2022-2023学年北京市海淀区清华附中八年级（上）期中数学试卷【含解析】

这是一份2022-2023学年北京市海淀区清华附中八年级（上）期中数学试卷【含解析】，共31页。

A．B．
C．D．
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a+2a2＝3a3B．a3•a2＝a6
C．（a3）2＝a6D．（﹣2a）2＝﹣4a2
3．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝70°，BD平分∠ABC交AC于点D，则∠CDB等于（ ）
A．65°B．70°C．75°D．85°
4．（3分）已知x2+2mx+9是完全平方式，则m的值为（ ）
A．6B．±6C．3D．±3
5．（3分）一个等腰三角形的两边长分别为3cm和7cm，则此三角形的周长为（ ）
A．13 cmB．17 cm
C．7 cm或13 cmD．不确定
6．（3分）设am＝16，an＝8，则am﹣n的值是（ ）
A．2B．8C．24D．128
7．（3分）如图，已知直线PC是线段AB的垂直平分线，∠APC＝50°，则∠B＝（ ）
A．40°B．50°C．55°D．60°
8．（3分）在下列各式中，能运用平方差公式计算的是（ ）
A．（a﹣b）（b﹣a）B．（a﹣1）（﹣a+1）
C．（2a﹣b）（a+2b）D．（﹣a﹣b）（﹣b+a）
9．（3分）如图1，在边长为a的大正方形中，剪去一个边长为3的小正方形，将余下的部分按图中的虚线剪开后，拼成如图2所示的长方形，根据两个图形阴影部分面积相等的关系，可验证的等式为（ ）
A．（a﹣3）2＝a2﹣6a+9B．（a+3）2＝a2+6a+9
C．a（a+3）＝a2+3aD．（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9
10．（3分）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A，B是两个格点，如果点C也是图形中的格点，且△ABC为等腰三角形，所有符合条件的点C有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
二.填空题（本大题共16分，每小题2分）
11．（2分）若（a﹣2）0＝1，则a需要满足的条件是 ．
12．（2分）一个等腰三角形，它的顶角的度数是一个底角的4倍，它的底角是 度．
13．（2分）已知xa＝7，xb＝3，则xa+b＝ ．
14．（2分）如图，在△ABC中，BD和CD分别平分∠ABC和∠ACB，过点D作EF∥BC，分别交AB，AC于点E，F，若BE＝3，CF＝4，则线段EF的长为 ．
15．（2分）求值：20222022×（）2021×（π﹣3.14）0＝ ．
16．（2分）点M（a，5）与点N（﹣3，b）关于y轴对称，则2a﹣b＝ ．
17．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，∠BCD＝50°，B关于CD对称点是E，则∠ACE＝ °．
18．（2分）若关于x的多项式2x+m与x+3相乘所得的多项式中不含x的一次项，则m＝ ．
三.解答题（本大题共54分，第19题16分，第20-21题每题4分，第22-23题每题5分，第24、25题每题6分，第26题8分）
19．（16分）计算．
（1）2x2（x2﹣3x﹣2）；
（2）（x﹣2）（x﹣5）；
（3）（12m3﹣6m2+3m）÷3m；
（4）（3a+b﹣2）（3a﹣b+2）．
20．（4分）如图，在△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A＝∠D，∠ACB＝∠DBC，
求证：AB＝CD．
21．（4分）先化简，再求值：（x﹣2）2﹣（2x+3）（2x﹣3）+3x（x+2），其中x＝5．
22．（5分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A（﹣1，4），B（﹣2，1），C（﹣4，3）．
（1）△ABC的面积是 ；
（2）已知△ABC与△A1B1C1关于y轴对称，△A1B1C1与△A2B2C2关于x轴对称，请在坐标系中画出△A1B1C1和△A2B2C2；
（3）在y轴有一点P，使得△PA1B2周长最短，请画出点P的位置（保留画图的痕迹）．
23．（5分）已知x2+y2＝34，x+y＝2，求xy和x﹣y的值．
24．（6分）在等边△ABC中，D为直线BC上一动点，以AD为边在AD的右侧作等边△ADE，连CE．
（1）如图1，若点D在线段BC上，求证：BD＝CE；
