专题02 铅笔头模型（解析版）

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   【模型1】如图1：AB∥CD，则∠1+∠2＝　180°；如图2：AB∥CD，则∠1+∠2+∠3＝360°；如图3：AB∥CD，则∠1+∠2+∠3+∠4＝540°；如图4：AB∥CD，则∠1+∠2+…+∠n＝（n﹣1）180°。                    【证明】：在图1中，∵AB∥CD，∴∠1+∠2＝180°；在图2中，过E作AB的平行线EF，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠1+∠AEF＝180°，∠3+∠CEF＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝360°；在图3中，过E作AB的平行线EN，过点F作AB的平行线FM，∵AB∥CD，∴EN∥CD∥FM，∴∠1+∠AFM＝180°，∠MFE+∠FEN＝180°，∠NEC+∠4＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝540°；在图4中，过各角的顶点依次作AB的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补以及上述规律可得∠1+∠2+∠3+…+∠n＝（n﹣1）180°． 方法点拨模型辨析：①注意：拐角朝同一方向②若出现拐角不朝同一方向的，应进行拆分。 
  1．如图所示，BA∥DE，∠B＝130°，∠D＝140°，则∠C的度数是（　　）A．60° B．80° C．90° D．75°【解答】解：过点C作CF∥AB∥DE，∵CF∥AB∥DE，∴∠BCF＝180°﹣∠B＝50°，∠DCF＝180°﹣∠D＝40°．∴∠C＝∠BCF+∠DCF＝90°．故选：C． 2．如图，直线l1∥l2，∠A＝125°，∠B＝105°，则∠1+∠2＝（　　）°．A．230 B．20 C．50 D．90【解答】解：如图，分别过A、B作l1的平行线AC和BD，∵l1∥l2，∴AC∥BD∥l1∥l2，∴∠1＝∠EAC，∠2＝∠FBD，∠CAB+∠DBA＝180°，∵∠EAB+∠FBA＝125°+105°＝230°，∴∠EAC+∠CAB+∠DBA+∠FBD＝230°，即∠1+∠2+180°＝230°，∴∠1+∠2＝50°，故选：C．    3．如图，如果AB∥CD，那么角α，β，γ之间的关系式为（　　）A．α+β+γ＝360° B．α﹣β+γ＝180° C．α+β+γ＝180° D．α+β﹣γ＝180°【解答】解：过点E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴EF∥AB∥CD，∴∠α+∠1＝180°，∠2＝∠γ，∵∠β＝∠1+∠2＝180°﹣∠α+∠γ，∴α+β﹣γ＝180°．故选：D．4．如图，a∥b，∠1＝55°，∠2＝130°，则∠3＝（　　）A．100° B．105° C．110° D．115°【解答】解：过A作c∥a，∴∠3+∠4＝180°，∵a∥b，∴b∥c，∴∠2+∠5＝180°，∵∠2＝130°，∴∠5＝50°，∵∠1＝55°，∴∠4＝180°﹣55°﹣50°＝75°，∴∠3＝180°﹣75°＝105°，故选：B．5．如图，玲玲在美术课上用丝线绣成了一个“2”，AB∥DE，∠A＝30°，∠ACE＝110°，则∠E的度数为（　　）A．30° B．150° C．120° D．100°【解答】解：过C作CQ∥AB，∵AB∥DE，∴AB∥DE∥CQ，∵∠A＝30°，∴∠A＝∠QCA＝30°，∠E+∠ECQ＝180°，∵∠ACE＝110°，∴∠ECQ＝110°﹣30°＝80°，∴∠E＝180°﹣80°＝100°，故选：D．6．如图，两直线AB、CD平行，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝（　　）A．630° B．720° C．800° D．