专题01 猪蹄模型与锯齿模型（解析版）

这是一份专题01 猪蹄模型与锯齿模型（解析版），共24页。





















猪蹄模型与锯齿模型






模型讲解



【模型1】
如图，直线MA∥NB，则：①∠APB＝∠A+∠B；②∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3；③∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1


【证明】：
（1）∠APB＝∠A+∠B这个结论正确，理由如下
如图1，过点P作PQ∥AM，
∵PQ∥AM，AM∥BN，
∴PQ∥AM∥BN，
∴∠A＝∠APQ，∠B＝∠BPQ，
∴∠A+∠B＝∠APQ+∠BPQ＝∠APB，
即：∠APB＝∠A+∠B．
（2）根据（1）中结论可得，∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3，
故答案为：∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3，
（3）由（2）的规律得，∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1
故答案为：∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1
方法点拨
模型辨析：
①注意：拐角为左右依次排列②若出现不是依次排列的，应进行拆分


例题演练


1．如图，已知AB∥DE，∠A＝40°，∠ACD＝100°，则∠D的度数是（　　）

A．40° B．50° C．60° D．80°
【解答】解：过C作CF∥AB，
∵AB∥DE，
∴AB∥FC∥DE，
∴∠A＝∠ACF＝40°，∠D＝∠FCD，
∵∠ACD＝100°，
∴∠FCD＝100°﹣40°＝60°，
∴∠D＝60°．
故选：C．


2．已知AB∥CD，H为AB、CD之间一点，E为直线CD上点C左边一点；
（1）如图1所示，HF平分∠GHC，∠F＝∠CHF，∠AHG＝∠FCE，求证：∠A＝2∠FCE；
（2）如图2所示，∠AHG：∠GHF：∠FHC＝1：2：3，CF平分∠HCE，∠F＝64°，求∠A的度数．

【解答】（1）证明：过H作HM∥AB，如图：

∵AB∥CD，
∴HM∥AB∥CD，
∴∠BAH＝∠AHM，∠DCH＝∠CHM，
∴∠BAH+∠DCH＝∠AHM+∠CHM＝∠AHC，
∴∠DCH＝∠AHC﹣∠BAH，
设∠GHF＝α，
∵HF平分∠GHC，∠F＝∠CHF，
∴∠F＝∠CHF＝∠GHF＝α，∠AHC＝2α+∠AHG，
∴∠HCF＝180°﹣（∠F+∠CHF）＝180°﹣2α，
∴∠DCH+∠FCE＝180°﹣∠HCF＝2α，
∴∠DCH＝2α﹣∠FCE，
∴2α﹣∠FCE＝∠AHC﹣∠BAH＝（2α+∠AHG）﹣∠BAH，
∴∠BAH＝∠FCE+∠AHG，
∵∠AHG＝∠FCE，
∴∠BAH＝2∠FCE；
（2）解：∵∠AHG：∠GHF：∠FHC＝1：2：3，
∴设∠AHG＝x°，则∠GHF＝2x°，∠FHC＝3x°，∠AHC＝6x°，
由（1）知：∠BAH+∠DCH＝∠AHC，
∴∠BAH+∠DCH＝6x°，
∵CF平分∠HCE，
∴设∠HCF＝y°，则∠FCE＝y°，∠HCE＝2y°，
∴∠DCH＝180°﹣∠HCE＝180°﹣2y°，
∴∠BAH+180°﹣2y°＝6x°，即6x°+2y°＝∠BAH+180°，
∵∠F＝64°，
∴∠FHC+∠HCF＝180°﹣∠F＝116°，即3x°+y°＝116°，
∴∠BAH+180°＝6x°+2y°＝2（3x°+y°）＝232°，
∴∠BAH＝52°，即∠A＝52°．


强化训练



1．如图，直线m∥n，AB⊥BC，∠1＝35°，∠2＝62°，则∠BCD的度数为（　　）

A．97° B．117° C．125° D．152°
【解答】解：如图，过B作BE∥m，过C作CF∥n，
∵m∥n，
∴m∥BE∥CF∥n，
∴∠ABE＝∠1＝35°，∠DCF＝∠2＝62°，
又∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∴∠EBC＝90°﹣35°＝55°，
∴∠BCF＝∠EBC＝55°，
∴∠BCD＝∠BCF+∠DCF＝55°+62°＝117°，
故选：B．