（2）若AC＝7，CE＝3，直接写出CD的长度．
25．（6分）先阅读下面材料，再解决问题：
已知x2+bx+c＝0．在求关于x的代数式的值时，可将x2+bx+c＝0变形为x2＝﹣bx﹣c．就可以将x2表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次代换法”．
例如：已知x2+2x﹣4＝0，求代数式x2（x+4）的值．
解：∵x2+2x﹣4＝0，
∴x2＝﹣2x+4．
∴原式＝（﹣2x+4）（x+4）＝﹣2x2﹣8x+4x+16＝﹣2x2﹣4x+16＝﹣2（﹣2x+4）﹣4x+16＝4x﹣8﹣4x+16＝8．
∴x2（x+4）＝8．
请用“降次代换法”，完成下列各小题：
（1）若x2+x﹣15＝0，则代数式（x+4）（x﹣3）的值为 ．
（2）若x2+5x+1＝0，则代数式x（x2+5x）+（x+7）（x﹣1）的值为 ．
（3）已知x2+2x﹣1＝0，求代数式2x4+8x3+12x2+8x+3的值．
26．（8分）在△ABC中，∠ACB＝90°，延长BC至D，使DC＝BC，在AB的右侧作线段AE，使AE＝AB，连接DE交AC于点P．
（1）如图1，在线段PE上取点Q，使QE＝PD，连接AQ，求证：AP＝AQ；
（2）若∠BAE＝60°，依题意补全图2，用等式表示线段PA，PD，PE之间的数量关系，并证明．
四、附加题（本题共20分，第27、28题每题3分，第29、30题每题4分，第31题6分）
27．（3分）20222﹣2023×2021＝ ．
28．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，点E是AD上的一动点，以CE为边向上作等边△CEF，连接BF．则∠CBF＝ °．
29．（4分）定义一种新运算（a，b），若ac＝b，则（a，b）＝c，例（2，8）＝3，（3，81）＝4．已知（3，5）+（3，7）＝（3，x），则x的值为 ．
30．（4分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2，D为BC上一动点，EF垂直平分AD分别交AC于E、交AB于F，则BF的最大值为 ．
31．（6分）对于△ABC及其内部任意一点P，给出如下定义：若点P满足PA＜PB且PA＜PC，则称点P为点A关于△ABC的“邻近点”，在平面直角坐标系xOy中，点M坐标为（4，0）．
（1）如图1，点N在x轴上方，若△OMN为等边三角形．
①在点Q1（﹣2，0），Q2（1，1），Q3（2，2）中，点O关于△OMN的“邻近点”是 ；
②已知点Q是点O关于△OMN的“邻近点”，若点Q的横坐标为1，则线段OQ长度的取值范围是 ；
（2）已知点N的坐标为（n，4），
①若n＝4，在图2中画出所有点M关于△OMN的“邻近点”组成的图形；
②规定：横、纵坐标均为整数的点称为整点，当﹣1＜n＜9时，点M关于△OMN的“邻近点”中有m个整点，请直接写出m所有可能取值的和为 ．
2022-2023学年北京市海淀区清华附中八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（本大题共30分，每小题3分）
1．（3分）第24届冬季奥林匹克运动会，将于2022年02月04日～2022年02月20日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行．在会徽的图案设计中，设计者常常利用对称性进行设计，下列四个图案是历届会徽图案上的一部分图形，其中不是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A、是轴对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，故此选项错误；
D、不是轴对称图形，故此选项正确；
故选：D．
【点评】此题主要考查了利用轴对称设计图案，关键是掌握轴对称图形的概念．
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a+2a2＝3a3B．a3•a2＝a6
C．（a3）2＝a6D．（﹣2a）2＝﹣4a2
【分析】利用合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可．
【解答】解：A、a与2a2不属于同类项，不能合并，故A不符合题意；
B、a3•a2＝a5，故B不符合题意；
C、（a3）2＝a6，故C符合题意；
D、（﹣2a）2＝4a2，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
