－20%)×90%×5＋(40＋35)×(1－20%)×80%(a－5)＝48a＋30；
故W关于a的函数关系式为W＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(54a（05）)) ；
(3)∵54×5＝270