北师大版2023年中考数学一轮复习《图形的相似》单元练习（含答案）

北师大版2023年中考数学一轮复习

《图形的相似》单元练习

一              、选择题

1.下列各组中得四条线段成比例的是（　　）

A.4cm、2cm、1cm、3cm

B.1cm、2cm、3cm、5cm

C.3cm、4cm、5cm、6cm

D.1cm、2cm、2cm、4cm

2.如图,直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F.AC与DF相交于点H,且AH=2,HB=1,BC=5,则的值为（    ）

  A.                            B.2                          C.                               D.

3.下面给出了一些关于相似的命题，其中真命题有(　　)

(1)菱形都相似；

(2)等腰直角三角形都相似；

(3)正方形都相似；

(4)矩形都相似；

(5)正六边形都相似.

A.1个     B.2个    C.3个      D.4个

4.某机器零件在图纸上的长度是21 mm，它的实际长度是630 mm，则图纸的比例尺是(　　)

A.1∶20                                    B.1∶30           C.1∶40                        D.1∶50

5.已知△ABC∽△A′B′C′且＝，则S△ABC∶S△A′B′C′为(　　)

A.1∶2          B.2∶1           C.1∶4          D.4∶1

6.有甲、乙两个三角形木框，甲三角形木框的三边长分别为1，，，乙三角形木框的三边长分别为5，，，则甲、乙两个三角形(　 　)

A.一定相似        B.一定不相似        C.不一定相似       D.无法判断

7.如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似比为2：3，已知AB＝4，则DE的长等于(      )

A.6          B.5              C.9           D.

8.如图，在△ABC中，D是AB边上的一点，若∠ACD＝∠B，AD＝1，AC＝2，△ADC的面积为1，则△BCD的面积为(　 　)

A.1          B.2              C.3           D.4

9.如图，身高为1.6米的某学生想测量学校旗杆的高度，当她在C处时，她的影子正好与旗杆的影子重合，并测得AC＝2米，BC＝8米，则旗杆的高度是(　　)

A.6.4米         B.7米          C.8米          D.9米

10.如图，在△ABC 中，∠C＝90°，BC＝3，D，E 分别在 AB、AC上，将△ADE沿DE翻折后，点A正好落在点A′处，若A′为CE的中点，则折痕DE的长为(    )

A.          B.3                 C.2            D.1

11.如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1和S2，比较S1与S2的大小(　    　)

A.S1＞S2                        B.S1＜S2                         C.S1＝S2                      D.不能确定

12.一块矩形木板ABCD，长AD＝3cm，宽AB＝2cm，小虎将一块等腰直角三角板的一条直角边靠在顶点C上，另一条直角边与AB边交于点E，三角板的直角顶点P在AD边上移动(不含端点A、D)，当线段BE最短时，AP的长为(　　)

 A.0.5cm                        B.1cm                         C.1.5cm                        D.2cm

二              、填空题

13.如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为1：，则这两个四边形每组对应顶点到位似中心的距离的比值是__________.

14.若四边形ABCD与四边形A/B/C/D/的相似比为3∶2，那么四边形A/B/C/D/与四边形ABCD的相似比为        .

15.如图，△ABC中，DE∥BC，交边AB、AC于D、E，若AE：EC＝1：2，AD＝3，则BD＝ 　  ．

16.如图，已知小鱼同学的身高(CD)是1.6米，她与树(AB)在同一时刻的影子长分别为DE＝2米，BE＝5米，那么树的高度AB＝　　   米．

17.如图，已知零件的外径为25 mm，现用一个交叉卡钳(两条尺长AC和BD相等，OC＝OD)测量零件的内孔直径AB.若OC∶OA＝1∶2，量得CD＝10 mm，则零件的厚度x＝_____mm.

18.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点F在边AC上，并且CF＝2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是     ．

三              、作图题

19.如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点坐标分别为A(﹣2，4)，B(﹣2，1)，C(﹣5，2).

(1)请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1.

(2)将△A1B1C1的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以﹣2，得到对应的点A2，B2，C2，请画出△A2B2C2.

(3)求△A1B1C1与△A2B2C2的面积比，即S1：S2 ＝       (不写解答过程，直接写出结果).

四              、解答题

20.如图，已知点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且AC＝1，CD＝2，DB＝4.

求证：△ACP∽△PDB.

21.如图所示，已知AB∥CD，AD，BC相交于点E，F为BC上一点，且∠EAF＝∠C.求证：

(1) ∠EAF＝∠B；

(2) AF2＝FE·FB.

22.一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子来测量一路灯D的高度，如图，当李明走到点A处时，张龙测得李明直立身高AM与其影子长AE正好相等，接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处时，李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB＝1.25m.已知李明直立时的身高为1.75m，求路灯CD的高.

23.如图，四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，AC平分∠BAD，点P是AC延长线上一点，且PD⊥AD.

