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苏教版 (2019)必修 第一册1.1 集合的概念与表示一等奖ppt课件
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这是一份苏教版 (2019)必修 第一册1.1 集合的概念与表示一等奖ppt课件，共37页。PPT课件主要包含了集合与元素的含义，即时巩固，随堂小测等内容，欢迎下载使用。
1.通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合之间的属于关系，知道常用的数集及其相应的记法.2.在具体情境中，理解两个集合相等的含义；初步了解有限集、无限集、空集的意义.3.初步掌握集合的两种表示方法——列举法和描述法，并能正确地表示一些简单的集合.核心素养：数学抽象、数学运算
一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体组成一个集合.集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元.
概念理解对象：可以是数、点、图形，也可以是人或物等，即对象形式多样化.元素：具有共同的特征或共同的属性的对象.总体：集合是一个整体，暗含“所有”“全部”的含义.因此，一些对象一旦组成了集合，这个集合就是这些对象的全体，而非个别对象.
【示例】中国古代四大发明组成一个集合，那么集合的元素就是造纸术、指南针、火药、印刷术.二十一世纪中国有新四大发明：高铁、移动支付、共享单车和网购.这四大发明就组成了一个集合.
［多选题］下列所给对象能构成集合的是（ ）A.平面直角坐标系内到原点的距离等于1的点B.《高中数学必修第一册》课本上的所有难题C.比较接近1的正整数全体D.某校高一年级16岁以下的学生
【解析】B，C中的对象不能构成集合，因为“难题”“比较接近1”的标准不明确，所以元素不确定，故不能构成集合；A中的对象能构成集合，因为有确定的标准，元素是“平面直角坐标系内到原点的距离等于1的点”；D中的对象能构成集合 ，因为有确定的标准，元素是“某校高一年级16岁以下的学生”.故选AD.
【方法归纳】判断一组对象能否构成集合，关键在于能否找到一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素.
二、元素与集合 1.元素、集合的符号表示我们通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示集合，用小写拉丁字母a，b，c，…表示集合中的元素.2.元素与集合的关系及其符号表示元素与集合有且只有两种关系：属于和不属于.
【注意】（1）对任何元素a和集合A，a∈A和aA两种情况有且只有一种成立.（2） a和{a}表示的含义不同.{a}表示一个由元素a组成的集合，a是集合{a}的元素，即a∈{a}.
3.集合中元素的三个特性（1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.（2）互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的.任何两个相同的对象在同一个集合中，只能算作这个集合的一个元素.（3）无序性：集合中的元素无先后顺序之分.
【知识拓展】元素的三个特性的主要应用（1）确定性：判断一组对象能否构成集合，界定模糊的对象不能构成集合，如“小河流”等.（2）无序性：方便定义集合相等.（3）互异性：警示我们做题后要检验.特别是题中含有参数（即字母）时，一定要检验求出的参数是否满足集合中元素的互异性.
4.集合相等如果两个集合所含的元素完全相同（即A中的元素都是B的元素，B中的元素也都是A的元素），那么称这两个集合相等，记作A＝B.
【提示】（1）两个集合相等时，其元素个数一定相等.（2）当两个集合相等时，其元素不一定依次对应相同.如：集合{1，2，3}与集合{3，2，1}相等.（3）两个集合是否相等，不能只看形式.如：不等式0
【注意】（1）花括号“{ }”表示“所有”“整体”的含义.如：实数集R可以写为{实数}，但如果写成{实数集}，{全体实数}，{R}都是不正确的.（2）用列举法表示集合时应注意：①元素之间要用“，”隔开；②元素之间不能重复（互异性）；③根据集合中元素的无序性，元素的书写一般不考虑顺序，故一个集合可以有不同的列举方法，但为了清晰直观，一般按一定顺序书写，特别是元素较多的集合.（3）要注意自然语言法和列举法之间的转化.
