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    数学必修 第一册1.1 集合的概念与表示教案

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    这是一份数学必修 第一册1.1 集合的概念与表示教案,共7页。


    本节内容选自苏教版《普通高中课程标准实验教科书数学必修1》第一册第一章第一节的内容。集合是语境的要素.集合语言是近现代数学的基础,利用它可以简洁、准确地表述数学.因此,“集合”内容就成为高中数学学习的起始内容,也是整个高中数学、大学数学乃至现代数学内容表述的基本语境.学习“集合”这一章,需从观念上把握六个字: 语言,工具,渐进.要求学习者认识到集合语言是数学语言的基本构成,并能运用集合语言来简洁地描述问题.
    1.教学重点:集合的基本概念,集合中元素的三个特性,元素与集合的关系,集合的表示方法.
    2.教学难点:元素与集合的关系,集合中元素的三个特性的应用.
    学案的印制分发、多媒体课件调试。
    蓝蓝的天空,一群鸟在欢快地飞翔;
    茫茫的草原,一群羊在悠闲地走动;
    清清的湖水,一群鱼在自由地游戏
    鸟群、羊群、鱼群…都是“同一类对象汇集在一起”,这就是本章将要学习的集合.
    阅读课本P5~6,完成以下问题
    1.元素与集合
    (1)集合:一般地,一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合.通常用大写拉丁字母来表示集合.
    (2)元素:集合中的每一个对象称为该集合的元素,简称元.通常用小写的拉丁字母来表示.
    (3)元素与集合间的关系:
    ①若a是集合A的元素,就记作a∈A,读作“a属于A”.
    ②若a不是集合A的元素,就记作a∉A或a∈A,读作“a不属于A”.
    (4)集合中元素的特征:确定性、无序性、互异性.
    (5)常见数集
    (6)集合相等的概念
    如果两个集合所含的元素完全相同(即A中的元素都是B的元素,B中的元素也都是A的元素),那么称这两个集合相等.
    2.集合的表示法
    (1)列举法:将集合的元素一一列举出来,并置于花括号“{ }”内,元素之间用逗号分隔,这样表示集合的方法称为列举法.
    (2)描述法:将集合的所有元素都具有的性质(满足的条件)表示出来,写成{x|p(x)}的形式,这样表示集合的方法称为描述法.
    [教师点拨]
    (1)使用列举法表示集合应注意以下问题:
    ①元素之间用“,”隔开;②元素不能重复;③元素没有顺序.
    (2)使用描述法表示集合应注意以下问题:
    ①写清楚该集合中元素的代号(用字母表示的元素符号);
    ②说明该集合中元素的性质;
    3.集合的分类
    按照集合中元素的多少,集合可以分为有限集和无限集.
    (1)含有有限个元素的集合叫作有限集;
    (2)含有无限个元素的集合叫作无限集.
    (3)不含任何元素的集合叫作空集,记作∅.
    [教师点拨]
    {0}和∅不是同一个集合,{0}中含有一个元素0,而∅中没有任何元素.
    4.微课辅助
    典例剖析
    题型一 集合的概念
    [典例] 下列每组对象能构成一个集合是________(填序号).
    (1)某校2019年在校的所有高个子同学;
    (2)不超过20的非负数;
    (3)帅哥;
    (4)平面直角坐标系内第一象限的一些点;
    (5)eq \r(3)的近似值的全体.
    [解析] “高个子”没有明确的标准,因此(1)不能构成集合.(2)任给一个实数x,可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”,故“不超过20的非负数”能构成集合;(3)“帅哥”没有一个明确的标准,因此不能构成集合;(4)“一些点”无明确的标准,因此不能构成集合;(5)“eq \r(3)的近似值”不明确精确到什么程度,所以(5)不能构成集合.
    [答案] (2)
    点评:判断指定的对象能不能构成集合,关键在于能否找到一个明确标准,对于任何一个对象,都能确定它是不是给定集合的元素,即确定性。同时还要注意集合中元素的互异性、无序性.
    题型二 元素与集合的关系
    [典例] 给出下列关系:
    ①eq \f(1,2)∈R;②eq \r(2)∉Q;③|-3|∉N;④|-eq \r(3)|∈Q;⑤0∉N,
    其中正确的个数为( )
    A.1 B.2 C.3 D.4
    解析 eq \f(1,2)是实数,①对;eq \r(2)不是有理数,②对;
    |-3|=3是自然数,③错;|-eq \r(3)|=eq \r(3)是无理数,④错;
    0是自然数,⑤错.故选B.
    答案 B
    点评: 要判断元素与集合的关系,首先要弄清集合中有哪些元素(涉及常用数集,如N,R,Q,概念要清晰);其次要看待判定的元素是否具有集合要求的条件.
    [变式训练] 集合A中的元素x满足eq \f(6,3-x)∈N,x∈N,则集合A中的元素为________.
    解析 ∵x∈N,eq \f(6,3-x)∈N,∴0≤x≤2且x∈N.
    当x=0时,eq \f(6,3-x)=eq \f(6,3)=2∈N;
    当x=1时,eq \f(6,3-x)=eq \f(6,3-1)=3∈N;
    当x=2时,eq \f(6,3-x)=eq \f(6,3-2)=6∈N.
