2023年中考苏科版数学一轮复习专题讲义与练习-图形的相似

2023年中考数学一轮复习专题讲义与练习

图形的相似

［课标要求］

1.了解线段的比，成比例线段，了解比例的基本性质.

2.了解黄金分割.

3.了解相似三角形、相似多边形及相似比的概念.

4.熟练掌握相似三角形的判定和性质.

5.了解平行投影，理解在平行光线的照射下物高与影长的关系.

　　6.了解中心投影，理解在点光源的照射下，物高与影长的关系

7.了解位似图形及其有关概念，了解位似与相似的联系和区别，掌握位似图形的性质.画法，能够利用作位似图形的方法将一个图形放大或缩小．

［要点梳理］

1.比例线段：在四条线段a.b.c.d中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比即（或a：b＝c：d）,那么这四条线段a.b.c.d叫做成比例线段,简称比例线段.

在比例式（或a：b＝b：c）中，a.b.c.d称为比例的＿＿＿＿＿，a.d为比例＿＿＿＿＿，b.c称为比例＿＿＿＿＿，在比例式（或a：b＝c：d）当b＝c时，b叫做a和d的比例＿＿＿＿

2.黄金分割：点C把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC）且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割（点C叫做线段的黄金分割点，AC＝AB≈0.618AB）（口诀：两式两点三个数，两种判法会画图）

3.＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿是相似图形.

4.＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿叫做相似三角形.

5.＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿叫做相似比.

6.相似三角形的判定方法：

（1）若DE∥BC（A型和X型）则△ADE∽△ABC

（2）射影定理：若CD为Rt△ABC斜边上的高（双垂直三角形）

则Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD且AC2=________，CD2=_______，BC2=__ ___；

（3）两个角对应相等的两个三角形__________；

（4）两边对应成_________且夹角相等的两个三角形相似；

（5）三边对应成比例的两个三角形___________．

7.相似三角形的性质：

（1）相似三角形的对应边_________，对应角________．

（2）相似三角形的对应角平分线，对应边的________线，对应边上的_______线的比等于_______比，周长之比也等于________比.

（3）相似三角形的面积比等于_________的平方．

8.平行投影：在平行光的照射下，物体所产生的影.

　　9.中心投影：在点光源的照射下，物体所产生的影.

　　10.视点：眼睛的位置；视线：由视点发出的线；盲区：由于遮挡眼睛看不到的地方.

　　11.在平行光照射下，在同一时刻不同物体的物高与影长成比例.

12.（1）位似多边形：两个多边形的顶点A与A’.B与B’.C与C’所在的直线都经过同一点O，并且，像这样的两个多边形叫做位似多边形，这个点O叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比．

（2）掌握位似多边形概念，需注意：①两个图形是位似图形，根据定义可以证明它们也是相似图形，而相似图形不一定是位似图形；②两个位似图形的位似中心只有一个；③两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧；④位似比就是相似比．利用位似图形的定义可判断两个图形是否位似．

（3）位似多边形首先是相似图形，所以它具有相似图形的一切性质．位似图形是一种特殊的相似图形，它又具有特殊的性质，位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离的比等于位似比（相似比）．

（4）两个位似多边形的主要特征是：①对应顶点的连线都经过位似中心；②对应边互相平行（或在同一条直线上）．

（5）利用位似，可以将一个图形放大或缩小，作图时要注意:①首先确定位似中心，若要自己确定，位似中心的位置可随意选择；②确定原图形的关键点，如四边形有四个关键点，即它的四个顶点；③确定位似比，根据位似比的取值，可以判断是将一个图形放大还是缩小；④符合要求的图形不惟一，因为所作的图形与所确定的位似中心的位置有关，并且同一个位似中心的两侧各有一个符合要求的图形．

［强化训练］

一、选择题

1.若两个图形中，对应点到位似中心的线段比为2：3，则这两个图形的位似比为（　）

A．2：3           B．4：9           C．：         D．1：2

2.△ABC的三边长分别为..2，△A'B'C'的两边长分别为1和，如果△ABC∽△A'B'C'，那么△A'B'C'的第三边长应为（　　　）

3.如图，在△ABC中，点D.E分别在AB.AC边上，DE∥BC，若AD：AB＝3：4，AE＝6，则AC等于（　　）

A．3　　　   B．4　　　　  C．6　　　　  D．8

第3题图                        第4题图

4.如图,AB是斜靠在墙上的长梯,梯脚B距墙脚1.6m,梯上点D距墙1.4m,BD长0.55m,则梯子的长为（　　）

A.3.85m           B.4.00m  　   C.4.40m     D.4.50m

5.如图，在△ABC中，点D.E.F分别是边AB.AC.BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD∶DB = 3∶5，那么CF∶CB等于（    ）

