2022年中考数学几何模型提升专题01 中点弧模型

这是一份2022年中考数学几何模型提升专题01 中点弧模型，共35页。试卷主要包含了中点弧与相似，中点弧+内心可得等腰，弧中点与垂径定理，弧中点与垂径模型等内容，欢迎下载使用。
中考几何模型提升篇01——圆综合之中点弧模型题型一 中点弧与相似【模型解读】点P是优弧AB上一动点，则∠1＝∠2，∠PCB为公共角，子母型相似        【补充】⑥PE•PC＝PA•PB，【例题1】如图，四边形内接于，对角线、交于点，且，若，，则　　．    【巩固练习】如图，是的直径，、为上位于异侧的两点，连接并延长至点，使得，连接交于点，连接、、．（1）证明：；（2）设交于点，若，是的中点，求的值．
题型二中点弧与旋转【模型解读】点P是优弧AB上一动点，且点C是的中点邻边相等+对角互补 旋转相似模型，一般用来求圆中三条线段之间的数量关系.由于对角互补，即，显然共线，且，通过导角不难得出相似.   【例题2】如图，已知是的弦，点是弧的中点，是弦上一动点，且不与、重合，的延长线交于点，连接、，过点作，垂足为，．（1）求证：是的切线；（2）若，，求的长；（3）当点在弦上运动时，的值是否发生变化？如果变化，请写出其变化范围；如果不变，请求出其值．  
【巩固练习1】在的内接四边形中，，，，点为弧的中点，则的长是　　．【巩固练习2】已知内接于⊙O，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接DB，DC．（1）如图①，当时，请直接写出线段AB，AC，AD之间满足的等量关系式：______________.（2）如图②，当时，试探究线段AB，AC，AD之间满足的等量关系，并证明你的结论；（3）如图③，若，，求的值．  
题型三 中点弧+内心可得等腰【模型讲解】外接圆+内心⇒得等腰如图，圆O是△ABC外接圆圆心，I是三角形ABC的内心，延长AI交圆O于D，证DI＝DC＝BD【简证】∠1＝∠4＋∠5,∠4＝∠3，∠2＝∠5∴∠1＝∠2＋∠3 【例题3】如图1，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，过点C作∠BCD＝∠ACB交⊙O于点D，连接AD交BC于点E，延长DC至点F，使CF＝AC，连接AF．（1）求证：ED＝EC；（2）求证：AF是⊙O的切线；（3）如图2，若点G是△ACD的内心，BC·BE＝25，求BG的长．
【巩固练习】如图，点I是△ABC的内心，BI的延长线与△ABC的外接圆⊙O交于点D，与AC交于点E，延长CD、BA相交于点F，∠ADF的平分线交AF于点G．（1）求证：DG∥CA；（2）求证：AD＝ID；（3）若DE＝4，BE＝5，求BI的长． 
   