【思考】哪些集合适合用列举法表示？
（1）有限集，元素不太多.（2）有限集，元素较多但排列呈现一定规律.（3）无限集，但元素排列呈现一定规律，在不发生误解的情况下，也可列出几个元素作代表，其他元素用省略号表示.（4）集合所含元素不易表述时宜用列举法.如集合{x2，x2+y2，x3}.
用列举法表示下列集合：（1）小于13的既是奇数又是素数的所有自然数组成的集合；（2）方程x2-2x+1＝0的实数根组成的集合.
【解】（1）小于13的既是奇数又是素数的自然数有4个，分别为3，5，7，11，可用列举法表示为{3，5，7，11}.（2）方程x2-2x+1＝0有两个相等的实数根，为1，因此可用列举法表示为{1}.
【方法归纳】将自然语言描述的集合用列举法表示的一般步骤（1）求出（或明确）集合中的元素；（2）将各元素全部放在花括号“{ }”内，元素之间要用“，”隔开.
3.描述法将集合的所有元素都具有的性质（满足的条件）表示出来，写成{x|p（x）}的形式，这种表示集合的方法称为描述法.
【提示】用描述法表示集合需要注意三点（1）表示集合之前，应先通过代表元素确定集合是“点集”还是“数集”.（2）“竖线”不可省略.（3）{x|p（x）}中的p（x）可以是文字语言，也可以是数学符号语言，能用数学符号表示的尽量用数学符号表示.如：不等式x-7<3的解集为{x| x<10，x∈R}，奇数集为{x|x＝2k+1，k∈ Z}，偶数集为{x|x＝2n，n∈Z}.
【思考】 什么类型的集合适合用描述法表示？
描述法可以看清集合的元素特征，一般含较多元素或无数多个元素，且排列无明显规律的集合，或者元素不能一一列举的集合，宜用描述法.
【点评】列举法与描述法的转化
【知识拓展】集合的三种常用表示法的对比
4.Venn图（图示）法画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合，称为Venn图.集合{1，2}用Venn图表示如图所示.
四、集合的分类及常用的数集1.有限集、无限集与空集
【温馨提醒】理解空集时，需注意区分（1）与{0}是不同的，中没有任何元素，{0}表示含有一个元素0的集合，它们的关系是两个集合之间的关系（ {0}，这一点下一节我们将学习到）.（2）0与也是不同的，0只是一个数字，而表示集合，这个集合中没有任何元素.（3）{}并不是空集，而是把空集作为一个元素所构成的集合，也就是说{}中有一个元素，这个元素就是，即∈{}.
2.常用数集及其记法（要牢记）数学中一些常用的数集及其记法：全体自然数组成的集合，叫作自然数集，记作N；全体正整数组成的集合，叫作正整数集，记作N*或N+；全体整数组成的集合，叫作整数集，记作Z；全体有理数组成的集合，叫作有理数集，记作Q；全体实数组成的集合，叫作实数集，记作R.【提示】（1）N比N*（或N+）多一个元素0；（2）N*中*在右上角，N+中+在右下角.
五、数集与点集 一般地，在用描述法表示数集与点集时，数集的代表元素用一个字母表示，点集的代表元素用有序实数对表示，即{x|…}通常表示数的集合，{（x，y）|…}通常表示点的集合.常见情形如下表.
【提示】用描述法表示集合时，注意区分是数集还是点集，区分的关键在于代表元素.数集：集合{x|y＝x2-3}与集合{y|y＝x2-3}不同，{x|y＝x2-3}表示使函数y＝x2-3有意义的x的范围，因此{x|y＝x2-3}＝R；{y|y＝x2- 3}表示函数y＝x2-3的函数值y的范围，因此{y|y＝x2-3}＝{y|y≥-3}.这两种表示方法为以后学习函数的定义域和值域提供了条件.点集：{（x，y）|y＝x2-3}表示满足方程y＝x2-3的解的集合，即函数y＝x2-3的图象上的点构成的集合.（m，n）表示有序实数对，即m，n的位置不可互换，如{（3，5）}，{（5，3）}表示不同的集合.
