2023届高考数学二轮复习专题六立体几何第三讲利用空间向量证明平行与垂直关系学案

专题六 立体几何

第三讲 利用空间向量证明平行与垂直关系

（一）考点解读

（二）核心知识整合

考点1：利用向量方法证明平行与垂直

设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)．平面α，β的法向量分别为μ＝(a3，b3，c3)，v＝(a4，b4，c4)．

(1)线线平行

l∥m⇔a∥b⇔a＝kb⇔a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2．

(2)线线垂直

l⊥m⇔a⊥b⇔a·b＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0　

(3)线面平行

l∥α⇔a⊥μ⇔a·μ＝0⇔a1a3＋b1b3＋c1c3＝0．

(4)线面垂直

l⊥α⇔a∥μ⇔a＝kμ⇔a1＝ka3，b1＝kb3，c＝kc3．

(5)面面平行

α∥β⇔μ∥v⇔μ＝kv⇔a3＝ka4，b3＝kb4，c3＝kc4．

(6)面面垂直

α⊥β⇔μ⊥v⇔μ·v＝0⇔a3a4＋b3b4＋c3c4＝0.

 [典型例题]

1.已知直线l的方向向量是，平面的法向量是，则l与的位置关系是(   )

A. B. C.或 D.l与相交但不垂直

[答案]：C

[解析]　 直线的方向向量是，平面的法向量是，，，l与的位置关系为或.故选C.

2.已知平面内两向量,若为平面的法向量且，则的值分别为(   )

A. B. C.1，2 D.

[答案]：A

[解析] .由为平面的法向量,得,即,解得.故选A.

『规律总结』

利用空间向量证明平行与垂直的方法与步骤

(1)坐标运算法：一般步骤：①建立空间直角坐标系，建系时，要尽可能地利用载体中的垂直关系；

②建立空间图形与空间向量之间的关系，用向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面的要素；

③通过空间向量的运算研究平行、垂直关系；

④根据运算结果解释相关问题．

(2)基向量运算法：一般步骤：①选基向量，要尽量选用三个不共面的且夹角最好为90°(其次为60°或120°)、模长或其关系已知的向理为基向量；

②将相关向量用基向量表示；

③将证明问题转化为向量的运算；

④根据运算结果得结论．

[跟踪训练]

1.已知分别为直线的方向向量，则(   )
A. ，但与不垂直
B. ，但与不垂直
C. ，但与不垂直
D. 两两互相垂直

[答案]：A

[解析]　因为，，，所以，a与c不垂直，，即，但与不垂直.故选A.

2.如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，，，M在EF上，且平面BDE，则点M的坐标为(   )

A. B. C. D.

[答案]：C

[解析] 连接OE.设点M的坐标为，因为，所以，

又，，所以，，

因为平面BDE，所以，所以

所以M点的坐标为.故选C.

考点2：向量法求线线角、线面角、面面角

1.向量法求空间角

（1）异面直线所成的角：设a，b分别为异面直线a，b的方向向量，则两异面直线所成的角满足cos θ＝．

(2) 线面角

设l是斜线l的方向向量，n是平面α的法向量，则斜线l与平面α所成的角满足sin θ＝．

(3)二面角

①如图(ⅰ)，AB，CD是二面角α－l－β的两个半平面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈，〉．

②如图(ⅱ)(ⅲ)，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cos θ＝cos〈n1，n2〉或－cos〈n1，n2〉.

(4)点到平面的距离的向量求法

如图，设AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则点B到平面α的距离d＝．

2.模、夹角和距离公式

(1) 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则|a|＝＝，cos〈a，b〉＝＝．

(2) 距离公式1

设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则||＝

[典型例题]

1.已知空间四个点,,,,则直线与平面所成的角为( )

A.  B.  C.  D.

[答案]：A

[解析]　设平面的一个法向量为，

，，

由，及，得，

令，得，，，又，

设与平面所成的角为，

则，.故A正确.

2.在直棱柱中，，，，则直线与平面所成角的正弦值为(   )

A. B. C. D.

[答案]：C

[解析] 以C为坐标原点,射线的方向为x轴的正方向,射线的方向为y轴的正方向,射线的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系.由题可知.于是.设为平面的法向量,则即令,可得.设直线与平面所成的角为α,则.