题型四 弧中点与垂径定理【模型解读】  【例题4】如图，为的直径，，为圆上的两点，，弦，相交于点．（1）求证：；（2）若，，求的半径．
【巩固练习】如图，是的直径，为弦的中点，连接并延长交于点，连接交于点，延长至点，使得，连接．（1）求证：是的切线；（2）若的半径为5，，求的长．  题型五 弧中点与垂径模型（三等弧模型）【例题5】如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，C是的中点，弦CE⊥AB于点H，连结AD，分别交CE、BC于点P、Q，连结BD。(1)证CO∥BD(2) AD＝CE(3)证：P是线段AQ的中点(4)证：CP·CE＝AH·AB＝CQ·CB(5)tan∠DBC＝(6)若AD＝8，BD＝6，求AH的值(7) 若⊙O的半径为5，AQ＝，求弦CE的长.【巩固练习】如图，是的直径，点为的中点，为的弦，且，垂足为，连接交于点，连接，，．（1）求证：；（2）若，求的长．
中考几何模型提升篇01——圆综合之中点弧模型题型一 中点弧与相似【模型解读】点P是优弧AB上一动点，则∠1＝∠2，∠PCB为公共角，子母型相似        【补充】⑥PE•PC＝PA•PB，注意：⑥不能反推出前五项【例题1】如图，四边形内接于，对角线、交于点，且，若，，则　　． 易知，则，     【巩固练习】如图，是的直径，、为上位于异侧的两点，连接并延长至点，使得，连接交于点，连接、、．（1）证明：；（2）设交于点，若，是的中点，求的值．【解答】证明：（1）是的直径，，即，，垂直平分，，，又，；（2）连接，，是的中点，是的直径，，，，是的中点，，，，即．题型二中点弧与旋转【模型解读】点P是优弧AB上一动点，且点C是的中点邻边相等+对角互补 旋转相似模型，一般用来求圆中三条线段之间的数量关系.由于对角互补，即，显然共线，且，通过导角不难得出相似.  【例题2】如图，已知是的弦，点是弧的中点，是弦上一动点，且不与、重合，的延长线交于点，连接、，过点作，垂足为，．（1）求证：是的切线；（2）若，，求的长；（3）当点在弦上运动时，的值是否发生变化？如果变化，请写出其变化范围；如果不变，请求出其值．  
 （1）证切线一般先导角（2）通过弧中点所对应的相似模型可以口算     （3）可以考虑通过旋转构造出分母的所对应的线段，再通过相似或三角函数得出比值.   当然，（3）还有很多方法，比如利用角平分线作垂线
求数量关系的话，截长补短也是常见方法，得到的图形与之前旋转法类似，不过辅助线做法不一样 除此之外，构造旋转相似也是一种处理方式，这里就不细讲了可以结合图形自行体会 （1）证明：如图，连接，，，交于，，，是等边三角形，，点是弧的中点，，，，，，，，，，，是的切线；（2）解：，，，，，，，；（3）结论：，的值不变．理由：如图，连接，，交于，作交的延长线于，，，由（1）得，，，，，，，，，，，，，，，，，的值不变．  【巩固练习1】在的内接四边形中，，，，点为弧的中点，则的长是　　． 解法一、、、、四点共圆，，，，平分，，如图，将绕点逆时针旋转得，则，，，，、、三点共线，过作于，，，在中，；解法二、如图，过作于，于，则，点为弧的中点，，，，，，，、、、四点共圆，，在和中，，，在和中，，，，设，，，，，解得：，即，，故答案为． 【巩固练习2】已知内接于⊙O，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接DB，DC．（1）如图①，当时，请直接写出线段AB，AC，AD之间满足的等量关系式：______________.（2）如图②，当时，试探究线段AB，AC，AD之间满足的等量关系，并证明你的结论；（3）如图③，若，，求的值．   （1）    （2）（3）  
题型三 中点弧+内心可得等腰【模型讲解】外接圆+内心⇒得等腰如图，圆O是△ABC外接圆圆心，I是三角形ABC的内心，延长AI交圆O于D，证DI＝DC＝BD【简证】∠1＝∠4＋∠5,∠4＝∠3，∠2＝∠5∴∠1＝∠2＋∠3 【例题3】如图1，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，过点C作∠BCD＝∠ACB交⊙O于点D，连接AD交BC于点E，延长DC至点F，使CF＝AC，连接AF．（1）求证：ED＝EC；（2）求证：AF是⊙O的切线；（3）如图2，若点G是△ACD的内心，BC·BE＝25，求BG的长．
 （1）由AB＝AC知∠ABC＝∠ACB，结合∠ACB＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC得∠BCD＝∠ADC，从而得证；
（2）连接OA，由∠CAF＝∠CFA知∠ACD＝∠CAF＋∠CFA＝2∠CAF，结合∠ACB＝∠BCD得∠ACD＝2∠ACB，∠CAF＝∠ACB，据此可知AF∥BC，从而得OA⊥AF，从而得证；
（3）证△ABE∽△CBA得AB2＝BC•BE，据此知AB＝5，连接AG，得∠BAG＝∠BAD＋∠DAG，∠BGA＝∠GAC＋∠ACB，由点G为内心知∠DAG＝∠GAC，结合∠BAD＋∠DAG＝∠GAC＋∠ACB得∠BAG＝∠BGA，从而得出BG＝AB＝5． 
解：（1）∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
又∵∠ACB＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC，
∴∠BCD＝∠ADC，
∴ED＝EC；
（2）如图，连接OA，