3．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝70°，BD平分∠ABC交AC于点D，则∠CDB等于（ ）
A．65°B．70°C．75°D．85°
【分析】利用等腰三角形的性质求出∠ABC，再利用角平分线的定义求出∠CBD，可得结论．
【解答】解：∵AC＝AB，
∴∠C＝∠ABC＝70°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠ABC＝35°，
∴∠CDB＝180°﹣∠C﹣∠CBD＝180°﹣70°﹣35°＝75°，
故选：C．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
4．（3分）已知x2+2mx+9是完全平方式，则m的值为（ ）
A．6B．±6C．3D．±3
【分析】根据完全平方公式的形式，可得答案．
【解答】解：已知x2+2mx+9是完全平方式，
∴m＝3或m＝﹣3，
故选：D．
【点评】本题考查了完全平方公式，注意符合条件的答案有两个，以防漏掉．
5．（3分）一个等腰三角形的两边长分别为3cm和7cm，则此三角形的周长为（ ）
A．13 cmB．17 cm
C．7 cm或13 cmD．不确定
【分析】题中没有指出哪个底哪个是腰，故应该分情况进行分析，注意应用三角形三边关系进行验证能否组成三角形．
【解答】解：当3cm是腰时，3+3＜7，不符合三角形三边关系，故舍去；
当7cm是腰时，周长＝7+7+3＝17cm．
故它的周长为17cm．
故选：B．
【点评】此题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系的运用；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
6．（3分）设am＝16，an＝8，则am﹣n的值是（ ）
A．2B．8C．24D．128
【分析】根据同底数幂的除法法则计算即可．
【解答】解：am﹣n＝am÷an
＝16÷8
＝2，
故选A．
【点评】本题考查同底数幂的除法，掌握同底数幂的除法法则是求解本题的关键．
7．（3分）如图，已知直线PC是线段AB的垂直平分线，∠APC＝50°，则∠B＝（ ）
A．40°B．50°C．55°D．60°
【分析】根据线段垂直平分线的性质得出PA＝PB，根据等腰三角形的性质求出∠A＝∠B，再根据直角三角形的两锐角互余求出即可．
【解答】解：∵直线PC是线段AB的垂直平分线，
∴PC⊥AB，PA＝PB，
∴∠B＝∠A，∠PCA＝90°，
∵∠APC＝50°，
∴∠B＝∠A＝90°﹣∠APC＝40°，
故选：A．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，直角三角形的性质等知识点，能熟记线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等是解此题的关键．
8．（3分）在下列各式中，能运用平方差公式计算的是（ ）
A．（a﹣b）（b﹣a）B．（a﹣1）（﹣a+1）
C．（2a﹣b）（a+2b）D．（﹣a﹣b）（﹣b+a）
【分析】运用平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．
【解答】解：A．（a﹣b）（b﹣a）中两项的符号都相反，故不能用平方差公式计算；
B．（a﹣1）（﹣a+1）中两项的符号都相反，故不能用平方差公式计算；
C．（2a﹣b）（a+2b）中不存在相同和相反的项，故不能用平方差公式计算；
D．（﹣a﹣b）（﹣b+a）符合平方差公式．
故选：D．
【点评】本题考查了平方差公式的应用，熟记公式是解题的关键．
9．（3分）如图1，在边长为a的大正方形中，剪去一个边长为3的小正方形，将余下的部分按图中的虚线剪开后，拼成如图2所示的长方形，根据两个图形阴影部分面积相等的关系，可验证的等式为（ ）
A．（a﹣3）2＝a2﹣6a+9B．（a+3）2＝a2+6a+9
C．a（a+3）＝a2+3aD．（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9
【分析】用代数式分别表示图1、图2中阴影部分的面积即可．
【解答】解：图1中，阴影部分的面积可以看作是两个正方形的面积差，即a2﹣32＝a2﹣9，
图2是长为a+3，宽为a﹣3的长方形，因此面积为（a+3）（a﹣3），
所以有（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9，
故选：D．
【点评】本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的前提．
