中考数学全面突破：第十二讲　锐角三角函数及其实际应用 含解析答案

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第十二讲　锐角三角函数及其实际应用
命题点分类集训
命题点1　特殊角的三角函数值
【命题规律】1.考查内容：主要考查 30°，45°，60°角的正弦，余弦，正切值的识记、正余弦的转换及由三角函数值求出角度. 2.考查形式：①三类特殊角的三角函数值识记；②与非负性结合，通过三角函数值求角度；③正弦余弦、正切余切之间的相互转化，判断关系式是否成立；④在实数运算中涉及三类特殊角的三角函数值运算(具体试题见实数的运算部分)．
【命题预测】特殊角的三角函数值作为识记内容在实数运算中考查的可能性比较大，而单独考查也会出现．
1. sin60°的值等于(　　)
A. 　　　　　B. 　　　　　C. 　　　　　D.
1. C
2. 下列式子错误的是(　　)
A. cos40°＝sin50° B. tan15°·tan75°＝1
C. sin225°＋cos225°＝1 D. sin60°＝2sin30°
2. D　【解析】逐项分析如下：
选项
逐项分析
正误
A
cos40°＝sin(90°－40°)＝sin50°
√
B
tan15°·tan75°＝×tan75°＝1
√
C
sin2A＋cos2A＝1
√
D
∵sin60°＝，2sin30°＝2×＝1，∴sin60°≠2sin30°
×
3. 已知α，β均为锐角，且满足|sinα－|＋＝0，则α＋β＝________．
3. 75°　【解析】由于绝对值和算术平方根都是非负数，而这两个数的和又为零，于是它们都为零．根据题意，得|sinα－|＝0，＝0，则sinα ＝，tanβ ＝1，又因为α、β均为锐角，则α＝30°，β＝45°，所以α＋β＝30°＋45°＝75°.
命题点2　直角三角形的边角关系
【命题规律】1.考查内容：在直角三角形中，三边与两个锐角之间关系的互化.2.考查形式：已知一边及某锐角的三角函数值，求其他量，或结合直角坐标系求锐角三角函数值．
【命题预测】直角三角形的边角关系是解直角三角形实际应用问题的基础，值得关注．
4. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(4，3)，那么cosα的值是(　　)
A. B. C. D.

4. D　【解析】如解图，过点A作AB⊥x 轴于点B，∵A(4，3)，∴OB＝4，AB＝3，∴OA＝＝5，∴cosα＝＝.
5. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，AC＝6 cm.则BC的长度为(　　)
A. 6 cm B. 7 cm C. 8 cm D. 9 cm
5. C　【解析】∵sinA＝＝，∴设BC＝4a，则AB＝5a，AC＝＝3a，∴3a＝6，即a＝2，故BC＝4a＝8 cm.
6. 已知：如图，在锐角△ABC中，AB＝c，BC＝a，AC＝b，AD⊥BC于D.
在Rt△ABD中，sin∠B＝，则AD＝csin∠B；
在Rt△ACD中，sin∠C＝________，则AD＝________．
所以csin∠B＝bsin∠C，即＝，
进一步即得正弦定理：
＝＝.(此定理适合任意锐角三角形)
参照利用正弦定理解答下题：
在△ABC中，∠B＝75°，∠C＝45°，BC＝2，求AB的长．
　　　　
6. 解：∵sinC＝＝，
∴AD＝bsinC，
由正弦定理得：＝，
∵∠B＝75°， ∠C＝45°，
∴∠A＝60°，
∴＝，
∴AB＝2×÷＝.




