人教A版 (2019)必修 第一册5.1 任意角和弧度制导学案

2021-2022（上） 全品学练考 高中数学 必修第一册 RJA（新教材）

5.1.2　弧度制

【课前预习】

知识点一

1.度

2.半径长　rad　弧度　1弧度

3.　

4.正数　负数　0　

5.实数集R　一一对应　实数　弧度数　角　弧度数

诊断分析

(1)√　(2)×　(3)×　(4)√　(5)×

知识点二

1.2π　360°　π　180°

2.60°　180°　0　　　　　　2π

诊断分析

(1)50°　(2)

知识点三

|α|·r　lr　|α|r2

诊断分析

解:(1)设R是扇形所在圆的半径,扇形的圆心角为n°.弧长公式:由公式|α|=及0<α<2π可得l=α·R;扇形面积公式:S=|α|R2,

因为α=,l=,所以S==··R2=αR2.

(2)扇形的面积公式与三角形的面积公式类似.实际上,扇形可看作是一曲边三角形,弧是底,半径是底上的高.

【课中探究】

探究点一

例1　(1)ABC　(2)D　[解析] (1)无论是用角度制还是用弧度制度量角,角的大小均与圆的半径的大小无关,而是与弧长和半径的比值有关,故D错误.

(2)1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小.

探究点二

例2　(1)①-　②　③　④

(2)①30°　②-300°　③81°　④-75°

例3　解:(1)=4π+,∵0≤<2π,∴=2×2π+.

-315°=-315×=-=-2π+,∵0≤<2π,∴-315°=-2π+.

(2)∵330°=360°-30°=2π-,60°=,

∴满足条件的角θ的集合为θ2kπ-<θ<2kπ+,k∈Z.

变式　解:(1)∵180°=π,∴-570°=-=-,

∴α1=-=-2×2π+,同理得α2=750°===2×2π+,

∴α1的终边在第二象限,α2的终边在第一象限.

(2)β1==×180°=108°,

设与β1有相同终边的角为θ,θ=k·360°+β1(k∈Z),

由-720°≤θ<0°,得-720°≤k·360°+108°<0°(k∈Z),

∴k=-2或k=-1,∴在[-720°,0°)上与β1有相同终边的角是-612°和-252°.β2=-=-60°,

设与β2有相同终边的角为φ,φ=k·360°+β2(k∈Z),

由-720°≤φ<0°,得-720°≤k·360°-60°<0°(k∈Z),∴k=-1,

∴在[-720°,0°)上与β2有相同终边的角是-420°.

探究点三

例4　(1)C　(2)2　2　[解析] (1)连接圆心与弦的中点,弦心距、弦长的一半、半径可构成一个直角三角形,半弦长为1,其所对的圆心角也为1,故半径为,所以这个圆心角所对的弧长为2×=,故选C.

(2)设的长为l,|OA|=r,则l=4-2r.∵S扇形=lr,∴(4-2r)r=1,得r=1,∴l=2.设∠AOB的弧度数为α(0<α<2π),则α===2 rad.

例5　(1)2-　(2)270π cm2　[解析] (1)设AB=1,∠EAD=α(0<α<2π),∵S扇形ADE=S阴影BCD,由题意可得×12×α=12-,∴α=2-.

(2)设扇形的弧长为l.∵108°=108×=π,∴l=π×30=18π(cm),故扇形的面积为×18π×30=270π(cm2).

变式　解:(1)∵α=120°,∴α=,

又∵弧长l=αr,面积S=αr2,且r=6,

∴l=αr=×6=4π,S=αr2=××36=12π.

(2)设扇形OAB所在圆的半径为R,且该扇形的面积为S,弧长为l,

则S=lR=(8-2R)R=-(R-2)2+4(0<R<4),所以当R=2时,S取得最大值4.

此时,的长l=8-2×2=4,圆心角为2.

又0<2<π,所以弦AB的长为2R·sin 1=4sin 1.

【课堂评价】

1.C　[解析]  -=-×°=-288°.

2.D　[解析] 因为1°= rad,所以1920°=1920× rad=π rad.

3.C　[解析] α=-2 rad≈-2×57.30°=-114.6°,故角α的终边在第三象限,故选C.

4.A　[解析] 根据弧长公式,得弧长l=×8=(cm).

5.-π　[解析] 分针在1点到3点20分这段时间里,顺时针转过了周,转过的弧度为-×2π=-π.