A．5∶8 　　　B．3∶8　　　C．3∶5　　　D．2∶5

6.如图，点D在△ABC的边AC上，要判断△ADB与△ABC相似，添加一个条件，不正确的是（　　）

A．∠ABD＝∠C　　B．∠ADB＝∠ABC　　C．　　D．

　　　　第5题　　　　　　   第6题　　                 第7题　　

7.如图，DE是△ABC的中位线，F是DE的中点，CF的延长线交AB于点G，则AG：GD等于（　　）

A．2：1　　　　　B．3：1　　　C．3：2　　　　　D．4：3

二、填空题

8.若，则          ．

9.已知线段AB＝20cm，C是线段AB的黄金分割点且AC＞BC，则AC＝＿＿＿cm

10.如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3.4及x，那么x的值为＿＿＿＿＿.

11.在△ABC中，若∠AED＝∠B，DE＝6，AB＝10，AE＝8，则BC长为       。

12.如图，已知CD是Rt△ABC的斜边上的高，其中AD＝9cm，BD＝4cm，那么CD等于      cm

　第11题　　　　　　　　　　第12题　　　　　　　　

13.如图，△AOB缩小后得到△COD，△AOB与△COD的相似比是3.若C(1，2)，则点A的坐标为            .

14.如图，以点O为位似中心，将△ABC放大后得到△DEF，已知△ABC与△DEF的面积比为1：9，则OC：CF的值为            .

第13题                    第14题                   第15题

15.如图，△ABC与△A’B’C’是位似图形，点O是位似中心，若OA=2AA′,S△SABC=8，则SA’B’C’=_____.

三、解答题

16.如图，G是边长为8的正方形ABCD的边BC上的一点，矩形DEFG的边EF过点A，GD＝10．

（1）求FG的长；

（2）直接写出图中与△BHG相似的所有三角形．

17.如图，已知A（﹣4，0），B（0，4），现以A点为位似中心，相似比为9：4，将OB向右侧放大，B点的对应点为C．

（1）求C点坐标及直线BC的解析式；

（2）一抛物线经过B.C两点，且顶点落在x轴正半轴上，求该抛物线的解析式并画出函数图象；

（3）现将直线BC绕B点旋转与抛物线相交于另一点P，请找出抛物线上所有满足到直线AB距离为的点P．

18.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，CA＝4，矩形DEFC的顶点D.E.F都在△ABC的边上．

（1）设DE＝x，则AD＝　　（用含x的代数式表示）；

（2）求矩形DEFC的最大面积．

19.“创新实践”小组想利用镜子与皮尺测量大树AB的高度，因大树底部有障碍物，无法直接测量到大树底部的距离．聪明的小颖借鉴《海岛算经》的测量方法设计出如图所示的测量方案：测量者站在点F处，将镜子放在点M处时，刚好看到大树的顶端，沿大树方向向前走3米，到达点D处，将镜子放在点N处时，刚好看到大树的顶端（点F，M，D，N，B在同一条直线上），若测得FM＝1.5米，DN＝1米，测量者眼睛到地面的距离为1.6米，求大树AB的高度．

20.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D为边CB上的一个动点（点D不与点B重合），过D作DO⊥AB，垂足为O，点F在边AB上，且与点B关于直线DO对称，连接DF，AD．

（1）求证：△DOB∽△ACB；

（2）若AD平分∠CAB，求线段BD的长；

（3）当△AFD为等腰三角形时，求线段BD的长．

21.如图，在网格图中，每个小方格都是边长为1的正方形，四边形ABCD的顶点均为格点．

(1)以O为位似中心，在网格图中作四边形A′B′C′D′，使四边形A′B′C′D′与四边形ABCD位似，且＝2；

(2)求的值.

22.一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120mm，高AD＝80mm，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．

（1）求证：△AEF∽△ABC；

（2）求这个正方形零件的边长；

（3）如果把它加工成矩形零件如图2，问这个矩形的最大面积是多少？