命题点3　锐角三角函数的实际应用
【命题规律】1.考查内容：主要考查利用几何建模思想，将实际问题抽象为几何中的直角三角形的有关问题，并根据直角三角形的边角关系解决实际问题.2.考查形式：①仰角、俯角问题；②方位角问题；③坡度、坡角问题；④测量问题等．
【命题预测】锐角三角函数的实际应用是将实际问题转化为几何问题并加以解决的数学建模题型，是全国命题的趋势．
7. 小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等，小明将PB拉到PB′的位置，测得∠PB′C＝α(B′C为水平线)，测角仪B′D的高度为1米，则旗杆PA的高度为(　　)
A. B. C. D.
7. A　【解析】在Rt△PCB′中，sinα＝，∴PC＝PB′·sinα，又∵B′D＝AC＝1，则PB′·sinα＋1＝PA，而PB′＝PA，∴PA＝.
8. 如图①是小志同学书桌上的一个电子相框，将其侧面抽象为如图②所示的几何图形，已知BC＝BD＝15 cm，∠CBD＝40°，则点B到CD的距离为________cm(参考数据：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，sin40°≈0.643，cos40°≈0.766.结果精确到0.1 cm，可用科学计算器)．

8. 14.1　【解析】如解图 ，过点B作BE⊥CD于点E，∵BC＝BD＝15 cm，∠CBD＝40°，∴∠CBE＝20°，在Rt△CBE中，BE＝BC·cos∠CBE≈15×0.940＝14.1(cm)．





第8题图 第9题图 第10题图
9. 如图，一艘渔船位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔18海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东55°方向上的B处，此时渔船与灯塔P的距离约为________海里．(结果取整数．参考数据：sin55°≈0.8，cos55°≈0.6，tan55°≈1.4)
9. 11　【解析】∵∠A＝30°，∴PM＝PA＝9海里．∵∠B＝55°， sinB＝，∴0.8＝，∴PB≈11海里．
10. 如图，在一次数学课外实践活动中，小聪在距离旗杆10 m的A处测得旗杆顶端B的仰角为60°，测角仪高AD为1 m，则旗杆高BC为__________m．(结果保留根号)

10. 10＋1　【解析】如解图，过点A作AE⊥BC，垂足为点E，则AE＝CD＝10 m，在Rt△AEB中，BE＝AE·tan60°＝10×＝10 m，∴BC＝BE＋EC＝BE＋AD＝(10＋1)m.
11. 如图，大楼AB右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°，测得大楼顶端A的仰角为45°(点B、C、E在同一水平直线上)，已知AB＝80 m，DE＝10 m，求障碍物B、C两点间的距离．(结果精确到0.1 m，参考数据：≈1.414，≈1.732)

11. 解：如解图，过点D作DF⊥AB，垂足为点F，则四边形FBED为矩形，
∴FD＝BE，BF＝DE＝10，FD∥BE，

由题意得：∠FDC＝30°，∠ADF＝45°，∵FD∥BE，
∴∠DCE＝∠FDC＝30°，
在Rt△DEC中，∠DEC＝90°，DE＝10，∠DCE＝30°，
∵tan∠DCE＝，
∴CE＝＝10，
在Rt△AFD中，∠AFD＝90°，∠ADF＝∠FAD＝45°，
∴FD＝AF，
又∵AB＝80，BF＝10，
∴FD＝AF＝AB－BF＝80－10＝70，
∴BC＝BE－CE＝FD－CE＝70－10≈52.7(m)．
答：障碍物B、C两点间的距离约为52.7 m．


12.某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC的坡度为1∶1，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面AC的坡度为1∶.
(1)求新坡面的坡角α；
(2)天桥底部的正前方8米处(PB的长)的文化墙PM是否需要拆除？请说明理由．




12. 解：(1)∵新坡面AC的坡度为1∶，
∴tanα＝＝，
∴α＝30°.
答：新坡面的坡角α的度数为30°.
(2)原天桥底部正前方8米处的文化墙PM不需要拆除．
理由如下：
如解图所示，过点C作CD⊥AB，垂足为点D，
∵坡面BC的坡度为1∶1，
∴BD＝CD＝6米，

∵新坡面AC的坡度为1∶，
∴CD∶AD＝1∶，
∴AD＝6米，
∴AB＝AD－BD＝(6－6)米＜8米，故正前方的文化墙PM不需拆除．
答：原天桥底部正前方8米处的文化墙PM不需要拆除．


13.如图，某无人机于空中A处探测到目标B，D，从无人机A上看目标B，D的俯角分别为30°，60°，此时无人机的飞行高度AC为 60 m，随后无人机从A处继续水平飞行30 m到达A′处．
(1)求A，B之间的距离；
(2)求从无人机A′上看目标D的俯角的正切值．