∵AB＝AC，
∴，
∴OA⊥BC，
∵CA＝CF，
∴∠CAF＝∠CFA，
∴∠ACD＝∠CAF＋∠CFA＝2∠CAF，
∵∠ACB＝∠BCD，
∴∠ACD＝2∠ACB，
∴∠CAF＝∠ACB，
∴AF∥BC，
∴OA⊥AF，
∴AF为⊙O的切线；
（3）∵∠ABE＝∠CBA，∠BAD＝∠BCD＝∠ACB，
∴△ABE∽△CBA，
∴，
∴AB2＝BC•BE，
∵BC•BE＝25，
∴AB＝5，
如图，连接AG，

∴∠BAG＝∠BAD＋∠DAG，∠BGA＝∠GAC＋∠ACB，
∵点G为内心，
∴∠DAG＝∠GAC，
又∵∠BAD＋∠DAG＝∠GAC＋∠ACB，
∴∠BAG＝∠BGA，
∴BG＝AB＝5． 【巩固练习】如图，点I是△ABC的内心，BI的延长线与△ABC的外接圆⊙O交于点D，与AC交于点E，延长CD、BA相交于点F，∠ADF的平分线交AF于点G．（1）求证：DG∥CA；（2）求证：AD＝ID；（3）若DE＝4，BE＝5，求BI的长． 
  
 （1）根据三角形内心的性质得∠2＝∠7，再利用圆内接四边形的性质得∠ADF＝∠ABC，则∠1＝∠2，从而得到∠1＝∠3，则可判断DG∥AC；（2）根据三角形内心的性质得∠5＝∠6，然后证明∠4＝∠DAI得到DA＝DI；（3）证明△DAE∽△DBA，利用相似比得到AD＝6，则DI＝6，然后计算BD－DI即可． （1）证明：∵点I是△ABC的内心，∴∠2＝∠7，∵DG平分∠ADF，∴∠1＝∵∠ADF＝∠ABC，∴∠1＝∠2，∵∠3＝∠2，∴∠1＝∠3，∴DG∥AC；（2）证明：∵点I是△ABC的内心，∴∠5＝∠6，∵∠4＝∠7＋∠5＝∠3＋∠6，即∠4＝∠DAI，∴DA＝DI；（3）解：∵∠3＝∠7，∠ADE＝∠BDA，∴△DAE∽△DBA，∴AD：DB＝DE：DA，即AD：9＝4：AD，∴AD＝6，∴DI＝6，∴BI＝BD－DI＝9－6＝3．题型四 弧中点与垂径定理【模型解读】 【例题4】如图，为的直径，，为圆上的两点，，弦，相交于点．（1）求证：；（2）若，，求的半径． （1）证明：，，，，，；（2）连接，，，，，，，，，即，解得，，是直径，，，的半径为． 【巩固练习】如图，是的直径，为弦的中点，连接并延长交于点，连接交于点，延长至点，使得，连接．（1）求证：是的切线；（2）若的半径为5，，求的长．    解：（1）为弦的中点，是半径，，即，，又，，又，，，，即，是半径，是的切线；（2）为弦的中点，，是半径，，在中，，又，，，，即，解得，，．题型五 弧中点与垂径模型（三等弧模型）【例题5】如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，C是的中点，弦CE⊥AB于点H，连结AD，分别交CE、BC于点P、Q，连结BD。(1)证CO∥BD(2) AD＝CE(3)证：P是线段AQ的中点(4)证：CP·CE＝AH·AB＝CQ·CB(5)tan∠DBC＝(6)若AD＝8，BD＝6，求AH的值(7) 若⊙O的半径为5，AQ＝，求弦CE的长.  （1）（2）(3)先利用弧相等导角证AP＝CP，再通过Rt△ACQ中的互余关系，得到PQ＝CP，∴AP＝PQ＝CP（4）CP＝AP，CE＝AD⇒CP•CE＝AP•AD，△APH∼△ABD⇒AP•AD＝AH•AB（5）（6）法一（6）法二（7）找到对应相似三角形是关键【巩固练习】如图，是的直径，点为的中点，为的弦，且，垂足为，连接交于点，连接，，．（1）求证：；（2）若，求的长．  证明：（1）是的中点，，是的直径，且，，，，在和中，，；（2）解法一：如图，连接，设的半径为，中，，即，中，，即，，，，，即，解得：（舍或3，，；解法二：如图，过作于，连接、，，，，，，，，，，，，，，是的直径，，，，，，，．解法三：如图，连接，交于，是的中点，，，，，，，，，，，．