2022-2023学年北京市海淀区中关村中学八年级（上）期中数学试卷【含解析】

这是一份2022-2023学年北京市海淀区中关村中学八年级（上）期中数学试卷【含解析】，共25页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）斐波那契螺旋线也称为“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那奖螺旋线图案．下列斐波那契螺旋线图案中属于轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）在平面直角坐标系中，点（2，3）关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A．（2，﹣3）B．（3，2）C．（﹣2，3）D．（﹣2，﹣3）
3．（3分）已知三角形的两边长分别为3cm和8cm，则此三角形的第三边长可能是（ ）
A．4cmB．5cmC．6cmD．15cm
4．（3分）已知图中的两个三角形全等，则∠1等于（ ）
A．50°B．58°C．60°D．72°
5．（3分）如图，生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是利用三角形的（ ）
A．全等形B．稳定性C．灵活性D．对称性
6．（3分）在△ABC中，作出AC边上的高，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
7．（3分）若一个多边形的每个外角都是30°，则这个多边形的边数为（ ）
A．6B．8C．10D．12
8．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等腰三角形．其作法错误的是（ ）
A．B．
C．D．
9．（3分）如图，在△ABC中，AC＝2，AB＝3，BC＝3.5，BC的垂直平分线MN交AB于点D，P是直线MN上的任意一点，则PA+PC的最小值是（ ）
A．2B．3C．3.5D．4.5
10．（3分）如图，线段AB的一个端点B在直线m上，直线m上存在点C，使△ABC为等腰三角形，这样的点C有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
二、填空题（本题共8小题，每题3分，共24分）
11．（3分）如图，D是△ABC的边CA延长线上一点，∠1＝ °，∠2＝ °．
12．（3分）如图，若∠BAD＝∠CAD，添加条件 ，可使得△ABD≌△ACD．
13．（3分）如图，D在BC边上，△ABC≌△ADE，∠B＝70°，则∠EAC的度数为 ．
14．（3分）如果一个等腰三角形的两边长分别是5cm和6cm，那么此三角形的周长为 cm．
15．（3分）如果等腰三角形的一个角等于80°，则它的顶角等于 度．
16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝6，则AC＝ ．
17．（3分）如图，∠AOB＝50°，点P是边OB上一个动点（不与点O重合），当∠A的度数为 时，△AOP为直角三角形．
18．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是BC的中点，点E、F分别在边AB、AC上，且∠EDF＝90°．下列结论正确的是 （填所有正确答案的序号）．①△ADE≌△CDF；②AC＝BE+CF；③EF＝AD；④S1，S2分别表示△ABC和△EDF的面积，则．
三、解答题（本题共8小题，第19题6分，第20-22题，每题5分，第23-25题，每题6分，第26题7分，共46分）
19．（6分）请补全证明过程及推理依据．
如图，点B，E，C，F在一条直线上，BE＝CF，AB＝DE，AC＝DF．求证：∠A＝∠D．
证明：∵BE＝CF（已知），
∴BE+ ＝CF+ （ ），
即 ＝ ，
在△ABC和△DEF中，，
∴△ABC≌△DEF （ ），
∴∠A＝∠D （ ）．
20．（5分）如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝50°，∠BAC的平分线AD交BC于点D．求∠DAC与∠ADB的度数．
21．（5分）如图，C是AB的中点，CD∥BE，CD＝BE，连接AD，CE．求证：AD＝CE，AD∥CE．
22．（5分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，求证：BC＝CD．
23．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（﹣3，4），B（﹣3，1），C（1，2）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的图形△A'B'C'；
（2）写出A'、B'、C'的坐标（直接写出答案）A' ；B' ；C' ；
（3）直接写出△A'B'C'的面积 ．
