2023届高考数学二轮复习专题六立体几何第三讲利用空间向量证明平行与垂直关系作业含答案2

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专题六 立体几何 第三讲 利用空间向量证明平行与垂直关系习题21.如图，正方体中，异面直线AC和所成角的大小为(   )A. B. C. D.或2.如图,在四棱锥中,底面ABCD是直角梯形,,,,,平面ABCD,则二面角的大小为(   )
A.30° B.60° C.120° D.150°3.如图，在四棱锥中，侧面PAD是边长为4的正三角形，底面ABCD为正方形，侧面底面ABCD，若M为平面ABCD上的一个动点，且满足，则点M到直线AB的最大距离为(   )

A. B. C. D.4.已知正方体，则空间中到三条棱AB,,所在直线的距离相等的点有(   )
A.0个 B.2个 C.3个 D.无数个5.如图，在正三棱柱中，，，D是的中点，则AD与平面所成角的正弦值等于(   )

A. B. C. D.（多项选择题）6.已知四棱柱为正方体,则下列结论正确的是(   )A.B.C.向量与向量的夹角是120°D.正方体的体积为7.将正方形沿对角线折成直二面角,则下列结论中正确的是(   )A.   B.所成角为C.为等边三角形 D.与平面所成角为8.在空间直角坐标系中,已知平面过点,及轴上一点,如果平面与平面的夹角为45°,则_____________.9.如图，在直三棱柱中，底面是以为直角的等腰直角三角形，,D是的中点，点E在棱上，要使平面，则___________.
 10.如图，在四棱锥中，平面底面ABCD，其中底面ABCD为等腰梯形，，，，，Q为PD的中点.（1）证明：平面PAB.（2）求二面角的余弦值.


       答案以及解析1.答案：A解析：设正方体的棱长为1，，，，异面直线AC和所成角的大小为.2.答案：C解析：取BC的中点M，连接DM，由已知可得四边形ADMB为正方形，易得DM,DA,DP两两互相垂直，故以D为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系,

则，，，，，所以，，
设平面PAB的一个法向量为，
则即
令，则，所以.
设平面PBC的一个法向量为,
易得，，
所以即
令，则，所以，
所以.
易知二面角的平面角为钝角，
所以二面角的大小为120°.
故选C3.答案：B解析：以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，过D作平面ABCD的垂线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，.

设，则，.，，整理得，M为为平面ABCD上到点（1,2）的距离为的一个动点，故点M到直线AB的最大距离为.故选B.4.答案：D解析：以D为原点，,,的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，设该正方体的棱长为1，连接，并在上任取一点P，易得，所以设，其中.作平面，垂足为E，作，垂足为F，则是点P到直线的距离，易知，所以,所以；同理，点P到直线AB,的距离也是.所以上任意一点到正方体的三条棱AB,，所在直线的距离都相等，所以空间中到正方体的三条棱AB,，，所在直线的距离相等的点有无数个.故选D.
 5.答案：B解析：以C为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，
所以，，.
设平面的一个法向量为，
则
取，得.
设AD与平面所成的角为，
则，
所以AD与平面所成角的正弦值为.故选B.6.答案：ABC解析：不妨设正方体的棱长为1,以为一组正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系,则.因为,所以,,故A正确.因为,所以,故B正确.因为,所以,所以,所以向量与向量的夹角是120°.故C正确.因为,所以,所以,故D错误.故选ABC.7.答案：ABC解析：如图,A.取中点为,连接,易知平面,故.B.以为坐标原点,建立空间直角坐标系如图所示,设正方形边长为,则,故.由两向量夹角公式得,故异面直线所成的角为.C.在直角三角形中,由,得,故为等边三角形.D.易知即为直线与平面所成的角,易得,故D错误.8.答案：解析：易知,,平面的一个法向量为.设平面的法向量为,则,即,即,取,则.,又.9.答案：a或解析：由题意知, .因为平面平面,平面平面,所以平面,所以.若平面，则.建立如图所示的空间直角坐标系,

则.设，则点E的坐标为，则.由，得，解得或，即或.10.答案：（1）见解析（2）解析：（1）如图，取PA的中点N，连接QN，BN.，N分别是PD，PA的中点，，且.，，，又，，，又，，四边形BCQN为平行四边形，.又平面PAB，平面PAB，平面PAB.（2）在（1）中图的基础上，取AD的中点M，连接BM，PM，取AM的中点O，连接BO，PO，如图.设，由（1）得，为等边三角形，，同理.平面平面ABCD，平面平面，平面PAD，平面ABCD.以O为坐标原点，分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，，设平面ACQ的法向量为，则取，得是平面ACQ的一个法向量，又平面PAQ的一个法向量为，，由图得二面角的平面角为钝角，二面角的余弦值为.