2．如图，已知AB∥CD，EF⊥AB于点E，∠AEH＝∠FGH＝20°，∠H＝50°，则∠EFG的度数是（　　）

A．120° B．130° C．140° D．150°
【解答】解：过点H作HM∥AB，延长EF交CD于点N，如图所示：

∵AB∥CD，EF⊥AB，
∴AB∥HM∥CD，EN⊥CD，
∴∠EHM＝∠AEH＝20°，∠ENG＝90°，∠CGH＝∠GHM，
∴∠GHM＝∠EHG﹣∠EHM＝30°，
∴∠CGH＝30°，
∴∠CGF＝∠CGH+∠FGH＝50°，
∵∠EFG是△FGN的外角，
∴∠EFG＝∠ENG+∠CGF＝140°．
故选：C．
3．如图，AB∥CD，∠ABF＝∠ABE，∠CDF＝∠CDE，则∠E：∠F＝（　　）

A．2：1 B．3：1 C．3：2 D．4：3
【解答】解：过点E、F分别作AB的平行线EG、FH，由平行线的传递性可得AB∥EG∥FH∥CD，
∵AB∥FH，∴∠ABF＝∠BFH，
∵FH∥CD，∴∠CDF＝∠DFH，
∴∠BFD＝∠DFH+∠BFH＝∠CDF+∠ABF；
同理可得∠BED＝∠DEG+∠BEG＝∠ABE+∠CDE；
∵∠ABF＝∠ABE，∠CDF＝∠CDE，
∴∠BFD＝∠DFH+∠BFH＝∠CDF+∠ABF＝（∠ABE+∠CDE）＝∠BED，
∴∠BED：∠BFD＝3：2．
故选：C．

4．如图，AB∥EF，∠C＝90°，则α、β和γ的关系是（　　）

A．β＝α+γ B．α+β+γ＝180° C．α+β﹣γ＝90° D．β+γ﹣α＝180°
【解答】解：延长DC交AB与G，延长CD交EF于H．
在直角△BGC中，∠1＝90°﹣α；△EHD中，∠2＝β﹣γ，
∵AB∥EF，
∴∠1＝∠2，
∴90°﹣α＝β﹣γ，即α+β﹣γ＝90°．
故选：C．

5．如图，AB∥CD，EF与AB、CD分别相交于点E、F，EP⊥EF，与∠EFD的平分线FP相交于点P，且∠BEP＝50°，则∠EPF＝（　　）度．

A．70 B．65 C．60 D．55
【解答】解：如图所示，

∵EP⊥EF，
∴∠PEF＝90°，
∵∠BEP＝50°，
∴∠BEF＝∠BEP+∠PEF＝140°，
∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFD＝180°，
∴∠EFD＝40°，
∵FP平分∠EFD，
∴＝20°，
∵∠PEF+∠EFP+∠EPF＝180°，
∴∠EPF＝70°．
故选：A．
6．如图，AB∥CD，∠1＝25°，∠2＝160°，则∠AEC＝　45°　．

【解答】解：如图，过E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD∥AB，
∴∠AEF＝∠1＝25°，∠CEF＝180°﹣∠2＝20°，
∴∠AEC＝∠AEF+∠CEF＝25°+20°＝45°，
故答案为：45°．

7．如图，若直线a∥b，那么∠x＝　64　度．

【解答】解：令与130°互补的角为∠1，如图所示．

∵∠1+130°＝180°，
∴∠1＝50°．
∵a∥b，
∴x+48°+20°＝∠1+30°+52°，
∴x＝64°．
故答案为：64．
8．数学思考：
（1）如图1，已知AB∥CD，探究下面图形中∠APC和∠PAB、∠PCD的关系，并说明你探究的结论的正确性．
推广延伸：
（2）①如图2，已知AA1∥BA3，请你猜想∠A1、∠B1、∠B2、∠A2、∠A3的关系，并证明你的猜想；
②如图3，已知AA1∥BAn，直接写出∠A1、∠B1、∠B2、∠A2、…∠Bn﹣1、∠An的关系．
拓展应用：
（3）①如图4，若AB∥EF，用含α，β，γ的式子表示x，应为　C　
A．α+β+γB．β+γ﹣αC.180°﹣α﹣γ+βD.180°+α+β﹣γ
②如图5，AB∥CD，∠EFA＝30°，∠FGH＝90°，∠HMN＝30°，∠CNP＝50°，则∠GHM的大小是　40°　．

【解答】（1）证明：如图1，过点P作OP∥AB，
∵AB∥CD，
∴OP∥AB∥CD，
∴∠1＝∠PAB，∠2＝∠PCD，
∴∠APC＝∠1+∠2＝∠PAB+∠PCD，
即∠APC＝∠PAB+∠PCD；