一、集合中元素特性的应用1.元素的三个特性例 1 已知集合A中的三个元素a，b，c可作为一个三角形的三条边的长，那么这个三角形一定不是（ ）A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等边三角形
【解析】因为a，b，c是集合A中的元素，所以a，b，c均不相同，所以该三角形一定不是等边三角形.
【方法总结】集合中元素三个特性的应用1.确定性：找到一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素.2.互异性：确定构成集合元素的个数，这点要特别注意.3.无序性：集合的确定与元素之间的排列顺序无关.
2.集合中元素个数问题例 2 设集合A＝{1，2，3}，B＝{4，5}，M＝{x|x＝a+b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为（ ）A.3B.4C.5D.6
【分析】利用已知条件，直接求出a+b，再利用集合中元素的互异性求出M中元素的个数即可.【解析】因为集合A＝{1，2，3}，B＝{4，5}，M＝{x|x＝a+b，a∈A，b∈B}， 所以a+b的值可能为1+4＝5，1+5＝6，2+4＝6，2+5＝7，3+4＝7，3+5＝8，所以M中的元素有5，6，7，8，共4个.
【方法总结】确定集合中元素个数的方法（1）分析元素特征，明确集合中元素是点、数，还是其他元素.（2）列举出所有元素，检验集合中元素是否满足互异性.（3）若集合中的元素含有参数，则关键是抓住集合中元素的互异性，采用分类讨论的方法进行研究.
3.已知两个集合相等求参数例 3 设集合A＝{x，y}，B＝{0，x2}，若A＝B，求实数x，y的值.
【解】因为A＝B，所以x＝0或y＝0.（1）当x＝0时，x2＝0，则B中的元素0重复出现，此时集合B不满足互异性，舍去.（2）当y＝0时，x＝x2，解得x＝1或x＝0（舍去），此时A＝{1，0}＝B，满足条件.综上可知，x＝1，y＝0.
【方法总结】已知集合相等求参数的步骤（1）确定两个集合中相等的元素；（2）将含参数且未明确建立联系的两个集合中的元素进行分情况讨论，列出含参数的方程（组）；（3）解方程（组）求出参数，根据元素的互异性进行检验.
2.利用元素与集合的关系求参数例 5 已知集合A有三个元素：a-3，2a-1，a2+1，集合B也有三个元素：0，1，x.（1）若-3∈A，求实数a的值；（2）若x2∈B，求实数x的值.
【解】（1）由-3∈A且a2+1≥1，可知a-3＝-3或2a-1＝-3.当a-3＝-3时，解得a＝0；当2a-1＝-3时，解得a＝-1.经检验，a＝0与a＝-1都符合要求.故a＝0或-1.（2）当x＝0，1或-1时，都有x2∈B，但考虑到集合元素的互异性，可知x≠0，x≠1，故x＝-1.
【点评】若题目中出现含参数的集合问题，解题时要根据集合中元素的互异性，对参数的取值进行取舍，否则会产生“增解”.换句话说，“互异性”是求解问题不可忽略的一点.
【方法总结】已知元素与集合的关系求参数的思路（1）若集合A是用列举法表示的，且a∈A，则a一定等于集合A中的某个元素；若集合A是用描述法表示的，则a一定满足集合中元素的共同特征，如满足方程（组）、不等式（组）等.反之，若aA，则a不等于集合中的每一个元素或不满足相应的方程（组）、不等式（组）等.（2）解方程（组）或不等式（组）得参数的值或取值范围，再根据集合中元素的互异性对求得的参数进行检验.
三、集合的表示方法及其应用1.用列举法和描述法表示集合例 6 用适当的方法表示下列集合：（1）所有奇数组成的集合；（2）不大于10的所有素数组成的集合；（3）平面直角坐标系中的所有点组成的集合；（4）满足-1<2x-1≤3的实数x组成的集合.