13. 解：(1)如解图，过点D作DE⊥AA′于点E，由题意得，

AA′∥BC，
∴∠B＝∠FAB＝30°，
又∵AC＝60 m，
在Rt△ABC中，sinB＝，即＝，
∴AB＝120 m.
答：A，B之间的距离为120 m．
(2)如解图，连接A′D，作A′E⊥BC交BC延长线于E，
∵AA′∥BC，∠ACB＝90°，
∴∠A′AC＝90°，
∴四边形AA′EC为矩形，
∴A′E＝AC＝60 m，
又∵∠ADC＝∠FAD＝60°，
在Rt△ADC中，
tan∠ADC＝，即＝，
∴CD＝20 m，
∴DE＝DC＋CE＝AA′＋DC＝30＋20＝50 m，
∴tan∠AA′D＝tan∠A′DE＝＝＝，
答：从无人机A′上看目标D的俯角的正切值为.













中考冲刺集训
一、选择题
1.一个公共房门前的台阶高出地面1.2米，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图所示，则下列关系或说法正确的是(　　)
A. 斜坡AB的坡度是10° 　　　　　B. 斜坡AB的坡度是tan10°
C. AC＝1.2tan10° 米 D. AB＝ 米


第1题图 第2题图 第3题图
2.如图，以O为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A，B两点，P是上一点(不与A，B重合)，连接OP，设∠POB＝α，则点P的坐标是(　　)
A. (sinα，sinα) B. (cosα，cosα) C. (cosα，sinα) D. (sinα，cosα)
3.一座楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，BA与CA的夹角为θ.现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA＝4米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要(　　)
A. 米2 B. 米2 C. (4＋) 米2 D. (4＋4tanθ) 米2
4.如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A，B，P，Q四点均在正方形网格的格点上，线段AB，PQ相交于点M，则图中∠QMB的正切值是(　　)
A. 　　　　　　B. 1　　　　　　C. 　　　　　　D. 2



第4题图 第5题图 第6题图
5.如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED，从办公大楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α是45°，旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC是20米，梯坎坡长BC是12米，梯坎坡度i＝1∶，则大楼AB的高度约为(精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45)(　　)
A. 30.6 B. 32.1 C. 37.9 D. 39.4
6. 如图，钓鱼竿AC长6 m，露在水面上的鱼线BC长3 m，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC转到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B′C′为3 m，则鱼竿转过的角度是(　　)
A. 60° B. 45° C. 15° D. 90°
二、填空题
7. 如图，点A(3，t)在第一象限，射线OA与x轴所夹的锐角为α，tanα＝，则t的值是________．


第7题图 第8题图 第9题图
8. 如图是矗立在高速公路边水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM＝4米，AB＝8米，∠MAD＝45°，∠MBC＝30°，则警示牌的高CD为______米．(结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73)
9. 如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为30°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为90米，那么该建筑物的高度BC约为________米．(精确到1米，参考数据：≈1.73)
三、解答题
10. 如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆CD的高度，先在教学楼的底端A点处，观测到旗杆顶端C的仰角∠CAD＝60°，然后爬到教学楼上的B处，观测到旗杆底端D的俯角是30°. 已知教学楼AB高4米．
(1)求教学楼与旗杆的水平距离AD；(结果保留根号)
(2)求旗杆CD的高度．













11. 图为放置在水平桌面上的台灯的平面示意图，灯臂AO长为40 cm，与水平面所形成的夹角∠OAM为75°，由光源O射出的边缘光线OC，OB与水平面所形成的夹角∠OCA，∠OBA分别为90°和30°，求该台灯照亮水平面的宽度BC(不考虑其他因素，结果精确到0.1 cm.温馨提示：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，≈1.73)．









