2020-2021学年5.1 任意角和弧度制学案及答案

5.1.2   弧度制

学习目标

知识梳理

1．度量角的两种制度

2．弧度数的计算与互化

(1)弧度数的计算

(2)弧度与角度的互化

3．弧度制下扇形的弧长与面积公式(r是扇形所在圆的半径，n为扇形的圆心角)

名师导学

知识点1    角度制与弧度制互化

【例】将下列角度与弧度进行互化：

(1)π；(2)－；(3)10°；(4)－855°.

反思感悟　

角度制与弧度制的互化原则和方法

(1)原则：牢记180°＝π rad，充分利用1°＝ rad和1 rad＝°进行换算；

(2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n°，则α rad＝°；n°＝n· rad.

变式训练

1．把下列弧度化为角度：

(1)＝________；

(2)－＝________．

2．把下列角度化为弧度：

(1)－1 500°＝________；

(2)67°30′＝________．

知识点2    用弧度制表示角的集合

【例】把下列角化成2kπ＋α(0≤α＜2π，k∈Z)的形式，指出它是第几象限角并写出与α终边相同的角的集合．

(1)－；(2)－1 485°.

反思感悟　

在弧度制下，与角α的终边相同的角可以表示为{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}，即与角α终边相同的角可以表示成α加上2π的整数倍．

变式训练

1．若＝2kπ＋(k∈Z)，则的终边在(　　)

A．第一象限　　　　　　　 B．第四象限

C．x轴上  D．y轴上

2．若角α的终边落在如图所示的阴影部分内，则角α的取值范围是(　　)

A.

B.

C.

D.(k∈Z)

知识点3    弧长及扇形面积

【例】(1)已知扇形的圆心角为120°，半径为 cm，则此扇形的面积为________ cm2.

(2)已知扇形的周长为10 cm，面积为4 cm2，求扇形圆心角的弧度数．

反思感悟　

关于弧度制下扇形问题的解决方法

(1)三个公式：|α|＝，S＝lr＝αr2，要恰当选择公式，建立未知量、已知量间的关系，通过解方程(组)求值；

(2)弧长、面积的最值：利用圆心角的弧度数、半径表示出弧长(面积)，利用函数知识求最值，一般利用二次函数的最值求解．　　　

变式训练

1．弧长为3π，圆心角为135°的扇形的半径为________，面积为________．

2．已知一扇形的周长为40 cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？

当堂测评

1.对应的角度为(　　)

A．75°　　　　　　　　　 B．125°

C．135°  D．155°

2．在半径为8 cm的圆中，的圆心角所对的弧长为(　　)

A.π cm  B.π cm

C.π cm  D.π cm

3．与角终边相同的角是(　　)

A.

B．2kπ－(k∈Z)

C．2kπ－(k∈Z)

D．(2k＋1)π＋(k∈Z)

4.用弧度制表示终边落在x轴上方的角α的集合为________．

名师导学

知识点1    角度制与弧度制互化

【例】将下列角度与弧度进行互化：

(1)π；(2)－；(3)10°；(4)－855°.

[解]　(1)π＝×180°＝15 330°.

(2)－＝－×180°＝－105°.

(3)10°＝10×＝.

(4)－855°＝－855×＝－.

反思感悟　

角度制与弧度制的互化原则和方法

(1)原则：牢记180°＝π rad，充分利用1°＝ rad和1 rad＝°进行换算；

(2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n°，则α rad＝°；n°＝n· rad.

变式训练

1．把下列弧度化为角度：

(1)＝________；

(2)－＝________．

解析：(1)＝°＝690°.

(2)－＝－°＝－390°.

答案：(1)690°　(2)－390°

2．把下列角度化为弧度：

(1)－1 500°＝________；

(2)67°30′＝________．

解析：(1)－1 500°＝－1 500×＝－π.

(2)67°30′＝67.5°＝67.5×＝.

答案：(1)－　(2)

知识点2    用弧度制表示角的集合

【例】把下列角化成2kπ＋α(0≤α＜2π，k∈Z)的形式，指出它是第几象限角并写出与α终边相同的角的集合．

(1)－；(2)－1 485°.