（2）解：①如图2，过点A2作A2O∥AA1，
由（1）可知∠B1＝∠A1+∠1，∠B2＝∠2+∠A3，
所以，∠B1+∠B2＝∠A1+∠A2+∠A3；
②∠A1+∠A2+…+∠An＝∠B1+∠B2+…+∠Bn﹣1；

（3）解：①如图4，过∠x的顶点作CD∥AB，
则∠x＝（180°﹣α）+（β﹣γ）＝180°﹣α﹣γ+β，
②由（1）可知，30°+∠GHM+50°＝∠G+∠M，
∵∠G＝90°，∠M＝30°，
∴∠GHM＝90°+30°﹣30°﹣50°＝40°．
故答案为：C；40°．


9．已知，直线AB∥DC，点P为平面上一点，连接AP与CP．

（1）如图1，点P在直线AB、CD之间，当∠BAP＝60°，∠DCP＝20°时，求∠APC．
（2）如图2，点P在直线AB、CD之间，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，写出∠AKC与∠APC之间的数量关系，并说明理由．
（3）如图3，点P落在CD外，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，∠AKC与∠APC有何数量关系？并说明理由．
【解答】解：（1）如图1，过P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠APE＝∠BAP，∠CPE＝∠DCP，
∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝∠BAP+∠DCP＝60°+20°＝80°；

（2）∠AKC＝∠APC．
理由：如图2，过K作KE∥AB，
∵AB∥CD，
∴KE∥AB∥CD，
∴∠AKE＝∠BAK，∠CKE＝∠DCK，
∴∠AKC＝∠AKE+∠CKE＝∠BAK+∠DCK，
过P作PF∥AB，
同理可得，∠APC＝∠BAP+∠DCP，
∵∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，
∴∠BAK+∠DCK＝∠BAP+∠DCP＝（∠BAP+∠DCP）＝∠APC，
∴∠AKC＝∠APC；

（3）∠AKC＝∠APC．
理由：如图3，过K作KE∥AB，
∵AB∥CD，
∴KE∥AB∥CD，
∴∠BAK＝∠AKE，∠DCK＝∠CKE，
∴∠AKC＝∠AKE﹣∠CKE＝∠BAK﹣∠DCK，
过P作PF∥AB，
同理可得，∠APC＝∠BAP﹣∠DCP，
∵∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，
∴∠BAK﹣∠DCK＝∠BAP﹣∠DCP＝（∠BAP﹣∠DCP）＝∠APC，
∴∠AKC＝∠APC．

10．已知直线AB∥CD．
（1）如图1，直接写出∠ABE，∠CDE和∠BED之间的数量关系是　∠ABE+∠CDE＝∠BED　．
（2）如图2，BF，DF分别平分∠ABE，∠CDE，那么∠BFD和∠BED有怎样的数量关系？请说明理由．
（3）如图3，点E在直线BD的右侧，BF，DF仍平分∠ABE，∠CDE，请直接写出∠BFD和∠BED的数量关系　2∠BFD+∠BED＝360°　．

【解答】解：（1）∠ABE+∠CDE＝∠BED．
理由：如图1，作EF∥AB，
∵直线AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠ABE＝∠1，∠CDE＝∠2，
∴∠ABE+∠CDE＝∠1+∠2＝∠BED，
即∠ABE+∠CDE＝∠BED．
故答案为：∠ABE+∠CDE＝∠BED．

（2）∠BFD＝∠BED．
理由：如图2，∵BF，DF分别平分∠ABE，∠CDE，
∴∠ABF＝∠ABE，∠CDF＝∠CDE，
∴∠ABF+∠CDF＝∠ABE+∠CDE＝（∠ABE+∠CDE），
由（1），可得∠BFD＝∠ABF+∠CDF＝（∠ABE+∠CDE）
∠BED＝∠ABE+∠CDE，
∴∠BFD＝∠BED．

（3）2∠BFD+∠BED＝360°．
理由：如图3，过点E作EG∥CD，，
∵AB∥CD，EG∥CD，
∴AB∥CD∥EG，
∴∠ABE+∠BEG＝180°，∠CDE+∠DEG＝180°，
∴∠ABE+∠CDE+∠BED＝360°，
由（1）知，∠BFD＝∠ABF+∠CDF，
又∵BF，DF分别平分∠ABE，∠CDE，
∴∠ABF＝∠ABE，∠CDF＝∠CDE，
∴∠BFD＝（∠ABE+∠CDE），
∴2∠BFD+∠BED＝360°．
故答案为：2∠BFD+∠BED＝360°．