10．（3分）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A，B是两个格点，如果点C也是图形中的格点，且△ABC为等腰三角形，所有符合条件的点C有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【分析】先利用勾股定理求出线段的长，再结合等腰三角形的定义，在网格中画出图形即可．
【解答】解：如图，点C1，C2，C3，C4，C5即为所求．
故选：C．
【点评】本题主要考查等腰三角形的定义及网格中利用勾股定理求线段的长，解题的关键是利用勾股定理求出线段长，要求学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
二.填空题（本大题共16分，每小题2分）
11．（2分）若（a﹣2）0＝1，则a需要满足的条件是 a≠2 ．
【分析】直接利用零指数幂的性质得出答案．
【解答】解：若（a﹣2）0＝1，则a需要满足的条件是：a≠2．
故答案为：a≠2．
【点评】此题主要考查了零指数幂的定义，正确把握定义是解题关键．
12．（2分）一个等腰三角形，它的顶角的度数是一个底角的4倍，它的底角是 30 度．
【分析】根据等腰三角形的性质可得，等腰三角形的两个底角相等，所以设底角为x，则顶角就是4x，再根据三角形内角和是180度，即可列出方程求出x的值，即可得出这个等腰三角形的底角的度数．
【解答】解：设等腰三角形的底角为x°，则顶角就是4x°，则：
x+x+4x＝180，
∴x＝30，
故答案为：30．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质，解答此题应明确三角形的内角度数的和是180°，求出最大的角的度数，然后根据三角形的分类判定类型．
13．（2分）已知xa＝7，xb＝3，则xa+b＝ 21 ．
【分析】根据逆用同底数幂的乘法进行计算即可求解．
【解答】解：当xa＝7，xb＝3时，
xa+b
＝xa⋅xb
＝7×3
＝21．
故答案为：21．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法，掌握同底数幂的乘法运算法则是解题的关键．
14．（2分）如图，在△ABC中，BD和CD分别平分∠ABC和∠ACB，过点D作EF∥BC，分别交AB，AC于点E，F，若BE＝3，CF＝4，则线段EF的长为 7 ．
【分析】根据BD平分∠ABC，可得∠ABD＝∠CDB，再利用EF∥BC，可证BE＝ED，同理可证DF＝CF，即可证明BE+CF＝EF．
【解答】解：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵EF∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC，
∴∠ABD＝∠EDB，
∴BE＝ED，
同理DF＝CF，
∴EF＝BE+CF＝3+4＝7，
故答案为：7．
【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质和平行线的性质，解答此题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质和判定．
15．（2分）求值：20222022×（）2021×（π﹣3.14）0＝ 2022 ．
【分析】直接利用积的乘方运算法则以及零指数幂的性质分别化简，进而得出答案．
【解答】解：原式＝2022×[20222021×（）2021]×1
＝2022×1×1
＝2022．
故答案为：2022．
【点评】此题主要考查了积的乘方运算以及零指数幂的性质，正确化简各数是解题关键．
16．（2分）点M（a，5）与点N（﹣3，b）关于y轴对称，则2a﹣b＝ ． ．
【分析】直接利用关于y轴对称点的性质得出a，b的值，再利用有理数的乘方运算法则求出答案．
【解答】解：∵点M（a，5），点N（﹣3，b）关于y轴对称，
∴a＝3，b＝5，
∴2a﹣b＝2×3﹣5＝1．
故答案为：1．
【点评】此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确得出a，b的值是解题关键．
17．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，∠BCD＝50°，B关于CD对称点是E，则∠ACE＝ 10 °．