    ∴A中元素为0,1,2.
    答案 0,1,2
    题型三 集合的表示方法
    [典例] 用适当的方法表示下列集合:
    (1)方程x(x2+2x+1)=0的解集;
    (2)在自然数集内,小于1 000的奇数构成的集合;
    (3)不等式x-2>6的解的集合;
    (4)大于0.5且不大于6的自然数的全体构成的集合;
    [解] (1)∵方程x(x2+2x+1)=0的解为0和-1,
    ∴x(x2+2x+1)=0的解集为{-1,0};
    (2){x|x=2n+1,且x<1 000,n∈N};
    (3){x|x>8};
    (4){1,2,3,4,5,6};
    点评:(1)一个集合可以用不同的方法表示,需根据题意选择适当的方法,同时注意列举法和描述法的适用范围.
    (2)方程(或方程组)的解的个数较少,因此方程(或方程组)的解集一般用列举法表示;不等式(或不等式组)的解集一般用描述法表示.注意,当题目中要求求出“…的解集”或写出“…的集合”时,一定要将最终结果写成集合的形式.
    [变式训练]
    1.下列集合中,不同于另外三个集合的序号是________.
    ①{x|x=1};②{y|(y-1)2=0};③{x=1};④{1}.
    解析:由集合的含义知{x|x=1}={y|(y-1)2=0}={1},而集合{x=1}表示由方程x=1组成的集合,故填③.
    答案:③
    2.下面六种表示方法
    ①{x=-1,y=2};②eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x,y\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x=-1,,y=2.))))));③{-1,2};
    ④(-1,2);⑤{(-1,2)};⑥{x,y|x=-1,或y=2}.
    其中,能正确表示方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x+y=0,,x-y+3=0))的解集的是____________(把所有正确答案的序号填上).
    解析:①中含两个元素,且都是式子,而方程组的解集中只有一个元素,是一个点,故①不正确;②代表元素是点的形式,且对应值与方程组解相同,故②正确;③中含两个元素,是数集,而方程组的解集是点集,且只有一个元素,故③不正确;④没有用花括号“{ }”括起来,不表示集合,故④不正确;⑤中只含有一个元素,是点集且与方程组解对应相等,故⑤正确;⑥中代表元素与方程组解的一般形式不符,须加小括号( ),条件中“或”也要改为“且”,故⑥不正确.
    答案:②⑤
    题型四 元素的三个特性的应用
    [典例] 已知集合A有三个元素:a-3,2a-1,a2+1,集合B也有三个元素:0,1,x.
    (1)若-3∈A,求a的值;
    (2)若x2∈B,求实数x的值;
    (3)是否存在实数a,x,使A=B.
    解 (1)由-3∈A且a2+1≥1,
    可知a-3=-3或2a-1=-3,
    当a-3=-3时,a=0;当2a-1=-3时,a=-1.
    经检验,0与-1都符合要求.
    ∴a=0或-1.
    (2)当x=0,1,-1时,都有x2∈B,
    但考虑到集合元素的互异性,x≠0,x≠1,故x=-1.
    (3)显然a2+1≠0.由集合元素的无序性,
    只可能a-3=0或2a-1=0.
    若a-3=0,则a=3,
    A={a-3,2a-1,a2+1}
    ={0,5,10}≠B.
    若2a-1=0,则a=eq \f(1,2),
    A={a-3,2a-1,a2+1}
    =eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(0,-\f(5,2),\f(5,4)))≠B.
    故不存在这样的实数a,x,使A=B.
    点评 元素的无序性主要体现在:①给出元素属于某集合,则它可能等于集合中的任一元素;②给出两集合相等,则其中的元素不一定按顺序对应相等.
    元素的互异性主要体现在求出参数后要代入检验,同一集合中的元素要互不相等.
    另外,此类问题常涉及分类讨论的数学思想.
    通过本节的学习,使学生初步感受到运用集合语言表述数学对象时的简洁和准确,体会数学的简洁美.本设计结构为“问题情境→学生活动→微课辅助→意义建构→数学运用→回顾反思”。特出以课本为抓手,以“知识点填空”的方式逐层深入,为“学生活动”和“意义建构”这两个关键教学环节的落实,提供了实在而广阔的空间.课程目标
    学科素养
    A.理解集合的概念;理解元素与集合的“属于”与“不属于”关系;熟记常用数集专用符号.
    B.深刻理解集合元素的确定性、互异性、无序性;能够用其解决有关问题.
    C.会用集合的两种表示方法表示一些简单集合。感受集合语言的意义和作用。
    1.数学抽象:集合概念的理解,描述法表示集合的方法;
    2.逻辑推理:集合的互异性的辨析与应用;
    3.数学运算:集合相等时的参数计算,集合的描述法转化为列举法时的运算;
    4.直观想象:集合的图形表示;
    5.数学建模:用集合思想对实际生活中的对象进行判断与归类。
    集合
    自然数集
    正整数集
    整数集
    有理数集
    实数集
    记法
    N
    N*或N+
    Z
    Q
    R
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