【解】答案不唯一.（1）{x|x＝2n-1，n∈Z}.（2）不大于10的所有素数分别是2，3，5，7，所以该集合可用列举法表示为{2，3，5，7}.（3）{（x，y）|x∈R，y∈R}.（4）由-1<2x-1≤3，得0
【分析】（1）分a＝0和a≠0两种情况讨论求解.（2）若集合A中有两个元素，则a≠0，根据一元二次方程根的判别式进行求解.
【方法总结】根据元素个数求参数的方法（1）正确理解题意，结合元素个数，合理分类讨论.（2）判断形如ax2+bx+c＝0的方程的实数根的个数要分两种情况（a＝0和a≠0）讨论.当a＝0时，方程为一元一次方程.当a≠0时，方程为一元二次方程，可依据根的判别式Δ判断根的个数情况.（3）把参数的范围合并.
例 9 设y＝x2-ax+b，A＝{x|y-x＝0}，B＝{x|y-ax＝0}，若A＝ {-3，1}，试用列举法表示集合B.
【分析】集合A，B都表示关于x的一元二次方程的解集，而A已知，可根据根与系数的关系确定a和b的值，再解集合B中的方程，从而求出B中的元素.
【方法总结】集合与方程的综合问题的解题思路（1）弄清方程与集合的关系，方程的解集中的元素就是方程的解.（2）当方程中含有参数时，若方程是一元二次方程，则应用一元二次方程的相关知识求解，若知其解集，可利用根与系数的关系，快速求出参数的值（或参数之间的关系）；若知解集中元素的个数，可利用判别式求参数的取值范围.
8. 设集合A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{x|x＝2k+1，k∈Z}.若a∈A，b∈B，试判断a+b与A，B的关系.
解：∵ a∈A，∴ a＝2k1（k1∈Z）.∵ b∈B，∴ b＝2k2+1（k2∈Z）.∴ a+b＝2（k1+k2）+1.又∵ k1+k2∈Z，∴ a+b∈B，a+bA.
1.通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合之间的属于关系，知道常用的数集及其相应的记法.2.在具体情境中，理解两个集合相等的含义；初步了解有限集、无限集、空集的意义.3.初步掌握集合的两种表示方法——列举法和描述法，并能正确地表示一些简单的集合.核心素养：数学抽象、数学运算
一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体组成一个集合.集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元.
概念理解对象：可以是数、点、图形，也可以是人或物等，即对象形式多样化.元素：具有共同的特征或共同的属性的对象.总体：集合是一个整体，暗含“所有”“全部”的含义.因此，一些对象一旦组成了集合，这个集合就是这些对象的全体，而非个别对象.
【示例】中国古代四大发明组成一个集合，那么集合的元素就是造纸术、指南针、火药、印刷术.二十一世纪中国有新四大发明：高铁、移动支付、共享单车和网购.这四大发明就组成了一个集合.
［多选题］下列所给对象能构成集合的是（ ）A.平面直角坐标系内到原点的距离等于1的点B.《高中数学必修第一册》课本上的所有难题C.比较接近1的正整数全体D.某校高一年级16岁以下的学生
【解析】B，C中的对象不能构成集合，因为“难题”“比较接近1”的标准不明确，所以元素不确定，故不能构成集合；A中的对象能构成集合，因为有确定的标准，元素是“平面直角坐标系内到原点的距离等于1的点”；D中的对象能构成集合 ，因为有确定的标准，元素是“某校高一年级16岁以下的学生”.故选AD.
【方法归纳】判断一组对象能否构成集合，关键在于能否找到一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素.
二、元素与集合 1.元素、集合的符号表示我们通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示集合，用小写拉丁字母a，b，c，…表示集合中的元素.2.元素与集合的关系及其符号表示元素与集合有且只有两种关系：属于和不属于.