【分析】根据轴对称的性质可知∠B＝∠E，根据CD⊥AB于D，∠BCD＝50°，得∠B，再求出∠DCE的度数，再根据∠ACE＝∠DCE﹣∠DCA，从而求得答案．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，∠BCD＝50°，B关于CD对称点是E，
∴∠B＝∠E，∠B＝90°﹣∠BCD＝90°﹣50°＝40，∠B＝∠E＝40°，∠DCA＝90°﹣∠BCD＝90°﹣50°＝40°，
在△CDE中，
∵CD⊥AB于D，
∴∠CDE＝90°，∠E＝40°，
∴∠DCE＝90°﹣∠E＝90°﹣40°＝50°，
∴∠ACE＝∠DCE﹣∠DCA＝50°﹣40°＝10°，
故答案为：10°．
【点评】本题考查轴对称的性质，直角三角形性质，关键是得到∠ACE＝∠DCE﹣∠DCA．
18．（2分）若关于x的多项式2x+m与x+3相乘所得的多项式中不含x的一次项，则m＝ ﹣6 ．
【分析】根据多项式与多项式相乘的法则计算，再根据相乘所得的多项式中不含x的一次项，列出等式计算即可．
【解答】解：（2x+m）（x+3）
＝2x2+6x+mx+3m
＝2x2+（6+m）x+3m，
∵相乘所得的多项式中不含x的一次项，
∴6+m＝0，
∴m＝﹣6，
故答案为：﹣6．
【点评】本题主要考查了多项式乘多项式，掌握多项式与多项式相乘的法则，要求多项式中不含有哪一项时，应让这一项的系数为0是解题关键．
三.解答题（本大题共54分，第19题16分，第20-21题每题4分，第22-23题每题5分，第24、25题每题6分，第26题8分）
19．（16分）计算．
（1）2x2（x2﹣3x﹣2）；
（2）（x﹣2）（x﹣5）；
（3）（12m3﹣6m2+3m）÷3m；
（4）（3a+b﹣2）（3a﹣b+2）．
【分析】（1）根据单项式乘多项式计算即可；
（2）根据多项式乘多项式计算即可；
（3）根据多项式除以单项式计算即可；
（4）根据完全平方公式和平方差公式计算即可．
【解答】解：（1）2x2（x2﹣3x﹣2）＝2x4﹣6x3﹣4x2；
（2）（x﹣2）（x﹣5）
＝x2﹣5x﹣2x+10
＝x2﹣7x+10；
（3）（12m3﹣6m2+3m）÷3m
＝12m3÷3m﹣6m2÷3m+3m÷3m
＝4m2﹣2m+1；
（4）（3a+b﹣2）（3a﹣b+2）
＝[3a+（b﹣2）][3a﹣（b﹣2）]
＝9a2﹣（b﹣2）2
＝9a2﹣b2+4b﹣4．
【点评】本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确整式混合运算的运算法则和运算顺序．
20．（4分）如图，在△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A＝∠D，∠ACB＝∠DBC，
求证：AB＝CD．
【分析】由“AAS”可证△ABC≌△DCB，可得AB＝CD．
【解答】证明：在△ABC和△DCB中，
，
∴△ABC≌△DCB（AAS），
∴AB＝CD．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
21．（4分）先化简，再求值：（x﹣2）2﹣（2x+3）（2x﹣3）+3x（x+2），其中x＝5．
【分析】根据完全平方公式、平方差公式和单项式乘多项式，可以将题目中的式子展开，然后合并同类项即可化简题目中的式子，最后将x的值代入化简后的式子计算即可．
【解答】解：（x﹣2）2﹣（2x+3）（2x﹣3）+3x（x+2）
＝x2﹣4x+4﹣4x2+9+3x2+6x
＝2x+13，
当x＝15时，原式＝2×15+13＝43．
【点评】本题考查整式的混合运算—化简求值，解答本题的关键是明确整式混合运算的运算法则和运算顺序．
22．（5分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A（﹣1，4），B（﹣2，1），C（﹣4，3）．
（1）△ABC的面积是 4 ；
（2）已知△ABC与△A1B1C1关于y轴对称，△A1B1C1与△A2B2C2关于x轴对称，请在坐标系中画出△A1B1C1和△A2B2C2；
（3）在y轴有一点P，使得△PA1B2周长最短，请画出点P的位置（保留画图的痕迹）．
【分析】（1）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算△ABC的面积；
（2）利用关于y轴对称的点的坐标特征得到A1、B1、C1的坐标，再描点得到△A1B1C1；然后利用关于x轴对称的点的坐标特征得到A2、B2、C2的坐标，再描点得到△A2B2C2；
（3）由于A1B2为定值，则PA1+PB2的值最小时，△PA1B2周长最短，利用点A与点A1关于y轴对称得到PA＝PA1，所以PA1+PB2＝PA+PB2＝AB2，根据两点之间线段最短得到此时PA1+PB2的值最小．
