专题06 三角形全等-对角互补模型（解析版）

这是一份专题06 三角形全等-对角互补模型（解析版），共20页。























对角互补模型






模型讲解



【结论一】（对角互补一般情况）
如图，在四边形ABCD中，∠1+∠2＝180°，BA＝BC，连接BD，延长DA至E，使得AE=DC，则有以下结论成立：
①△BAE≌△BCD；


【证明】：
①证明：∵∠1+∠2＝180°，
∴∠BAC+∠C＝180°，
∴∠BAE=∠BCD
在△BAE和△BCD中
AE=CD
∠BAE=∠BCD
AB=BC
∴△BAE≌△BCD（SAS）．

【结论二】（对角互补--含60°角）
如图，在四边形ABCD中，∠1=60°，∠2＝120°，BA＝BC，连接BD，延长DA至E，使得AE=DC，则有以下结论成立：
①△BAE≌△BCD；②△BED为等边△



【结论二】（对角互补--含90°角）
如图，在四边形ABCD中，∠1=90°，∠2＝90°，BA＝BC，连接BD，延长DA至E，使得AE=DC，则有以下结论成立：
①△BAE≌△BCD；②△BED为等腰Rt△



方法点拨
例题演练


1．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且正方形对角线交于点O，连接OC，已知AC＝，OC＝，则另一直角边BC的长为　　．

【解答】解：过点O作OM⊥CA，交CA的延长线于点M，作ON⊥BC于点N．
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA＝OB，∠AOB＝90°，
∵∠MON＝∠AOB＝90°，
∴∠AOM＝∠BON，
在△AOM和△BON中，

∴△OMA≌△ONB，
∴OM＝ON，MA＝NB．
∴O点在∠ACB的平分线上，
∴△OCM为等腰直角三角形．
∵OC＝，
∴CM＝ON＝1．
∴MA＝CM﹣AC＝1﹣＝，
∴BC＝CN+NB＝1+＝．
故答案为：．
2．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，求证：EF＝BE+FD．

【解答】证明：延长CB至M，使BM＝FD，连接AM，如图所示：
∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABM+∠ABC＝180°，
∴∠ABM＝∠D，
在△ABM与△ADF中，
，
∴△ABM≌△ADF（SAS），
∴AF＝AM，∠BAM＝∠DAF，
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠DAF+∠BAE＝∠BAD＝∠FAE，
∴∠BAM+∠BAE＝∠EAF，
即∠MAE＝∠EAF，
在△AME与△AFE中，
，
∴△AME≌△AFE（SAS），
∴EF＝ME，
∵ME＝BE+BM，
∴EF＝BE+FD．



强化训练



1．如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD．试探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系．

（1）小王同学探究此问题的方法是：延长EB到点G，使BG＝DF，连接AG，先证明△ABG≌△ADF，再证明△AEG≌△AEF，可得出结论，他的结论应是　 　．
（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由．
（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．
【解答】解：（1）由△ABG≌△ADF，△AEG≌△AEF可知，BG＝DF，EF＝EG＝BG+EF＝DF+EF，
故答案为EF＝BE+FD

（2）（1）中的结论EF＝BE+FD仍然成立．
理由：延长EB到点G，使BG＝DF，连接AG．

∵∠ABD+∠D＝180°，∠ABD+∠ABG＝180°，
∴∠ABG＝∠D，
∴AB＝AD，BG＝DF，
∴△ABG≌△ADF，
∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF，
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠BAE+∠DAF＝∠BAD＝∠BAE+∠BAG，
∴∠EAG＝∠EAF，
∵AE＝AE，AG＝AF，
∴△EAG≌△EAF，
∴EG＝EF，
∵EG＝BG+BE＝DF+BE，
∴EF＝BE+DF．

（3）结论EF＝BE+FD不成立，应当是EF＝BE﹣FD．
证明：在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG．

∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°，
∴∠B＝∠ADF．
∵AB＝AD，
∴△ABG≌△ADF．
∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF．
∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD＝∠EAF＝∠BAD．
∴∠GAE＝∠EAF．
∵AE＝AE，
∴△AEG≌△AEF．
∴EG＝EF
∵EG＝BE﹣BG
∴EF＝BE﹣FD．



2．（2020秋•西城区校级期中）已知，如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，∠A+∠C＝180°，DE⊥BC，BD平分∠ABC，试说明AD＝DC．

【解答】证明：
如图，过D作DF⊥AB，交BA的延长线于点F，
∵DE⊥BC，BD平分∠ABC，
∴DE＝DF，∠F＝∠DEC＝90°，
∵∠BAD+∠C＝180°，且∠BAD+∠DAF＝180°，
∴∠DAF＝∠C，
在△ADF和△CDE中