11．阅读下列材料，并解答下列问题，如图1，AB∥CD，EO和FO交于O，过点O作AB的平行线，我们可以得出∠2与∠1，∠3之间的数量关系是∠2＝∠1+∠3．
（1）如图2，直线l1∥l2，AB⊥l1，垂足为O，BC与l2相交于点E，若∠1＝30°，则∠B＝　120°　．
（2）如图3，AB∥CD，则∠1，∠2，∠3，∠4之间的数量关系是什么？并说明理由．
（3）如图4，AB∥CD，图中∠1，∠2，∠3，…，∠2n﹣1，∠2n之间有什么关系？（直接写出答案）

【解答】解：∠2＝∠1+∠3，
理由是：
过O作OM∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥OM∥CD，
∴∠1＝∠NOM，∠3＝∠MOP，
∴∠2＝∠NOM+∠MOP＝∠1+∠3；
（1）∵AB⊥l1，
∴∠3＝90°，
∵∠1＝30°，
∴∠2＝∠1＝30°，
由（1）知：∠3+∠2＝∠ABE，
∴∠ABE＝30°+90°＝120°，
故答案为：120°；
（2）由阅读下列材料得∠1，∠2，∠3，∠4之间的数量关系是∠1+∠3＝∠2+∠4；
（3）由阅读下列材料得：∠1+∠3+∠5+…+∠2n﹣1＝∠2+∠4+…+∠2n．

12．如图，AB∥CD，点E是AB上一点，连结CE．
（1）如图1，若CE平分∠ACD，过点E作EM⊥CE交CD于点M，试说明∠A＝2∠CME；
（2）如图2，若AF平分∠CAB，CF平分∠DCE，且∠F＝70°，求∠ACE的度数；
（3）如图3，过点E作EM⊥CE交∠DCE的平分线于点M，MN⊥CM交AB于点N，CH⊥AB，垂足为H．若∠ACH＝∠ECH，请直接写出∠MNB与∠A之间的数量关系．

【解答】（1）证明：∵EM⊥CE，
∴∠CEM＝90°．
∵∠AEC+∠CEM+∠BEM＝180°，
∴∠AEC+∠BEM＝90°．
∵AB∥CD，
∴∠AEC＝∠ECD，∠CME＝∠BEM．
∴∠ECD+∠CME＝90°．
∴2∠ECD+2∠CME＝180°．
∵CE平分∠ACD，
∴ACD＝2∠ECD．
∴∠ACD+2∠CME＝180°．
∵AB∥CD，
∴∠ACD+∠A＝180°．
∴∠A＝2∠CME．
（2）解：过点F作FM∥AB，如图，

∵AB∥CD，
∴FM∥AB∥CD．
∴∠AFM＝∠BAF，∠CFM＝∠DCF．
∴∠AFM+∠CFM＝∠BAF+∠DCF．
即∠AFC＝∠BAF+∠DCF．
∵AF平分∠CAB，CF平分∠DCE，
∴∠CAB＝2∠BAF，∠DCE＝2∠DCF．
∴∠CAB+∠DCE＝2（∠BAF+∠DCF）＝2∠AFC．
∵∠AFC＝70°，
∴∠CAB+∠DCE＝140°．
∵AB∥CD，
∴∠CAB+∠ACE+∠DCE＝180°．
∴∠ACE＝180°﹣（∠CAB+∠DCE）
＝180°﹣140°
＝40°．
（3）∠MNB与∠A之间的数量关系是：∠MNB＝135°﹣∠A．
延长CM交AN的延长线于点F，如图，

∵MN⊥CM，
∴∠NMF＝90°．
∴∠MNB＝90°﹣∠F．
同理：∠HCF＝90°﹣∠F．
∴∠MNB＝∠HCF．
∵∠ACH＝∠ECH，
∴设∠ACH＝x，则∠ECH＝2x．
∵CM平分∠DCE，
∴设∠ECM＝∠DCM＝y．
∴∠MNB＝∠HCF＝2x+y．
∵AB∥CD，CH⊥AB，
∴CH⊥CD．
∴∠HCD＝90°．
∴∠ECH+∠ECD＝90°．
∴2x+2y＝90°．
∴x+y＝45°．
∵CH⊥AB，
∴∠A＝90°﹣∠ACH＝90°﹣x．
∴∠A+∠MNB＝90°﹣x+2x+y＝90°+x+y＝135°．
∴∠MNB＝135°﹣∠A．
13．（1）如图1，直线AB∥CD．点P在直线AB，CD之间，试说明：∠BAP+∠APC+∠PCD＝360°．
小明说明的过程是这样的：“过点P作PE∥AB，…”
请按照小明的思路写出完整的解答说明过程．
（2）①直线AB∥CD，点P，Q在直线AB，CD之间，且点P，Q在直线AC的同侧，如图2，试探究∠BAP，∠APQ，∠PQC，∠QCD之间的数量关系，并说明理由；
②直线AB∥CD，点P，Q在直线AB，CD之间，且点P，Q在直线AC的两侧．如图3，试探究∠BAP，∠APQ，∠PQC，∠QCD之间的数量关系，并说明理由．
请在①②任选一个问题进行解答．
（3）如图4，若a∥b，直接写出图中x的度数（不用说理）．