24．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，求证：BE＝CF．
25．（6分）如图，在△ABC中，∠BAC＝108°，AB＝AC，∠ABC的平分线BE交AC于E．请用等式表示线段AB，BC，CE之间的数量关系，并证明你的结论．
26．（7分）如图，在等边△ABC中，点P为△ABC内一点，连接AP，BP，CP，以P为顶点作∠APP'＝60°，且PP'＝AP，连接AP'，BP'．
（1）如图1，用等式表示BP'与CP的数量关系，并证明；
（2）如图2，当∠BPC＝120°时，
①直接写出∠P'BP的度数为 ；
②若D为BC的中点，连接PD，请用等式表示PD与AP的数量关系，并证明．
2022-2023学年北京市海淀区中关村中学八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10小题，每题3分，共30分）在下列各小题的四个备选答案中，只有一个是正确的．
1．（3分）斐波那契螺旋线也称为“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那奖螺旋线图案．下列斐波那契螺旋线图案中属于轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、是轴对称图形，故本选项符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了利用轴对称设计图案．轴对称图形的性质，关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（3分）在平面直角坐标系中，点（2，3）关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A．（2，﹣3）B．（3，2）C．（﹣2，3）D．（﹣2，﹣3）
【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案．
【解答】解：点（2，3）关于x轴对称的点的坐标是（2，﹣3），
故选：A．
【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．
3．（3分）已知三角形的两边长分别为3cm和8cm，则此三角形的第三边长可能是（ ）
A．4cmB．5cmC．6cmD．15cm
【分析】根据三角形三边关系定理求出第三边的范围，即可解答．
【解答】解：∵三角形的两边长为3cm和8cm，
∴第三边x的长度范围是8﹣3＜x＜8+3，即5＜x＜11，
故选：C．
【点评】本题考查的是三角形的三边关系，掌握三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边、三角形的两边差小于第三边是解题的关键．
4．（3分）已知图中的两个三角形全等，则∠1等于（ ）
A．50°B．58°C．60°D．72°
【分析】根据已知数据找出对应角，根据全等得出∠A＝∠D＝50°，∠F＝∠C＝72°，根据三角形内角和定理求出即可．
【解答】解：
∵△ABC和△DEF全等，AC＝DF＝b，DE＝AB＝a，
∴∠1＝∠B，∠A＝∠D＝50°，∠F＝∠C＝72°，
∴∠1＝180°﹣∠D﹣∠F＝58°，
故选：B．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质的应用，能根据全等三角形的性质得出∠A＝∠D＝50°，∠F＝∠C＝72°是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
5．（3分）如图，生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是利用三角形的（ ）
A．全等形B．稳定性C．灵活性D．对称性
【分析】根据三角形具有稳定性解答．
【解答】解：生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是因为三角形具有稳定性．
故选：B．
【点评】本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．
6．（3分）在△ABC中，作出AC边上的高，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据三角形的高的定义对各个图形观察后解答即可．
【解答】解：根据三角形高线的定义，AC边上的高是过点B向AC作垂线垂足为D，
纵观各图形，D选项符合高线的定义，
故选：D．
【点评】本题主要考查了三角形的高线的定义：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．熟练掌握概念是解题的关键．
7．（3分）若一个多边形的每个外角都是30°，则这个多边形的边数为（ ）
A．6B．8C．10D．12
【分析】利用任何多边形的外角和是360°除以外角度数即可求出答案．