【解答】解：（1）△ABC的面积＝3×3﹣×2×2﹣×1×3﹣×3×1＝4；
故答案为：4；
（2）如图，△A1B1C1和△A2B2C2为所作；
（3）如图，点P为所作．
【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换：掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征是解决问题的关键．也考查了最短路径问题．
23．（5分）已知x2+y2＝34，x+y＝2，求xy和x﹣y的值．
【分析】先根据完全平方公式求出xy的值，再根据完全平方公式求出（x﹣y）2的值，再求出答案即可．
【解答】解：∵x2+y2＝34，x+y＝2，x2+y2＝（x+y）2﹣2xy，
∴34＝22﹣2xy，
∴xy＝﹣15，
∴（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝34﹣2×（﹣15）＝64，
∴x﹣y＝±8．
【点评】本题考查了完全平方公式，能灵活运用完全平方公式进行变形是解此题的关键，注意：a2+2ab+b2＝（a+b）2，a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2．
24．（6分）在等边△ABC中，D为直线BC上一动点，以AD为边在AD的右侧作等边△ADE，连CE．
（1）如图1，若点D在线段BC上，求证：BD＝CE；
（2）若AC＝7，CE＝3，直接写出CD的长度．
【分析】（1）证明△ABD≌△ACE（SAS），可得结论；
（2）分两种情况画出图形，结合（1）的结论可得答案．
【解答】（1）证明：如图1中，∵△ABC，△ADE为等边三角形，
∴∠BAC＝∠DAE，AB＝AC，AD＝AE，
∴∠BAD+∠CAD＝∠CAE+∠CAD，
即∠BAD＝∠CAE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE；
（2）解：①D在边BC上，如图：
∵△ABC为等边三角形，
∴BC＝AC＝7，
由（1）知BD＝CE＝3，
∴CD＝BC﹣BD＝7﹣3＝4，
②D在B左侧时，如图：
同理可证△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE＝3，
∴CD＝BC+BD＝7+3＝10，
综上所述，CD的长为4或10．
【点评】本题考查等边三角形中的旋转问题，涉及全等三角形的判定与旋转，解题的关键是证明△ABD≌△ACE．
25．（6分）先阅读下面材料，再解决问题：
已知x2+bx+c＝0．在求关于x的代数式的值时，可将x2+bx+c＝0变形为x2＝﹣bx﹣c．就可以将x2表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次代换法”．
例如：已知x2+2x﹣4＝0，求代数式x2（x+4）的值．
解：∵x2+2x﹣4＝0，
∴x2＝﹣2x+4．
∴原式＝（﹣2x+4）（x+4）＝﹣2x2﹣8x+4x+16＝﹣2x2﹣4x+16＝﹣2（﹣2x+4）﹣4x+16＝4x﹣8﹣4x+16＝8．
∴x2（x+4）＝8．
请用“降次代换法”，完成下列各小题：
（1）若x2+x﹣15＝0，则代数式（x+4）（x﹣3）的值为 3 ．
（2）若x2+5x+1＝0，则代数式x（x2+5x）+（x+7）（x﹣1）的值为 ﹣8 ．
（3）已知x2+2x﹣1＝0，求代数式2x4+8x3+12x2+8x+3的值．
【分析】（1）对代数式展开计算，再用“降次代换法”求值即可；
（2）对代数式展开合并计算，再用“降次代换法”求值即可；
（3）用“降次代换法”对式子进行逐一降次，再进行运算求值即可．
【解答】解：（1）（x+4）（x﹣3）＝x2+x﹣12，
∵x2+x﹣15＝0，
∴x2＝15﹣x，
∴x2+x﹣12＝15﹣x+x﹣12＝15﹣12＝3，
∴代数式（x+4）（x﹣3）的值为3．
故答案为：3；
（2）∵x2+5x+1＝0，
∴x2＝﹣5x﹣1
x（x2+5x）+（x+7）（x﹣1）
＝x（﹣5x﹣1+5x）+x2+6x﹣7
＝﹣x+（﹣5x﹣1）+6x﹣7
＝﹣6x+6x﹣7﹣1
＝﹣8，
∴代数式x（x2+5x）+（x+7）（x﹣1）的值为﹣8．
故答案为：﹣8；
（3）∵x2+2x﹣1＝0，
∴x2＝1﹣2x，
2x4+8x3+12x2+8x+3
＝2（1﹣2x）2+8x（1﹣2x）+12x2+8x+3
＝2（1﹣4x+4x2）+8x﹣16x2+12x2+8x+3
＝2﹣8x+8x2+8x﹣16x2+12x2+8x+3
＝5+4x2+8x