故C正确.

『规律总结』

1．利用空间向量求空间角的一般步骤

(1)建立恰当的空间直角坐标系．

(2)求出相关点的坐标，写出相关向量的坐标．

(3)结合公式进行论证、计算．

(4)转化为几何结论．

2．利用空间向量求线线角、线面角的思路

(1)异面直线所成的角θ，可以通过两直线的方向向量的夹角φ求得，即cos θ＝|cos φ|．

(2)直线与平面所成的角θ主要通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角φ求得，即sin θ＝|cos φ|．

3．利用空间向量求二面角的思路

二面角的大小可以利用分别在两个半平面内与棱垂直的直线的方向向量的夹角(或其补角)或通过二面角的两个面的法向量的夹角求得，它等于两个法向量的夹角或其补角．

4．利用空间向量求点到平面距离的方法

如图，设A为平面α内的一点，B为平面α外的一点，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离d＝．

 [跟踪训练]

1.在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为(   )

A.  B.  C.  D.

[答案]：D

[解析]  以D为坐标原点，为轴建立空间直角坐标系，则,所以,

因为，所以异面直线与所成角的余弦值为，选D.

2.如图，在四棱锥中，平面，四边形为正方形，，为的中点，则异面直线与所成的角的正弦值为（    ）

A．         B．      C．         D．

[答案]：D

[解析] 连，相交于点，连、，因为为的中点，为的中点，有，可得为异面直线与所成的角，不妨设，可得，，因为，为的中点，所以，．故选D.

考点3：利用空间向量巧解探索性问题

空间向量最适合于解决立体几何中的探索性问题，它无需进行复杂的作图、论证、推理，只需通过坐标运算进行判断．

[典型例题]

1.如图，在梯形中，，，四边形为矩形，平面平面

(1)求证：；
(2)若，，求直线与平面所成角的正弦值.

[解析]　 (1)证明：因为平面平面，平面平面，
又因为矩形，，平面，

平面，.
(2)解：取中点H，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，，，，，，，
设平面的法向量为，
则，令，则，，
即直线与平面所成角的正弦值为.
 

2.如图，且，，且，，且，，平面ABCD，.

（1）求二面角的余弦值；
（2）若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为，求线段DP的长.

[解析] 因为平面ABCD，平面ABCD，平面ABCD，
所以，，又，
故以D为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.

由且，且，且，可知，
各点坐标为，，，，
(1)易知，，设平面EBC的法向量为，
则由，可得，
故平面EBC的一个法向量为.
设平面FBC的法向量为，
则由，可得，
故平面FBC的一个法向量为
因为且显然二面角为锐角.
故二面角的余弦值为；
(2)因为点P在线段DG上，故可设点P坐标为，其中，
于是，
易知平面ADGE的一个法向量为，
因为直线BP与平面ADGE所成的角为，
所以，
解得，所以线段DP的长为.

『规律总结』

解题时，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等问题，所以为使问题的解决更简单、有效，应善于运用这一方法解题．

『提醒』

1．在建立空间直角坐标系时，要说明或证明建系的条件．

2．注意异面直线的夹角与方向向量夹角的区别：两条异面直线所成的角是锐角或直角，与它们的方向向量的夹角不一定相等．

3．要区分二面角与两法向量的夹角：求二面角时，两法向量的夹角有可能是二面角的补角，要注意从图中分析．

[跟踪训练]

1.如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，分别是，的中点，点在线段上，且.

（1）证明：无论取何值，总有；

（2）当时，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

[解析]  (1)以为坐标原点，分别以，，为轴建立空间直角坐标系，如图，

则，，，，

，

，，

，，

所以无论取何值，.

（2）时，，，.

而平面的法向量，设平面的法向量为，

则，，

设平面与平面所成锐二面角，.

所以平面与平面所成锐二面角的余弦值是.

2.如图，在四棱柱中，底面为正方形，平面,，点在上，且平面.

（1）求的值；

（2）求二面角的正弦值.

 [解析] （1）因为在四棱柱中，底面为正方形，平面，

以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

因为，故可设，其中，

则、、，

所以，，，

设平面的一个法向量为，则有，即，

取，得，

因为平面，所以，即，解得，所以，.

（2）易知平面的一个法向量为，

设二面角的大小为，而，，

则.