【解答】解：多边形的外角的个数是360÷30＝12，所以多边形的边数是12．
故答案为：D．
【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理，已知外角求边数的这种方法是需要熟记的内容．
8．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等腰三角形．其作法错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】A．由作法知AD＝AC，可判断A；B．由作法知所作图形是线段BC的垂直平分线，可判断B；C由作法知，所作图形是线段AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，可判断C；D．由作法知AD是∠BAC的平分线，根据角平分线的定义和等腰三角形的判定得到DB＝DA，可判断D．
【解答】解：A．由作法知AD＝AC，
∴△ACD是等腰三角形，故选项A不符合题意；
B．由作法知所作图形是线段BC的垂直平分线，
∴不能推出△ACD和△ABD是等腰三角形，故选项B符合题意；
C由作法知，所作图形是线段AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，
∴△ABD是等腰三角形，故选项C不符合题意；
D．∠C＝90°，∠B＝30°，
∠BAC＝60°，
由作法知AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝30°＝∠B，
∴DB＝DA，
∴△ABD是等腰三角形，故选项D不符合题意；
故选B．
【点评】本题主要考查了尺规作图，熟练掌握尺规作图的五个基本图形是解决问题的关键．
9．（3分）如图，在△ABC中，AC＝2，AB＝3，BC＝3.5，BC的垂直平分线MN交AB于点D，P是直线MN上的任意一点，则PA+PC的最小值是（ ）
A．2B．3C．3.5D．4.5
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到PB＝PC，则PA+PC的最小值即为线段AB的长度．
【解答】解：如图，MN是BC的垂直平分线，
∴点C与点B关于直线MN对称，
∴线段AB与直线MN的交点即为点P，
∴PA+PC＝AB．
∵AB＝3，
∴PA+PC的最小值是3．
故选：B．
【点评】本题主要考查了轴对称﹣最短路线问题，线段垂直平分线的性质，根据轴对称的性质找到点P的位置是解题的难点．
10．（3分）如图，线段AB的一个端点B在直线m上，直线m上存在点C，使△ABC为等腰三角形，这样的点C有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【分析】分三种情况：当BA＝BC时，当AB＝AC时，当CA＝CB时，即可解答．
【解答】解：如图：
分三种情况：
当BA＝BC时，以点B为圆心，以BA长为半径作圆，交直线m于点C1，C2，
当AB＝AC时，以点A为圆心，以AB长为半径作圆，交直线m于点C3，
当CA＝CB时，作AB的垂直平分线交直线m于点C4，
综上所述：使△ABC为等腰三角形，这样的点C有4个，
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定，分三种情况讨论是解题的关键．
二、填空题（本题共8小题，每题3分，共24分）
11．（3分）如图，D是△ABC的边CA延长线上一点，∠1＝ 110 °，∠2＝ 70 °．
【分析】先根据三角形的内角和定理求出∠1的度数，然后根据平角的定义求出∠2的度数．
【解答】解：∵∠B＝40°，∠C＝30°，
∴∠1＝110°，
∴∠2＝180°﹣∠1＝70°．
故答案为：110°，70°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，解题的关键是掌握三角形的内角和等于180°．
12．（3分）如图，若∠BAD＝∠CAD，添加条件 AB＝AC ，可使得△ABD≌△ACD．
【分析】利用SAS，添加AB＝AC，进而得出即可．
【解答】解：添加条件：AB＝AC，
理由：在△ABD和△ACD中
，
∴△ABD≌△ACD（SAS）．
故答案为：AB＝AC．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
13．（3分）如图，D在BC边上，△ABC≌△ADE，∠B＝70°，则∠EAC的度数为 40° ．
【分析】根据全等三角形的性质，即可得到∠BAC＝∠DAE，AB＝AD，∠ADE＝∠B，再根据∠B＝70°，即可得到∠EAC的度数，最后根据三角形内角和定理以及全等三角形的对应角相等，即可得到结论．
【解答】解：∵△ABC≌△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，AB＝AD，∠ADE＝∠B，∠C＝∠E，