∴△ADF≌△CDE（AAS），
∴AD＝CD．

3．如图，正方形ABCD的边长为6，点E是边AB上一点，点P是对角线BD上一点，且PE⊥PC．
（1）求证：PC＝PE；
（2）若BE＝2，求PB的长．

【解答】证明：（1）过点P作PF⊥AB，PG⊥BC，

∴∠PFB＝∠PGB＝∠PGC＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠ABC＝90°，AB＝AD＝BC，
∴∠ABD＝∠ADB＝45°，四边形FBGP是矩形，
∴∠FPB＝90°﹣∠ABD＝90°﹣45°＝45°，
∴∠ABD＝∠FPB，
∴FP＝FB，
∴矩形FBGP是正方形，
∴PF＝PG，∠FPG＝90°，
∴∠FPE+∠EPG＝90°，
∵EP⊥PC，
∴∠EPC＝90°，
∴∠GPC+∠EPG＝90°，
∴∠FPE＝∠GPC，
在△PFE与△PGC中，
，
∴△PFE≌△PGC（ASA），
∴PE＝PC；
（2）设EF＝x，
∵△PFE≌△PGC，
∴GC＝EF＝x，
由BE＝2得：BF＝x+2，
由正方形FBGP得：BG＝x+2，
∵BC＝6，
∴BG+GC＝6，
∴（x+2）+x＝6，
解得：x＝2，
∴PF＝BF＝2+2＝4，
△PFB中，∠PFB＝90°，由勾股定理得：PB2＝42+42＝32，
∵PB＞0，
∴PB＝．

4．菱形ABCD中，∠B＝60°，∠MAN＝60°，射线AM交直线BC于点E，射线AN交直线CD于点F，连接EF，请解答下列问题：
（1）如图1，求证：EC+FC＝AC；
（2）将∠MAN绕点A旋转，如图2，如图3，请直接写出线段EC，FC，AC之间的数量关系，不需要证明；
（3）若S菱形ABCD＝18，∠CAE＝30°，则CF＝　3或12　．

【解答】解：（1）如图1所示：

∵四边形ABCD为菱形，∠B＝60°
∴AB＝BC，∠ACF＝∠B＝60°．
又∵∠B＝60°，
∴△ABC为等边三角形．
∴AC＝BC＝AB，∠BAC＝60°．
又∵∠MAN＝60°，
∴∠BAE＝∠CAF．
在△ABE和△ACF中，
∴△ABE≌△ACF（ASA）．
∴BE＝CF．
∴EC+CF＝EC+BE＝BC．
又∵BC＝AC，
∴EC+CF＝AC．

（2）如图2所示：AC+CF＝EC．

∵四边形ABCD为菱形，∠B＝60°
∴AB＝BC，∠ACD＝∠B＝60°．
∴∠ACF＝120°．
∵∠B＝60°，AB＝BC，
∴△ABC为等边三角形．
∴AC＝BC＝AB，∠ABC＝60°．
∴∠ABE＝120°．
∴∠ABE＝∠ACF．
∵∠MAN＝∠BAC＝60°
∴∠BAE＝∠CAF．
在△ABE和△ACF中，
∴△ABE≌△ACF（ASA）．
∴BE＝CF．
∴FC+BC＝BE+BC＝CE．
∵BC＝AC，
∴FC+AC＝CE．
如图3所示：
又∵BC＝AC，
∴EC+CF＝AC．
如图3所示：CF＝AC+CE．

在△ACE和△ADF中，
△ACE≌△ADF（ASA）．
∴CE＝DF．
∴CF＝CD+DF＝CD+CE＝AC+CE，即CF＝AC+CE．
（3）如图1所示：
∵∠CAE＝30°，∠CAB＝60°，
∴AE平分∠CAB．
又∵AB＝AC，
∴AE⊥BC，BE＝CE．
∴AE＝AB．
∵S菱形ABCD＝18，
∴AB•AB＝18．
∴AB＝6．
∴BE＝EC＝3．
∴CF＝3．
如图3所示：
∵∠CAE＝30°，∠BAC＝60°，
∴∠BAE＝90°．
又∵AB＝6，∠B＝60°，
∴BE＝12．
∴CF＝AC+CE＝BC+CE＝12．
综上所述，CF＝3或CF＝12．
故答案为：3或12．

5．（1）如图1，四边形ABCD是边长为5 cm的正方形，E，F分别在AD，CD边上，∠EBF＝45°．为了求出△DEF的周长．小南同学的探究方法是：
如图2，延长EA到H，使AH＝CF，连接BH，先证△ABH≌△CBF，再证△EBH≌△EBF，得EF＝EH，从而得到△DEF的周长＝　10　cm；