＝5+4（1﹣2x）+8x
＝5+4﹣8x+8x
＝9，
∴2x4+8x3+12x2+8x+3的值为9．
【点评】本题考查了因式分解的引用以及阅读材料的能力，能正确把握阅读材料信息并应用是解本题的关键，综合性较强，难度较大．
26．（8分）在△ABC中，∠ACB＝90°，延长BC至D，使DC＝BC，在AB的右侧作线段AE，使AE＝AB，连接DE交AC于点P．
（1）如图1，在线段PE上取点Q，使QE＝PD，连接AQ，求证：AP＝AQ；
（2）若∠BAE＝60°，依题意补全图2，用等式表示线段PA，PD，PE之间的数量关系，并证明．
【分析】（1）证出AD＝AE，由等腰三角形的性质得出∠ADP＝∠E，证明△ADP≌△AEQ（SAS），由全等三角形的性质得出AP＝AQ；
（2）在DE是截取QE＝DP，连接AQ，由（1）可知△AEQ≌△ADP，得出AQ＝AP，∠EAQ＝∠DAP，证明△APQ是等边三角形，由等边三角形的性质得出PA＝PQ，则可得出结论．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，
∴AC⊥DB，
∵DC＝BC，
∴AD＝AB，
∵AE＝AB，
∴AD＝AE，
∴∠ADP＝∠E，
又∵QE＝PD，
∴△ADP≌△AEQ（SAS），
∴AP＝AQ；
（2）解：PE＝PA+PD．
理由如下：
在DE是截取QE＝DP，连接AQ，
由（1）可知△AEQ≌△ADP，
∴AQ＝AP，∠EAQ＝∠DAP，
∵∠DAC＝∠BAC，
∴∠BAC＝∠EAQ，
∵∠BAE＝∠BAQ+∠EAQ＝60°，
∴∠BAQ+∠BAC＝∠PAQ＝60°，
∴△APQ是等边三角形，
∴PA＝PQ，
∴PE＝PQ+EQ＝PA+PD．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，证明△ADP≌△AEQ是解题的关键．
四、附加题（本题共20分，第27、28题每题3分，第29、30题每题4分，第31题6分）
27．（3分）20222﹣2023×2021＝ 1 ．
【分析】根据平方差公式进行计算即可．
【解答】解：原式＝20222﹣（2022+1）（2022﹣1）
＝20222﹣20222+1
＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查平方差公式，掌握平方差公式结构特征是正确应用的前提．
28．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，点E是AD上的一动点，以CE为边向上作等边△CEF，连接BF．则∠CBF＝ 30 °．
【分析】根据等腰三角形的性质可得AD⊥BC且BD＝CD，进一步可得BE＝CE，所以∠EBC＝∠ECB，根据等边三角形的性质可得BE＝FE，所以∠EBF＝∠EFB，再根据三角形内角和定理，可得∠CBF的度数．
【解答】解：连接BE，如图所示：
∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC且BD＝CD，
∴AD垂直平分BC，
∵点E是AD上的一动点，
∴BE＝CE，
∴∠EBC＝∠ECB，
∵△CEF是等边三角形，
∴EC＝EF，∠EFC＝∠ECF＝60°，
∴BE＝EF，
∴∠EBF＝∠EFB，
∴∠ECB+∠EFB＝∠CBF，
∵∠CBF+∠BCF+∠BFC＝180°，
∴2∠CBF+60°+60°＝180°，
∴∠CBF＝30°，
故答案为：30．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理等，熟练掌握这些性质是解题的关键．
29．（4分）定义一种新运算（a，b），若ac＝b，则（a，b）＝c，例（2，8）＝3，（3，81）＝4．已知（3，5）+（3，7）＝（3，x），则x的值为 35 ．
【分析】设3m＝5，3n＝7，根据新运算定义用m、n表示（3，5）+（3，7），得方程，求出x的值．
【解答】解：设3m＝5，3n＝7，
依题意（3，5）＝m，（3，7）＝n，
∴（3，5）+（3，7）＝m+n．
∴（3，x）＝m+n，
∴x＝3m+n
＝3m×3n
＝5×7
＝35．
故答案为：35．
【点评】本题考查了幂的乘方、积的乘方等知识点，理解并运用新运算的定义是解决本题的关键．
30．（4分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2，D为BC上一动点，EF垂直平分AD分别交AC于E、交AB于F，则BF的最大值为 ．
【分析】要使BF最大，则AF需要最小，而AF＝FD，从而通过圆与BC相切来解决问题．