12. 阅读材料：关于三角函数还有如下的公式：
sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ　　　tan(α±β)＝
利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，
例如：tan75°＝tan(45°＋30°)＝＝＝2＋
根据以上阅读材料，请选择适当的公式计算下列问题：
(1)计算sin15°；
(2)某校在开展爱国主义教育活动中，来到烈士纪念碑前缅怀和纪念为国捐躯的红军战士．李三同学想用所学知识来测量如图纪念碑的高度，已知李三站在离纪念碑底7米的C处，在D点测得纪念碑碑顶的仰角为75°，DC为 米，请你帮助李三求出纪念碑的高度．






答案与解析：

1. B

第2题解图
2. C　【解析】如解图，过点P作PC⊥OB于点C，则在Rt△OPC中，OC＝OP·cos∠POB＝1×cosα＝cosα，PC＝OP·sin∠POB＝1×sinα＝sinα，即点P的坐标为(cosα，sinα)．
3. D　【解析】在Rt△ABC中，∠BAC＝θ，CA＝4米，∴BC＝CA·tanθ＝4tanθ.地毯长为(4＋4tanθ)米，宽为1米，其面积为(4＋4tanθ)×1＝(4＋4tanθ)米2.
4. D　【解析】如解图，将AB平移到PE位置，连接QE, 则PQ＝2，PE＝2，QE＝4，∵△PEQ中，PE2＋QE2＝PQ2，则∠PEQ＝90°，∴tan∠QMB ＝tan∠P＝＝2.
第4题解图
　　　　第5题解图
5. D　【解析】如解图，设AB与DC的延长线交于点G，过点E作EF⊥AB于点F，过点B作BH⊥ED于点H，则可得四边形GDEF为矩形．在Rt△BCG中，∵BC＝12，iBC＝＝，∴∠BCG＝30°，∴BG＝6，CG＝6，∴BF＝FG－BG＝DE－BG＝15－6＝9，∵∠AEF＝α＝45°，∴AF＝EF＝DG＝CG＋CD＝6＋20，∴AB＝BF＋AF＝9＋20＋6≈39.4(米)．
6. C　【解析】∵sin∠CAB＝＝＝，∴∠CAB′＝45°，∵sin∠C′AB′＝＝＝，∴∠C′AB′＝60°，∴∠CAC′＝60°－45°＝15°，即鱼竿转过的角度是15°.

第7题解图
7. 　【解析】如解图，过点A作AB⊥x轴于点B.∵点A(3，t)在第一象限，∴OB＝3，AB＝t，在Rt△ABO中，tanα＝＝＝，解得t＝.
8. 2.9　【解析】在Rt△AMD中，DM＝tan∠DAM×AM＝tan45°×4＝4米，在Rt△BMC中，CM＝tan∠MBC×BM＝tan30°×12＝4 米，故CD＝CM－DM＝4－4≈2.9米．
9. 208　【解析】在Rt△ABD中，BD＝AD·tan∠BAD＝90×tan30°＝30，在Rt△ACD中，CD＝AD·tan∠CAD＝90×tan60°＝90，BC＝BD＋CD＝30＋90＝120≈208(米)．
10. 解：(1)∵在教学楼B点处观测旗杆底端D处的俯角是30°，
∴∠ADB＝30°，
在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，∠ADB＝30°，AB＝4(米)，
∴AD＝＝＝4(米)．
答：教学楼与旗杆的水平距离是4 米．
(也可先求∠ABD＝60°，利用tan60°去计算得到结论)
(2)∵在Rt△ACD中，∠ADC＝90°，∠CAD＝60°，AD＝4 米，
∴CD＝AD·tan60°＝4×＝12(米)．
答：旗杆CD的高度是12米．
11. 解：∵tan∠OBC＝tan30°＝＝，
∴OC＝BC，
∵sin∠OAC＝sin75°＝≈0.97，
∴≈0.97，
∴BC≈67.1(cm)．
12. 解：(1)sin15°＝sin(45°－30°)
＝sin45°cos30°－cos45°sin30°
＝×－×
＝.
(2)在Rt△BDE中，
∠BDE＝75°，DE＝CA＝7，
tan∠BDE＝，即tan75°＝＝2＋，
∴ BE＝14＋7，
又∵AE＝DC＝，
∴AB＝BE＋AE＝14＋7＋＝14＋8(米)，
答：纪念碑的高度是(14＋8)米．