[解]　(1)－＝－8×2π＋，它是第二象限角，与终边相同的角的集合为.

(2)－1 485°＝－5×360°＋315°＝－10π＋，

它是第四象限角，与终边相同的角的集合为.

反思感悟　

在弧度制下，与角α的终边相同的角可以表示为{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}，即与角α终边相同的角可以表示成α加上2π的整数倍．

变式训练

1．若＝2kπ＋(k∈Z)，则的终边在(　　)

A．第一象限　　　　　　　 B．第四象限

C．x轴上  D．y轴上

解析：选D　∵＝2kπ＋(k∈Z)，∴α＝6kπ＋π(k∈Z)，

∴＝3kπ＋(k∈Z)．当k为奇数时，的终边在y轴的非正半轴上；当k为偶数时，的终边在y轴的非负半轴上．综上，的终边在y轴上，故选D.

2．若角α的终边落在如图所示的阴影部分内，则角α的取值范围是(　　)

A.

B.

C.

D.(k∈Z)

解析：选D　阴影部分的两条边界分别是和角的终边，所以α的取值范围是(k∈Z)．

知识点3    弧长及扇形面积

【例】(1)已知扇形的圆心角为120°，半径为 cm，则此扇形的面积为________ cm2.

(2)已知扇形的周长为10 cm，面积为4 cm2，求扇形圆心角的弧度数．

【解】　(1)设扇形的弧长为l，

因为120°＝120× rad＝(rad)，

所以l＝αR＝×＝(cm)．

所以S＝lR＝××＝π(cm2)．故填π.

(2)设扇形圆心角的弧度数为θ(0＜θ＜2π)，弧长为l，

半径为R，依题意有

①代入②得R2－5R＋4＝0，解得R1＝1，R2＝4.

当R＝1时，l＝8(cm)，此时，θ＝8 rad＞2π rad舍去．

当R＝4时，l＝2(cm)，此时，

θ＝＝ (rad)．

综上可知，扇形圆心角的弧度数为 rad.

反思感悟　

关于弧度制下扇形问题的解决方法

(1)三个公式：|α|＝，S＝lr＝αr2，要恰当选择公式，建立未知量、已知量间的关系，通过解方程(组)求值；

(2)弧长、面积的最值：利用圆心角的弧度数、半径表示出弧长(面积)，利用函数知识求最值，一般利用二次函数的最值求解．　　　

变式训练

1．弧长为3π，圆心角为135°的扇形的半径为________，面积为________．

解析：因为135°＝＝，所以扇形的半径为＝4，面积为×3π×4＝6π.

答案：4　6π

2．已知一扇形的周长为40 cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？

解：设扇形的圆心角为θ，半径为r，弧长为l，面积为S，

则l＋2r＝40，所以l＝40－2r，

所以S＝lr＝×(40－2r)r＝－(r－10)2＋100.

所以当半径r＝10 cm时，扇形的面积最大，最大值为100 cm2，这时θ＝＝＝2 rad.

当堂测评

1.对应的角度为(　　)

A．75°　　　　　　　　　 B．125°

C．135°  D．155°

解析：选C　由于1 rad＝°，

所以＝π×°＝135°，故选C.

2．在半径为8 cm的圆中，的圆心角所对的弧长为(　　)

A.π cm  B.π cm

C.π cm  D.π cm

解析：选A　根据弧长公式，得l＝×8＝(cm)．

3．与角终边相同的角是(　　)

A.

B．2kπ－(k∈Z)

C．2kπ－(k∈Z)

D．(2k＋1)π＋(k∈Z)

解析：选B　A错误，＝2π＋，与角的终边不同；B正确，2kπ－，k∈Z，当k＝2时，得[0，2π)上的角为，与角有相同的终边；C错误，2kπ－，k∈Z，当k＝1时，得[0，2π)上的角为，与角的终边不同；D错误，(2k＋1)π＋，k∈Z，当k＝0时，得[0，2π)上的角为，与角的终边不同．

4.用弧度制表示终边落在x轴上方的角α的集合为________．

解析：若角α的终边落在x轴上方，则2kπ<α<2kπ＋π(k∈Z)．

答案：{α|2kπ<α<2kπ＋π，k∈Z