【解答】解：方法一、∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2，
∴AB＝2AC＝4，
∵EF垂直平分AD，
∴AF＝DF，
若要使BF最大，则AF需要最小，
∴以F为圆心，AF为半径的圆与BC相切即可，
∴FD⊥BD，
∴AB＝AF+2AF＝4，
∴AF＝，
∴BF的最大值为4﹣＝，
方法二：过点F作FH⊥BC于H，连接DF，
设AF＝x，则BF＝4﹣x，
∵∠B＝30°，
∴FH＝BF＝2﹣x，
∴x≥2﹣x，
解得x≥，
∴AF最小值为，BF的最大值为4﹣＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、30°角所对直角边是斜边的一半以及圆与直线的位置关系，将BF的最大值转化为AF最小是解决本题的关键，属于压轴题．
31．（6分）对于△ABC及其内部任意一点P，给出如下定义：若点P满足PA＜PB且PA＜PC，则称点P为点A关于△ABC的“邻近点”，在平面直角坐标系xOy中，点M坐标为（4，0）．
（1）如图1，点N在x轴上方，若△OMN为等边三角形．
①在点Q1（﹣2，0），Q2（1，1），Q3（2，2）中，点O关于△OMN的“邻近点”是 Q2 ；
②已知点Q是点O关于△OMN的“邻近点”，若点Q的横坐标为1，则线段OQ长度的取值范围是 1≤OQ＜2 ；
（2）已知点N的坐标为（n，4），
①若n＝4，在图2中画出所有点M关于△OMN的“邻近点”组成的图形；
②规定：横、纵坐标均为整数的点称为整点，当﹣1＜n＜9时，点M关于△OMN的“邻近点”中有m个整点，请直接写出m所有可能取值的和为 13 ．
【分析】（1）①利用勾股定理以及点P为点A关于△ABC的“邻近点”的定义判断即可；
②判断出两个特殊位置OQ的值，可得结论；
（2）①根据点P为点A关于△ABC的“邻近点”，画出图形即可；
②分6种情形：如图3﹣1中，当﹣1＜n≤1时，点M关于△OMN的“邻近点”的图形是图纸阴影部分，不存在整数点．如图3﹣2中，当1＜n≤4时，点M关于△OMN的“邻近点”的图形是图纸阴影部分，存在1个整数点．如图3﹣3中，当4＜n＜6时，点M关于△OMN的“邻近点”的图形是图纸阴影部分，存在4个整数点．如图3﹣4中，当n＝6时，点M关于△OMN的“邻近点”的图形是图纸阴影部分，存在3个整数点．如图3﹣5中，当6＜n≤8时，点M关于△OMN的“邻近点”的图形是图纸阴影部分，存在4个整数点．如图3﹣6中，当8＜n＜9时，点M关于△OMN的“邻近点”的图形是图纸阴影部分，存在5个整数点．由此可得结论．
【解答】解：（1）①∵△OMN为等边三角形，M（4，0），
∴N（2，2），
∵OQ2＝＝，OQ3＝＝2，
MQ2＝＝，MQ3＝＝2，
NQ2＝＝，NQ3＝2﹣2，
OQ2＜MQ2且OQ2＜NQ2，OQ3＝MQ3且OQ3＞NQ3，
点Q1在三角形的外面，不符合题意．
∴点O关于△OMN的“邻近点”是Q2，
故答案为：Q2；
②当点Q在OM边上即x轴上时，Q（1，0），如图1，
此时OQ＝1，MQ＝3，NQ＝，
当点Q在ON边上时，Q（1，），
此时，OQ＝2，MQ＝＝2，NQ＝2，
∴线段OQ长度的取值范围是1≤OQ＜2，
故答案为：1≤OQ＜2；
（2）①当n＝4时，N（4，4），
分别取OM、MN、ON的中点C、A、B，所有点M关于△OMN的“邻近点”组成的图形为正方形ABCM（不包括边）如图2；
②如图3﹣1中，当﹣1＜n≤1时，点M关于△OMN的“邻近点”的图形是图纸阴影部分，不存在整数点．
如图3﹣2中，当1＜n≤4时，点M关于△OMN的“邻近点”的图形是图纸阴影部分，存在1个整数点．
如图3﹣3中，当4＜n＜6时，点M关于△OMN的“邻近点”的图形是图纸阴影部分，存在4个整数点．
如图3﹣4中，当n＝6时，点M关于△OMN的“邻近点”的图形是图纸阴影部分，存在4个整数点．
如图3﹣5中，当6＜n≤8时，点M关于△OMN的“邻近点”的图形是图纸阴影部分，存在4个整数点．
如图3﹣6中，当8＜n＜9时，点M关于△OMN的“邻近点”的图形是图纸阴影部分，存在5个整数点．
综上所述，m的值为1或4或5，
∴m所有可能取值的和为1+4+5＝10．
故答案为：10．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，勾股定理，点P为点A关于△ABC的“邻近点”的定义等知识，解题的关键是理解新的定义，学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/7/10 12:22:36；用户：笑涵数学；邮箱：15699920825；学号：36906111