∴∠ADE＝∠B＝70°，
∴∠ADB＝∠B＝70°，
∴∠EDC＝180°﹣∠ADB﹣∠ADE＝40°，
∵在8字形中，
∠E+∠EAC＝∠C+∠EDC，
∴∠EAC＝∠EDC＝40°，
故答案为：40°．
【点评】本题主要考查了全等三角形的性质，解题时注意：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等．
14．（3分）如果一个等腰三角形的两边长分别是5cm和6cm，那么此三角形的周长为 16或17 cm．
【分析】已知等腰三角形的两边长，但没指出哪个是腰哪个是底，故应该分两种情况进行分析．
【解答】解：当腰为6cm时，则三角形的三边长分别为6cm、6cm、5cm，满足三角形的三边关系，周长为17cm；
当腰为5时，则三角形的三边长分别为5cm、5cm、6cm，满足三角形的三边关系，周长为16cm；
综上可知，等腰三角形的周长为16cm或17cm．
故答案为：16或17．
【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的性质的理解及运用，注意分类讨论思想的运用．
15．（3分）如果等腰三角形的一个角等于80°，则它的顶角等于 80或20． 度．
【分析】当等腰三角形的一个角等于80°时，分2种情况；①当等腰三角形的一个角等于80°时，等腰三角形的顶角与其相等，②当等腰三角形的顶角等于80°，时，利用三角形内角和定理即可求出答案．
【解答】解；当等腰三角形的一个角等于80°时，则有2种情况；
①当等腰三角形的一个角等于80°时，等腰三角形的顶角等于80°时，
②当等腰三角形的顶角等于80°时则它的底角为：（180﹣80﹣80）＝20°
故答案为：80或20．
【点评】此题主要考查三角形的内角和定理和等腰三角形的性质，此题要采用分类讨论的思想，难度不大，属于基础题．要求学生应熟练掌握．
16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝6，则AC＝ 3 ．
【分析】根据三角形的内角和定理，直角三角形边角关系进行计算即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝6，
∴∠B＝30°，
∠B＝180°﹣∠A﹣∠C
＝180°﹣60°﹣90°
＝30°；
∴AC＝AB＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了含30度角的直角三角形的性质．在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
17．（3分）如图，∠AOB＝50°，点P是边OB上一个动点（不与点O重合），当∠A的度数为 90°或40° 时，△AOP为直角三角形．
【分析】分两种情况：①∠A为直角；②∠APO为直角．
【解答】解：若△AOP为直角三角形，则
①∠A＝90°时，△AOP为直角三角形；
②当∠APO＝90°时，△AOP为直角三角形，此时∠A＝40°．
故答案为90°或40°．
【点评】本题主要考查了直角三角形的两个锐角互余，同时运用分类讨论思想解决直角三角形的角度问题是解题的途径．
18．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是BC的中点，点E、F分别在边AB、AC上，且∠EDF＝90°．下列结论正确的是 ①②④ （填所有正确答案的序号）．①△ADE≌△CDF；②AC＝BE+CF；③EF＝AD；④S1，S2分别表示△ABC和△EDF的面积，则．
【分析】由等腰直角三角形的性质可证△ADE≌△CDF（ASA），△BED≌△AFD（ASA），从而得出△DEF是等腰直角三角形，即可对结论进行逐一判断．
【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，BD＝CD，
∴AD⊥BC，AD＝BD＝DC，∠B＝∠C＝45°，∠DAE＝∠DAC＝45°，
∴∠ADC＝∠EDF＝90°，
∴∠ADE＝∠CDF，
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（ASA），故①正确，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，D是BC的中点，
∴∠BAD＝∠C＝45°，AD＝BD，∠ADC＝90°，
∵∠ADC＝∠BAC＝90°，
∴∠BDE＝∠ADF，
在△BED和△AFD中，
，
∴△BED≌△AFD（ASA），
∴BE＝AF，
∴AC＝AF+FC＝BE+CF，故②正确；
∵EF是变化的，而AD为定值，故③错误；
∵△BED≌△AFD，
∴DE＝DF，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∴DE⊥AB时，S2最小为×AB×AB＝S1，
当点E与A或B重合时，S2最大为S1，
∴S1≤S2≤S1，故④正确；
