中考数学二轮培优专题03 铅笔头模型与锯齿模型（2份打包，原卷版+解析版）

这是一份中考数学二轮培优专题03 铅笔头模型与锯齿模型（2份打包，原卷版+解析版），共11页。试卷主要包含了模型的概述等内容，欢迎下载使用。
1）平行线的性质：
性质1：两直线平行，同位角相等；
几何符号语言：∵AB∥CD ∴∠3＝∠2（两直线平行，同位角相等）
性质2：两直线平行，内错角相等；
几何符号语言：∵AB∥CD ∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等）
性质3：两直线平行，同旁内角互补.。
几何符号语言：∵AB∥CD ∴∠4＋∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补）
2）三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180°
三角形外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。
二、模型的概述：
模型一：铅笔头模型
【铅笔头模型基础】已知AB∥DE，结论：∠B+∠C+∠E = 360°
证明1：过点C作CK∥AB （见拐点作平行线）
∵AB∥DE ∴AB∥DE∥CK
∴∠B+∠1=180°，∠E+∠2=180° 而∠C=∠1+∠2
∴∠B+∠C+∠E = 360°
证明2：连接BE
∵AB∥DE ∴ ∠ABE+∠BED=180°而∠CBE+∠C+∠BEC = 180°
∴∠ABC+∠C+∠DEC=∠ABE+∠CBE+∠C+∠BED+∠BEC = 360°
证明3：延长射线DE和射线BC，相交于点K
∵AB∥DE ∴∠B+∠K=180°即∠K=180°-∠B
∵∠DEC+∠CEK=180°即∠CEK=180°-∠DEC
则∠BCE=∠K+∠CEK=180°-∠B+180°-∠DEC=360°-∠B-∠DEC
即∠BCE+∠B+∠DEC = 360°
【铅笔头模型变形】
变式一：已知AB∥DE，则∠B+∠M+∠N+∠E=
证明：
变式二：若a∥b，则∠A1+∠A2+...+∠An-1+∠An=
模型二：锯齿模型
【锯齿模型基础】已知AB∥DE，则∠B+∠E=∠C
证明：过点C作CK∥AB
∵AB∥DE ∴AB∥DE∥CK
∴∠B=∠1 ①，∠E=∠2 ②
①+②得 ∠B+∠E=∠1+∠2，即∠B+∠E=∠C
【试一试】尝试用三角形内角与外角相关知识证明。
【锯齿模型变形】
变式一：已知AB∥DE，则
证明：
变式二：若a∥b，则所有朝左角之和 所有朝右角的和。
【基础过关练】
1．如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为（ ）
A．70°B．65°C．35°D．5°
2．如图，两直线 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 平行，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）．
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．一大门的栏杆如图所示，BA垂直地面AE于点A，CD平行于地面AE，则∠ABC＋∠BCD＝_____．
4．如图，如果AB SKIPIF 1 < 0 CD，那么∠B＋∠F＋∠E＋∠D＝___°．
5．如图，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，你能说明为什么吗？
6．如图，已知AB∥CD．
（1）如图1所示，∠1+∠2＝ ；
（2）如图2所示，∠1+∠2+∠3＝ ；并写出求解过程．
（3）如图3所示，∠1+∠2+∠3+∠4＝ ；
（4）如图4所示，试探究∠1+∠2+∠3+∠4+⋯+∠n＝ ．
7．（1）如图1，l1∥l2，求∠A1+∠A2+∠A3＝______．（直接写出结果）
（2）如图2，l1∥l2，求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4＝_____．（直接写出结果）
（3）如图3，l1∥l2，求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝_______．（直接写出结果）
（4）如图4，l1∥l2，求∠A1+∠A2+…+∠An＝_______．（直接写出结果）

【提高测试】
1．如图，∠BCD＝90°，AB∥DE，则α与β一定满足的等式是（ ）
A．α+β＝180°B．α+β＝90°C．β＝3αD．α﹣β＝90°
2．如图，AB∥CD，∠BED=61°，∠ABE的平分线与∠CDE的平分线交于点F，则∠DFB=（ ）
A．149°B．149.5°C．150°D．150.5°
3．如图所示，如果 AB ∥ CD ，则∠α、∠β、∠γ之间的关系为（ ）

A．∠α+∠β+∠γ＝180°B．∠α－∠β+∠γ＝180°
C．∠α+∠β－∠γ＝180°D．∠α－∠β－∠γ＝180°[
4．问题情境：如图1， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的度数．小明的思路是过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，通过平行线性质来求 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）按照小明的思路，写出推算过程，求 SKIPIF 1 < 0 的度数．
（2）问题迁移：如图2， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在射线 SKIPIF 1 < 0 上运动，记 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，当点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点之间运动时，问 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 之间有何数量关系？请说明理由．
（3）在（2）的条件下，当点 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 上时，请直接写出 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 之间的数量关系．
5．如图①，已知AB∥CD，点E、F分别是AB、CD上的点，点P是两平行线之间的一点，设∠AEP=α，∠PFC=β，在图①中，过点E作射线EH交CD于点N，作射线FI，延长PF到G，使得PE、FG分别平分∠AEH、∠DFl，得到图②．
（1）在图①中，过点P作PM∥AB，当α=20°，β=50°时，∠EPM= 度，∠EPF= 度；
（2）在（1）的条件下，求图②中∠END与∠CFI的度数；
（3）在图②中，当FI∥EH时，请直接写出α与β的数量关系．
6．已知，直线AB∥CD
（1）如图（1），点G为AB、CD间的一点，联结AG、CG．若∠A=140°，∠C=150°，则∠AGC的度数是多少？
（2）如图（2），点G为AB、CD间的一点，联结AG、CG．∠A=x°，∠C=y°，则∠AGC的度数是多少？
（3）如图（3），写出∠BAE、∠AEF、∠EFG、∠FGC、∠GCD之间有何关系？直接写出结论．
7．如图1，四边形 SKIPIF 1 < 0 为一张长方形纸片．
（1）如图2，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（ SKIPIF 1 < 0 ），则 SKIPIF 1 < 0 __________°．
（2）如图3，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（ SKIPIF 1 < 0 ），则 SKIPIF 1 < 0 __________°．
（3）如图4，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（ SKIPIF 1 < 0 ），则 SKIPIF 1 < 0 ___________°．
（4）根据前面探索出的规律，将本题按照上述剪法剪 SKIPIF 1 < 0 刀，剪出 SKIPIF 1 < 0 个角，那么这 SKIPIF 1 < 0 个角的和是____________°．
8．（1）如图1，AM∥CN，求证：

①∠MAB+∠ABC+∠BCN＝360°；
②∠MAE+∠AEF+∠EFC+∠FCN＝540°；
（2）如图2，若平行线AM与CN间有n个点，根据（1）中的结论写出你的猜想并证明．
9．问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC度数．
思路点拨：
小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可分别求出∠APE、∠CPE的度数，从而可求出∠APC的度数；
小丽的思路是：如图3，连接AC，通过平行线性质以及三角形内角和的知识可求出∠APC的度数；
小芳的思路是：如图4，延长AP交DC的延长线于E，通过平行线性质以及三角形外角的相关知识可求出∠APC的度数．
问题解决：请从小明、小丽、小芳的思路中任选一种思路进行推理计算，你求得的∠APC的度数为 °；
问题迁移：（1）如图5，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由；
（2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系．