2023届高考数学二轮复习专题六立体几何第三讲利用空间向量证明平行与垂直关系作业含答案1

这是一份2023届高考数学二轮复习专题六立体几何第三讲利用空间向量证明平行与垂直关系作业含答案1，共10页。试卷主要包含了如图，在直三棱柱中，，，，等内容，欢迎下载使用。
专题六 立体几何 第三讲利用空间向量证明平行与垂直关系习题11.如图，某圆锥SO的轴截面SAC是等边三角形，点B是底面圆周上的一点，且，点M是SA的中点，则异面直线AB与CM所成角的余弦值是(   )A. B. C. D.2.如图，在直三棱柱中，，，，.若在线段AB上存在点D，使得平面，则点D满足(   )A. B. C. D.3.如图,点为矩形所在平面外一点,平面为线段的中点,,则点到平面的距离为(   )A. B. C. D.4.已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等,在底面上的射影为的中点,则异面直线与所成的角的余弦值为(   )A. B. C. D.5.已知直线l经过点和点，则直线l的单位方向向量为(   )A. B. C. D.（多项选择题）6.已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果，，，则下列结论正确的有(   )
A.  B.C.是平面ABCD的一个法向量 D.7.正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，下列结论正确的有(   )A.AD与BC所成的角为30°B.AC与BD所成的角为90°C.BC与面ACD所成角的正弦值为D.平面ABC与平面BCD的夹角的正切值是8.在棱长为2的正方体中，M,N分别是的中点，则直线MN与平面ABCD所成的角的余弦值为__________.9.正方形中,E是的中点,求BE与平面所成角的正弦值____.10.如图，在三棱锥中，，，O为AC的中点.（1）证明：平面ABC；（2）若点M在棱BC上，且二面角为30°，求PC与平面PAM所成角的正弦值.  答案以及解析1.答案：C解析：以过点O且垂直于平面SAC的直线为x轴，直线OC，OS分别为y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.不妨设，则根据题意可得，，，，所以，，设异面直线AB与CM所成角为，则.故选：C.2.答案：B解析：，，，，，在直三棱柱中，AC,BC,两两垂直.以C为原点，CA,CB,所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，.设点，则，设平面的一个法向量为，则即令，则.若平面，则，易得，所以①.由D在AB上，得，即②，由①②可得，，即D为AB的中点，故.3.答案：B解析：如图,以为原点,分别以所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系,则,.设平面的一个法向量为,则即令,则.点到平面的距离.4.答案：D解析：设的中点为,连接,则由题意知平面,分别以所在直线为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,设侧棱长为,则,则.所以.5.答案：D解析：由题意得，直线l的一个方向向量为，则，因此直线l的单位方向向量为，故选D.6.答案：ABC解析：，，，A对；，，，B对；，，，平面ABCD，是平面ABCD的一个法向量，C对；，设，即方程组无解，D错.故选ABC.7.答案：BD解析：取BD的中点O，连接AO，CO，正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，以O为原点，OC所在直线为x轴，OD所在直线为y轴，OA所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，，，，，，.，异面直线AD与BC所成的角为60°，故A错误；，，故B正确；设平面ACD的法向量为，则取，得，，，设BC与面ACD所成角为，则，故C错误；易知平面BCD的一个法向量为，设平面ABC的法向量为，则取，得，，，设两个平面的夹角为，则，，，平面ABC与平面BCD的夹角的正切值是，故D正确.故选BD.8.答案：解析：建立如图所示的空间直角坐标系，

则，所以，平面ABCD的一个法向量为,所以，设直线MN与平面ABCD所成的角为，则，所以.9.答案：解析：以D为原点，建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为2,则,,,所以,,.设平面的法向量为,则即令,则,所以.设直线BE与平面所成的角为，则.10.答案：(1)证明过程见解析.(2)PC与平面PAM所成角的正弦值为.解析：(1)证明：因为，O为AC的中点，所以，且.连接OB.因为，所以为等腰直角三角形，且，.由知.由，，知平面ABC.（2）如图，以O为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz.由题意得，，，，，.易得平面PAC的一个法向量为.设，则.设平面PAM的法向量为.由，，得可取，所以.由已知可得，所以，解得（舍去）或，所以.又，所以.所以PC与平面PAM所成角的正弦值为.