故答案为：①②④．
【点评】本题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与中，三角形的外角的性质等知识，熟记全等三角形的性质是解题的关键．
三、解答题（本题共8小题，第19题6分，第20-22题，每题5分，第23-25题，每题6分，第26题7分，共46分）
19．（6分）请补全证明过程及推理依据．
如图，点B，E，C，F在一条直线上，BE＝CF，AB＝DE，AC＝DF．求证：∠A＝∠D．
证明：∵BE＝CF（已知），
∴BE+ EC ＝CF+ EC （ ），
即 BC ＝ EF ，
在△ABC和△DEF中，，
∴△ABC≌△DEF （ SSS ），
∴∠A＝∠D （ 全等三角形的性质 ）．
【分析】根据等式性质由BE＝CF推出BC＝EF，根据SSS证△ABC≌△DEF，根据全等三角形的性质推出即可．
【解答】证明：∵BE＝CF（已知），
∴BE+EC＝CF+EC（等式的性质），
即BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF （SSS），
∴∠A＝∠D （全等三角形的性质）．
故答案为：EC，EC，等式的性质，BC，EF，SSS，全等三角形的性质．
【点评】本题考查了等式的性质和全等三角形的性质和判定的应用，熟练掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解答此题的关键．
20．（5分）如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝50°，∠BAC的平分线AD交BC于点D．求∠DAC与∠ADB的度数．
【分析】由三角形的内角和定理可求得∠BAC＝100°，再由角平分线的定义可求得∠DAC＝50°，利用三角形的外角性质即可求∠ADB的度数．
【解答】解：∵∠B＝30°，∠C＝50°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝100°，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠DAC＝∠BAC＝50°，
∵∠ADB是△ADC的外角，
∴∠ADC＝∠DAC+∠C＝100°．
【点评】本题主要考查三角形的外角性质，三角形的内角和定理，解答的关键是结合图形分析清楚各角之间的关系．
21．（5分）如图，C是AB的中点，CD∥BE，CD＝BE，连接AD，CE．求证：AD＝CE，AD∥CE．
【分析】根据题意证明△ADC≌△CEB，得到AD＝CE，∠A＝∠BCE，借助平行线的判定即可解决问题．
【解答】证明：∵点C是AB的中点，
∴AC＝BC，
∵CD∥BE，
∠ACD＝∠B，
在△ADC与△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（SAS），
∴AD＝CE，∠A＝∠BCE，
∴AD∥CE．
【点评】本题主要考查了平行线的判定和性质、全等三角形的判定和性质，牢固掌握平行线的判定和性质、全等三角形的判定和性质等几何知识点是解题的关键．
22．（5分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，求证：BC＝CD．
【分析】连接AC，证明Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），即可得出结论．
【解答】证明：如图，连接AC，
∵∠B＝∠D＝90°，
∴△ABC和△ADC是直角三角形，
在Rt△ABC和Rt△ADC中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），
∴BC＝CD，
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明Rt△ABC≌Rt△ADC是解此题的关键．
23．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（﹣3，4），B（﹣3，1），C（1，2）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的图形△A'B'C'；
（2）写出A'、B'、C'的坐标（直接写出答案）A' （3，4） ；B' （3，1） ；C' （﹣1，2） ；
（3）直接写出△A'B'C'的面积 6 ．
【分析】（1）根据轴对称的性质即可在图中画出△ABC关于y轴对称的△A'B'C'；
（2）结合（1）即可写出A'、B'、C'的坐标；
（3）根据直角三角形的面积去计算△A'B'C'的面积．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）A'（3，4）；B'（3，1）；C'（﹣1，2）；
故答案为：（3，4）；（3，1）；（﹣1，2）；
（3）△A'B'C'的面积＝，
故答案为：6．