【注意】（1）对任何元素a和集合A，a∈A和aA两种情况有且只有一种成立.（2） a和{a}表示的含义不同.{a}表示一个由元素a组成的集合，a是集合{a}的元素，即a∈{a}.
3.集合中元素的三个特性（1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.（2）互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的.任何两个相同的对象在同一个集合中，只能算作这个集合的一个元素.（3）无序性：集合中的元素无先后顺序之分.
【知识拓展】元素的三个特性的主要应用（1）确定性：判断一组对象能否构成集合，界定模糊的对象不能构成集合，如“小河流”等.（2）无序性：方便定义集合相等.（3）互异性：警示我们做题后要检验.特别是题中含有参数（即字母）时，一定要检验求出的参数是否满足集合中元素的互异性.
4.集合相等如果两个集合所含的元素完全相同（即A中的元素都是B的元素，B中的元素也都是A的元素），那么称这两个集合相等，记作A＝B.
【提示】（1）两个集合相等时，其元素个数一定相等.（2）当两个集合相等时，其元素不一定依次对应相同.如：集合{1，2，3}与集合{3，2，1}相等.（3）两个集合是否相等，不能只看形式.如：不等式0
【注意】（1）花括号“{ }”表示“所有”“整体”的含义.如：实数集R可以写为{实数}，但如果写成{实数集}，{全体实数}，{R}都是不正确的.（2）用列举法表示集合时应注意：①元素之间要用“，”隔开；②元素之间不能重复（互异性）；③根据集合中元素的无序性，元素的书写一般不考虑顺序，故一个集合可以有不同的列举方法，但为了清晰直观，一般按一定顺序书写，特别是元素较多的集合.（3）要注意自然语言法和列举法之间的转化.
【思考】哪些集合适合用列举法表示？
（1）有限集，元素不太多.（2）有限集，元素较多但排列呈现一定规律.（3）无限集，但元素排列呈现一定规律，在不发生误解的情况下，也可列出几个元素作代表，其他元素用省略号表示.（4）集合所含元素不易表述时宜用列举法.如集合{x2，x2+y2，x3}.
用列举法表示下列集合：（1）小于13的既是奇数又是素数的所有自然数组成的集合；（2）方程x2-2x+1＝0的实数根组成的集合.
【解】（1）小于13的既是奇数又是素数的自然数有4个，分别为3，5，7，11，可用列举法表示为{3，5，7，11}.（2）方程x2-2x+1＝0有两个相等的实数根，为1，因此可用列举法表示为{1}.
【方法归纳】将自然语言描述的集合用列举法表示的一般步骤（1）求出（或明确）集合中的元素；（2）将各元素全部放在花括号“{ }”内，元素之间要用“，”隔开.
3.描述法将集合的所有元素都具有的性质（满足的条件）表示出来，写成{x|p（x）}的形式，这种表示集合的方法称为描述法.
【提示】用描述法表示集合需要注意三点（1）表示集合之前，应先通过代表元素确定集合是“点集”还是“数集”.（2）“竖线”不可省略.（3）{x|p（x）}中的p（x）可以是文字语言，也可以是数学符号语言，能用数学符号表示的尽量用数学符号表示.如：不等式x-7<3的解集为{x| x<10，x∈R}，奇数集为{x|x＝2k+1，k∈ Z}，偶数集为{x|x＝2n，n∈Z}.
【思考】 什么类型的集合适合用描述法表示？
描述法可以看清集合的元素特征，一般含较多元素或无数多个元素，且排列无明显规律的集合，或者元素不能一一列举的集合，宜用描述法.
【点评】列举法与描述法的转化
【知识拓展】集合的三种常用表示法的对比
4.Venn图（图示）法画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合，称为Venn图.集合{1，2}用Venn图表示如图所示.