【解答】解：（1）过点P作PE∥AB，
∵AB∥PE，
∴∠BAP+∠APE＝180°，
∵CD∥PE，
∴∠DCP+CPE＝180°，
∴∠BAP+∠APE+∠DCP+CPE＝360°，
∴∠BAP+∠APC+∠PCD＝360°；
（2）①过点P作PE∥AB，过点Q作QF∥CD，如图5，
∵PE∥AB，
∴∠BAP+∠APE＝180°，
∵AB∥CD，
∴PE∥QF，
∴∠EPQ+∠PQF＝180°，
∵QF∥CD，
∴∠FQC+∠QCD＝180°，
∵∠BAP+∠APE+∠EPQ+∠PQF+∠FQC+∠QCD＝180°+180°+180°，
∴∠BAP+∠APQ+∠PQC+∠QCD＝540°；
（3）x＝72°．

14．已知，直线AB∥CD
（1）如图（1），点G为AB、CD间的一点，联结AG、CG．若∠A＝140°，∠C＝150°，则∠AGC的度数是多少？
（2）如图（2），点G为AB、CD间的一点，联结AG、CG．∠A＝x°，∠C＝y°，则∠AGC的度数是多少？
（3）如图（3），写出∠BAE、∠AEF、∠EFG、∠FGC、∠GCD之间有何关系？直接写出结论．

【解答】（1）过点G作GE∥AB，

因为AB∥GE，
所以∠A+∠AGE＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
因为∠A＝140°，所以∠AGE＝40°，
因为AB∥GE，AB∥CD，
所以GE∥CD（平行的传递性），
所以∠C+∠CGE＝180°（两直线平行，同旁内角互补）
因为∠C＝150°，所以∠CGE＝30°，
所以∠AGC＝∠AGE+∠CGE＝40°+30°＝70°．
（2）过点G作GF∥AB，

因为AB∥GF，
所以∠A＝AGF（两直线平行，内错角相等），
因为AB∥GF，AB∥CD，
所以GF∥CD（平行的传递性），
所以∠C＝∠CGF，
所以∠AGC＝∠AGF+∠CGF＝∠A+∠C，
因为∠A＝x°，∠C＝y°
所以∠AGC＝（x+y）°，
（3）如图所示，过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，过点G作GQ∥CD，

∵AB∥CD，
∴AB∥EM∥FN∥GQ∥CD（平行的传递性），
∴∠BAE＝∠AEM（两直线平行，内错角相等），
∠MEF＝∠EFN（两直线平行，内错角相等），
∠NFG＝∠FGQ（两直线平行，内错角相等），
∠QGC＝∠GCD（两直线平行，内错角相等），
∴∠AEF＝∠BAE+∠EFN，
∠FGC＝∠NFG+GCD，
而∠EFN+∠NFG＝∠EFG，
∴∠BAE+∠EFG+∠GCD＝∠AEF+∠FGC．



（2010•玉溪中考真题）平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．
（1）如图a，若AB∥CD，点P在AB、CD外部，则有∠B＝∠BOD，又因∠BOD是△POD的外角，故∠BOD＝∠BPD+∠D，得∠BPD＝∠B﹣∠D．将点P移到AB、CD内部，如图b，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？请证明你的结论；
（2）在图b中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图c，则∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之间有何数量关系？（不需证明）
（3）根据（2）的结论求图d中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．

【解答】解：（1）不成立．结论是∠BPD＝∠B+∠D
延长BP交CD于点E，
∵AB∥CD
∴∠B＝∠BED
又∵∠BPD＝∠BED+∠D，
∴∠BPD＝∠B+∠D．

（2）结论：∠BPD＝∠BQD+∠B+∠D．

（3）连接EG并延长，
根据三角形的外角性质，∠AGB＝∠A+∠B+∠E，
又∵∠AGB＝∠CGF，
在四边形CDFG中，∠CGF+∠C+∠D+∠F＝360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°．