（2）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝100°，∠B＝∠ADC＝90°．E，F分别是线段BC，CD上的点．且∠EAF＝50°．探究图中线段EF，BE，FD之间的数量关系；
（3）如图4，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是线段BC，CD上的点，且2∠EAF＝∠BAD，（2）中的结论是否仍然成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由；
（4）若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，点E、F分别在CB、DC的延长线上，且2∠EAF＝∠BAD，请画出图形，并直接写出线段EF、BE、FD之间的数量关系．

【解答】解：（1）如图1，延长EA到H，使AH＝CF，连接BH，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝AD＝CD＝5cm，∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴∠BAH＝∠BCF＝90°，
又∵AH＝CF，AB＝BC，
∴△ABH≌△CBF（SAS），
∴BH＝BF，∠ABH＝∠CBF，
∵∠EBF＝45°，
∴∠CBF+∠ABE＝45°＝∠HBA+∠ABE＝∠EBF，
∴∠EBH＝∠EBF，
又∵BH＝BF，BE＝BE，
∴△EBH≌△EBF（SAS），
∴EF＝EH，
∴EF＝EH＝AE+CF，
∴△DEF的周长＝DE+DF+EF＝DE+DF+AE+CF＝AD+CD＝10（cm）．
故答案为：10．
（2）EF＝BE+DF．
证明：如图2所示，延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，

在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠BAD＝100°，∠EAF＝50°，
∴∠BAE+∠FAD＝∠DAG+∠FAD＝50°，
∴∠EAF＝∠FAG＝50°，
在△EAF和△GAF中，
，
∴△EAF≌△GAF（SAS），
∴EF＝FG＝DF+DG，
∴EF＝BE+DF；
（3）成立．
证明：如图3，延长EB到G，使BG＝DF，连接AG．

∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABG+∠ABC＝180°，
∴∠ABG＝∠D，
∵在△ABG与△ADF中，
，
∴△ABG≌△ADF（SAS），
∴AG＝AF，∠BAG＝∠DAF，
∵2∠EAF＝∠BAD，
∴∠DAF+∠BAE＝∠BAG+∠BAE＝∠BAD＝∠EAF，
∴∠GAE＝∠EAF，
又AE＝AE，
∴△AEG≌△AEF（SAS），
∴EG＝EF，
∵EG＝BE+BG，
∴EF＝BE+FD；
（4）EF＝BE﹣FD，
理由如下：在BC上截取BH＝DF，

∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADF＝180°，
∴∠B＝∠ADF，且AB＝AD，BH＝DF，
∴△ABH≌△ADF（SAS），
∴∠BAH＝∠DAF，AH＝AF，
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠DAE+∠BAH＝∠BAD，
∴∠HAE＝∠BAD＝∠EAF，且AE＝AE，AH＝AF，
∴△HAE≌△FAE（SAS），
∴HE＝EF，
∴EF＝HE＝BE﹣BH＝BE﹣DF．







1．（2018•阜新中考真题）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC于点D．
（1）如图1，点E，F在AB，AC上，且∠EDF＝90°．求证：BE＝AF；
（2）点M，N分别在直线AD，AC上，且∠BMN＝90°．
①如图2，当点M在AD的延长线上时，求证：AB+AN＝AM；
②当点M在点A，D之间，且∠AMN＝30°时，已知AB＝2，直接写出线段AM的长．

【解答】解：（1）∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝45°，
∵AD⊥BC，
∴BD＝CD，∠ADB＝90°，∠BAD＝∠CAD＝45°，
∴∠CAD＝∠B，AD＝BD，
∵∠EDF＝∠ADB＝90°，
∴∠BDE＝∠ADF，
∴△BDE≌△ADF（ASA），
∴BE＝AF；

（2）①如图1，过点M作MP⊥AM，交AB的延长线于点P，
∴∠AMP＝90°，
∵∠PAM＝45°，
∴∠P＝∠PAM＝45°，
∴AM＝PM，
∵∠BMN＝∠AMP＝90°，
∴∠BMP＝∠AMN，
∵∠DAC＝∠P＝45°，
∴△AMN≌△PMB（ASA），
∴AN＝PB，
∴AP＝AB+BP＝AB+AN，
在Rt△AMP中，∠AMP＝90°，AM＝MP，
∴AP＝AM，
∴AB+AN＝AM；

②如图，在Rt△ABD中，AD＝BD＝AB＝，
∵∠BMN＝90°，∠AMN＝30°，
∴∠BMD＝90°﹣30°＝60°，
在Rt△BDM中，DM＝＝，
∴AM＝AD﹣DM＝﹣．