(1)求证：∠BDC＝∠PDC；

(2)若AC与BD相交于点E，AB＝1，CE∶CP＝2∶3，求AE的长．

24.如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为(2，3)，双曲线y＝(x>0)的图象经过BC上的点D与AB交于点E，连接DE，若E是AB的中点.

(1)求点D的坐标；

(2)点F是OC边上一点，若△FBC和△DEB相似，求点F的坐标.

25.如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB.

(1)求证：PC是⊙O的切线；

(2)求证：BC=AB；

(3)点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若AB=4，求MN·MC的值.

答案

1.D

2.D

3.C.

4.B

5.C

6.A.

7.A.

8.C.

9.C

10.D

11.B.

12.C.

13.答案为：.

14.答案为：3：2.

15.答案为：6．

16.答案为：4．

17.答案为：2.5.

18.答案为：.

19.解：(1)如图所示：△A1B1C1即为所求；

(2)如图所示：△A2B2C2即为所求；

(3)1：4.

20.证明：∵△PCD是等边三角形，

∴∠PCD＝∠PDC＝60°，PC＝CD＝PD＝2，

∴∠PCA＝∠PDB＝120°，

∵AC＝1，BD＝4，

∴，＝，

∴＝，

∴△ACP∽△PDB.

21.证明：(1)∵AB∥CD，

∴∠B＝∠C，

又∠C＝∠EAF，

∴∠EAF＝∠B　

(2)∵∠EAF＝∠B，∠AFE＝∠BFA，

∴△AFE∽△BFA，

则＝，

∴AF2＝FE·FB

22.解：由题意知AM＝BN＝1.75m，设CD＝xm.

∵AE＝AM，AM⊥EC，

∴∠E＝45°，

∴EC＝CD＝xm，AC＝(x－1.75)m.

∵CD⊥EC，BN⊥EC，

∴BN∥CD，

∴△ABN∽△ACD，

∴＝，即＝，

解得x＝6.125.

答：路灯CD的高为6.125m.

23.证明：(1)∵AB＝AD，AC平分∠BAD，

∴AC⊥BD，

∴∠ACD＋∠BDC＝90°.

∵AC＝AD，

∴∠ACD＝∠ADC.

∴∠ADC＋∠BDC＝90°.

又∵PD⊥AD，

∴∠ADC＋∠PDC＝90°.

∴∠BDC＝∠PDC.

(2)解：如图，过点C作CM⊥PD于点M.

∵∠BDC＝∠PDC，CM⊥PD，AC⊥BD，

∴CE＝CM.

∵∠CMP＝∠ADP＝90°，∠P＝∠P，[

∴△CPM∽△APD.

∴＝.

设CM＝CE＝x，∵CE∶CP＝2∶3，

∴PC＝x.

∵AB＝AD＝AC＝1，

∴＝.解得x＝，即CE＝.[

经检验，x＝是方程的解且符合题意．

故AE＝AC－CE＝1－＝.

24.解：(1)∵四边形OABC为矩形，

∴AB⊥x轴.

∵E为AB的中点，点B的坐标为(2，3)，

∴点E的坐标为(2,).

∵点E在反比例函数y＝的图象上，

∴k＝3，

∴反比例函数的解析式为y＝.

∵四边形OABC为矩形，

∴点D与点B的纵坐标相同，将y＝3代入y＝可得x＝1，

∴点D的坐标为(1，3).

(2)由(1)可得BC＝2，CD＝1，

∴BD＝BC－CD＝1.

∵E为AB的中点，

∴BE＝.

若△FBC∽△DEB，

则＝，即＝，

∴CF＝，

∴OF＝CO－CF＝3－＝，

∴点F的坐标为(0,).

若△FBC∽△EDB，

则＝，即＝，

∴CF＝3，此时点F和点O重合.

综上所述，点F的坐标为(0,)或(0，0).

25.解：(1)∵OA=OC，∴∠A=∠ACO，

∵∠COB=2∠A，∠COB=2∠PCB，

∴∠A=∠ACO=∠PCB.

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACO＋∠OCB=90°，

∴∠PCB＋∠OCB=90°，即OC⊥CP，

∵OC是⊙O的半径，

∴PC是⊙O的切线

(2)∵PC=AC，

∴∠A=∠P，∴∠A=∠ACO=∠PCB=∠P，

∵∠COB=∠A＋∠ACO，∠CBO=∠P＋∠PCB，

∴∠CBO=∠COB，

∴BC=OC，

∴BC=AB

(3)连结MA，MB，∵点M是弧AB的中点，

∴=，∴∠ACM=∠BCM，

∵∠ACM=∠ABM，

∴∠BCM=∠ABM，

∵∠BMC=∠NMB，

∴△MBN∽△MCB，

∴=，

∴BM2=MC·MN，

∵AB是⊙O的直径，=，

∴∠AMB=90°，AM=BM，

∵AB=4，

∴BM=2，

∴MC·MN=BM2=8.