四、集合的分类及常用的数集1.有限集、无限集与空集
【温馨提醒】理解空集时，需注意区分（1）与{0}是不同的，中没有任何元素，{0}表示含有一个元素0的集合，它们的关系是两个集合之间的关系（ {0}，这一点下一节我们将学习到）.（2）0与也是不同的，0只是一个数字，而表示集合，这个集合中没有任何元素.（3）{}并不是空集，而是把空集作为一个元素所构成的集合，也就是说{}中有一个元素，这个元素就是，即∈{}.
2.常用数集及其记法（要牢记）数学中一些常用的数集及其记法：全体自然数组成的集合，叫作自然数集，记作N；全体正整数组成的集合，叫作正整数集，记作N*或N+；全体整数组成的集合，叫作整数集，记作Z；全体有理数组成的集合，叫作有理数集，记作Q；全体实数组成的集合，叫作实数集，记作R.【提示】（1）N比N*（或N+）多一个元素0；（2）N*中*在右上角，N+中+在右下角.
五、数集与点集 一般地，在用描述法表示数集与点集时，数集的代表元素用一个字母表示，点集的代表元素用有序实数对表示，即{x|…}通常表示数的集合，{（x，y）|…}通常表示点的集合.常见情形如下表.
【提示】用描述法表示集合时，注意区分是数集还是点集，区分的关键在于代表元素.数集：集合{x|y＝x2-3}与集合{y|y＝x2-3}不同，{x|y＝x2-3}表示使函数y＝x2-3有意义的x的范围，因此{x|y＝x2-3}＝R；{y|y＝x2- 3}表示函数y＝x2-3的函数值y的范围，因此{y|y＝x2-3}＝{y|y≥-3}.这两种表示方法为以后学习函数的定义域和值域提供了条件.点集：{（x，y）|y＝x2-3}表示满足方程y＝x2-3的解的集合，即函数y＝x2-3的图象上的点构成的集合.（m，n）表示有序实数对，即m，n的位置不可互换，如{（3，5）}，{（5，3）}表示不同的集合.
一、集合中元素特性的应用1.元素的三个特性例 1 已知集合A中的三个元素a，b，c可作为一个三角形的三条边的长，那么这个三角形一定不是（ ）A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等边三角形
【解析】因为a，b，c是集合A中的元素，所以a，b，c均不相同，所以该三角形一定不是等边三角形.
【方法总结】集合中元素三个特性的应用1.确定性：找到一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素.2.互异性：确定构成集合元素的个数，这点要特别注意.3.无序性：集合的确定与元素之间的排列顺序无关.
2.集合中元素个数问题例 2 设集合A＝{1，2，3}，B＝{4，5}，M＝{x|x＝a+b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为（ ）A.3B.4C.5D.6
【分析】利用已知条件，直接求出a+b，再利用集合中元素的互异性求出M中元素的个数即可.【解析】因为集合A＝{1，2，3}，B＝{4，5}，M＝{x|x＝a+b，a∈A，b∈B}， 所以a+b的值可能为1+4＝5，1+5＝6，2+4＝6，2+5＝7，3+4＝7，3+5＝8，所以M中的元素有5，6，7，8，共4个.
【方法总结】确定集合中元素个数的方法（1）分析元素特征，明确集合中元素是点、数，还是其他元素.（2）列举出所有元素，检验集合中元素是否满足互异性.（3）若集合中的元素含有参数，则关键是抓住集合中元素的互异性，采用分类讨论的方法进行研究.
3.已知两个集合相等求参数例 3 设集合A＝{x，y}，B＝{0，x2}，若A＝B，求实数x，y的值.
【解】因为A＝B，所以x＝0或y＝0.（1）当x＝0时，x2＝0，则B中的元素0重复出现，此时集合B不满足互异性，舍去.（2）当y＝0时，x＝x2，解得x＝1或x＝0（舍去），此时A＝{1，0}＝B，满足条件.综上可知，x＝1，y＝0.