【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．
24．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，求证：BE＝CF．
【分析】欲证明BE＝CF，只要证明Rt△BDE≌Rt△CDF即可；
【解答】证明：∵AB＝AC，AD为∠BAC的平分线
∴BD＝CD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC
∴DE＝DF，
在Rt△BDE和Rt△CDF中
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF，
∴BE＝CF．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是证明Rt△BDE≌Rt△CDF．
25．（6分）如图，在△ABC中，∠BAC＝108°，AB＝AC，∠ABC的平分线BE交AC于E．请用等式表示线段AB，BC，CE之间的数量关系，并证明你的结论．
【分析】在BC上截取BF＝BA，连接EF，证△ABE≌△FBE（SAS），得∠BFE＝∠BAC＝108°，则∠CFE＝72°，再由三角形的外角性质得∠CEF＝∠BFE﹣∠C＝72°，则∠CFE＝∠CEF，然后证CE＝CF，即可得出结论．
【解答】解：AB+CE＝BC，证明如下：
如图，在BC上截取BF＝BA，连接EF，
∵∠BAC＝108°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝36°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠FBE，
在△ABE和△FBE中，
，
∴△ABE≌△FBE（SAS），
∴∠BFE＝∠BAC＝108°，
∴∠CFE＝180°﹣∠BFE＝180°﹣108°＝72°，
∵∠CEF＝∠BFE﹣∠C＝108°﹣36°＝72°，
∴∠CFE＝∠CEF，
∴CE＝CF，
∵BF+CF＝BC，
∴AB+CE＝BC．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及三角形的外角性质等知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
26．（7分）如图，在等边△ABC中，点P为△ABC内一点，连接AP，BP，CP，以P为顶点作∠APP'＝60°，且PP'＝AP，连接AP'，BP'．
（1）如图1，用等式表示BP'与CP的数量关系，并证明；
（2）如图2，当∠BPC＝120°时，
①直接写出∠P'BP的度数为 60° ；
②若D为BC的中点，连接PD，请用等式表示PD与AP的数量关系，并证明．
【分析】（1）利用SAS证明△ABP'≌△ACP，即可得出答案；
（2）①由三角形内角和定理知∠8+∠6＝180°﹣∠BPC＝60°，再利用角度之间的转化对∠P'BP进行转化，∠P'BP＝∠4+∠7＝∠5+60°﹣∠8＝60°﹣∠6+60°﹣∠8，从而解决问题；
②延长PD到N，使PD＝DN，连接BN，CN，得出四边形PBNC为平行四边形，则BN∥CP且BN＝CP，再利用SAS证明△P'BP≌△NBP，得PP'＝PN＝2PD．
【解答】解：（1）结论：BP'＝CP，
理由：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴∠2+∠3＝60°
∵将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到AP'，
∴AP＝AP'，∠PAP'＝60°，
∴∠1+∠2＝60°，
∴∠1＝∠3，
∴△ABP'≌△ACP（SAS），
∴BP'＝CP；
（2）①当∠BPC＝120°时，
则∠8+∠6＝180°﹣∠BPC＝60°，
∵△ABP'≌△ACP，
∴∠4＝∠5，
∴∠P'BP＝∠4+∠7
＝∠5+60°﹣∠8
＝60°﹣∠6+60°﹣∠8
＝120°﹣（∠6+∠8）
＝120°﹣60°
＝60°，
故答案为：60°；
②结论：AP＝2PD，理由如下：
延长PD到N，使PD＝DN，连接BN，CN，
∵D为BC的中点，
∴BD＝CD，
∴四边形PBNC为平行四边形，
∴BN∥CP，且BN＝CP，
∴BN＝BP'，∠9＝∠6，
又∵∠8+∠6＝60°，
∴∠8+∠9＝60°，
∴∠PBN＝60°＝∠P'BP，
又∵BP＝BP，P'B＝BN，
∴△P'BP≌△NBP（SAS），
∴PP'＝PN＝2PD，
又∵△APP'为正三角形，
∴PP'＝AP，
∴AP＝2PD．
【点评】本题是三角形综合题，主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质等知识，利用倍长中线构造平行四边形是解题的关键．
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