【方法总结】已知集合相等求参数的步骤（1）确定两个集合中相等的元素；（2）将含参数且未明确建立联系的两个集合中的元素进行分情况讨论，列出含参数的方程（组）；（3）解方程（组）求出参数，根据元素的互异性进行检验.
2.利用元素与集合的关系求参数例 5 已知集合A有三个元素：a-3，2a-1，a2+1，集合B也有三个元素：0，1，x.（1）若-3∈A，求实数a的值；（2）若x2∈B，求实数x的值.
【解】（1）由-3∈A且a2+1≥1，可知a-3＝-3或2a-1＝-3.当a-3＝-3时，解得a＝0；当2a-1＝-3时，解得a＝-1.经检验，a＝0与a＝-1都符合要求.故a＝0或-1.（2）当x＝0，1或-1时，都有x2∈B，但考虑到集合元素的互异性，可知x≠0，x≠1，故x＝-1.
【点评】若题目中出现含参数的集合问题，解题时要根据集合中元素的互异性，对参数的取值进行取舍，否则会产生“增解”.换句话说，“互异性”是求解问题不可忽略的一点.
【方法总结】已知元素与集合的关系求参数的思路（1）若集合A是用列举法表示的，且a∈A，则a一定等于集合A中的某个元素；若集合A是用描述法表示的，则a一定满足集合中元素的共同特征，如满足方程（组）、不等式（组）等.反之，若aA，则a不等于集合中的每一个元素或不满足相应的方程（组）、不等式（组）等.（2）解方程（组）或不等式（组）得参数的值或取值范围，再根据集合中元素的互异性对求得的参数进行检验.
三、集合的表示方法及其应用1.用列举法和描述法表示集合例 6 用适当的方法表示下列集合：（1）所有奇数组成的集合；（2）不大于10的所有素数组成的集合；（3）平面直角坐标系中的所有点组成的集合；（4）满足-1<2x-1≤3的实数x组成的集合.
【解】答案不唯一.（1）{x|x＝2n-1，n∈Z}.（2）不大于10的所有素数分别是2，3，5，7，所以该集合可用列举法表示为{2，3，5，7}.（3）{（x，y）|x∈R，y∈R}.（4）由-1<2x-1≤3，得0
【分析】（1）分a＝0和a≠0两种情况讨论求解.（2）若集合A中有两个元素，则a≠0，根据一元二次方程根的判别式进行求解.
【方法总结】根据元素个数求参数的方法（1）正确理解题意，结合元素个数，合理分类讨论.（2）判断形如ax2+bx+c＝0的方程的实数根的个数要分两种情况（a＝0和a≠0）讨论.当a＝0时，方程为一元一次方程.当a≠0时，方程为一元二次方程，可依据根的判别式Δ判断根的个数情况.（3）把参数的范围合并.
例 9 设y＝x2-ax+b，A＝{x|y-x＝0}，B＝{x|y-ax＝0}，若A＝ {-3，1}，试用列举法表示集合B.
【分析】集合A，B都表示关于x的一元二次方程的解集，而A已知，可根据根与系数的关系确定a和b的值，再解集合B中的方程，从而求出B中的元素.
【方法总结】集合与方程的综合问题的解题思路（1）弄清方程与集合的关系，方程的解集中的元素就是方程的解.（2）当方程中含有参数时，若方程是一元二次方程，则应用一元二次方程的相关知识求解，若知其解集，可利用根与系数的关系，快速求出参数的值（或参数之间的关系）；若知解集中元素的个数，可利用判别式求参数的取值范围.
8. 设集合A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{x|x＝2k+1，k∈Z}.若a∈A，b∈B，试判断a+b与A，B的关系.
解：∵ a∈A，∴ a＝2k1（k1∈Z）.∵ b∈B，∴ b＝2k2+1（k2∈Z）.∴ a+b＝2（k1+k2）+1.又∵ k1+k2∈Z，∴ a+b∈B，a+bA.
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