900°【解答】解：分别过E点，F点，G点，H点作L1，L2，L3，L4平行于AB利用内错角和同旁内角，把这六个角转化一下，可得又5个180°的角∴180×5＝900°．故选：D．7．如图，五边形ABCDE中，AB∥CD，则图中x的值是（　　）A．75 B．65 C．60 D．55【解答】解：∵AB∥CD，∴∠B＝180°﹣∠C＝180°﹣60°＝120°，∵五边形ABCDE内角和为（5﹣2）×180°＝540°，∴在五边形ABCDE中，∠E＝540°﹣135°﹣120°﹣60°﹣150°＝75°．故图中x的值是75．故选：A．8．如图AB∥CD，∠1＝140°，∠2＝90°，则∠3的度数是（　　）A．40° B．45° C．50° D．60°【解答】解：过E作直线EF∥AB，∵AB∥EF，AB∥CD∴EF∥CD；∴∠1+∠4＝180°，又∠1＝140°，∴∠4＝40°，∵∠2＝90°，∴∠5＝90°﹣∠4＝90°﹣40°＝50°．∵EF∥CD，∴∠3＝∠5＝50°．故选：C．二．解答题（共4小题）9．如图，AB∥ED，α＝∠A+∠E，β＝∠B+∠C+∠D．证明：β＝2α【解答】证法1：∵AB∥ED，∴α＝∠A+∠E＝180°（两直线平行，同旁内角互补）过C作CF∥AB（如图1）∵AB∥ED，∴CF∥ED（平行于同一条直线的两条直线平行）∵CF∥AB，∴∠B＝∠1，（两直线平行，内错角相等）又∵CF∥ED，∴∠2＝∠D，（两直线平行，内错角相等）∴β＝∠B+∠C+∠D＝∠1+∠BCD+∠2＝360°（周角定义）∴β＝2α（等量代换） 证法2：∵AB∥ED，∴α＝∠A+∠E＝180°（两直线平行，同旁内角互补）过C作CF∥AB（如图2）∵AB∥ED，∴CF∥ED（平行于同一条直线的两条直线平行）∵CF∥AB，∴∠B+∠1＝180°，（两直线平行，同旁内角互补）又∵CF∥ED，∴∠2+∠D＝180°，（两直线平行，同旁内角互补）∴β＝∠B+∠C+∠D＝∠B+∠1+∠2+∠D＝180°+180°＝360°，∴β＝2α（等量代换）10．如图，已知AB∥CD，E，F分别是直线AB，CD之间的点，连接AE，CE，AF，CF，已知∠BAF＝∠BAE，∠DCF＝∠ECD，当∠AEC＝105°时，求∠AFC的度数．【解答】解：过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，则AB∥FN∥EM∥CD，∵AB∥EM∥CD，∴∠BAE+∠AEM＝180°，∠MEC+∠ECD＝180°，∴∠BAE+∠AEC+∠ECD＝360°，∵∠AEC＝105°，∴∠BAE+∠DCE＝360°﹣105°＝255°，∵∠BAF＝∠BAE，∠DCF＝∠ECD，∴∠BAF+∠DCF＝（∠BAE+∠ECD）＝255°＝85°，∵AB∥FN∥CD，∴∠BAF＝∠AFN，∠DCF＝∠CFN，∴∠AFC＝∠AFN+∠DCF＝∠BAF+∠DCF＝85°．答：∠AFC的度数是85°．11．如图，已知AB∥CD，∠1＝100°，∠2＝120°，求∠α的度数．【解答】解：过F作FG∥AB，∵AB∥CD，∴FG∥CD，∴∠1＝∠EFG＝100°，∠2+∠GFC＝180°，即∠GFC＝60°，∴∠α＝∠EFG﹣∠GFC＝100°﹣60°＝40°．12．已知：直线AB、CR被直线UV所截，直线UV交直线AB于点B，交直线CR于点D，∠ABU+∠CDV＝180°．（1）如图1，求证：AB∥CD；（2）如图2，BE∥DF，∠MEB＝∠ABE+5°，∠FDR＝35°，求∠MEB的度数；（3）如图3，在（2）的条件下，点N在直线AB上，分别连接EN、ED，MG∥EN，连接ME，∠GME＝∠GEM，∠EBD＝2∠NEG，EB平分∠DEN，MH⊥UV于点H，若∠EDC＝∠CDB，求∠GMH的度数．【解答】（1）证明：如图1，∵∠ABU+∠CDV＝180°，∠ABU+∠ABV＝180°，∴∠ABV＝∠CDV，∴AB∥CD；（2）解：如图2，由（1）知：AB∥CD，∴∠ABD＝∠BDR，∵BE∥DF，∴∠EBD＝∠DBF，∴∠ABD﹣∠EBD＝∠BDR﹣∠DBF，∴∠ABE＝∠FDR＝35°，∴∠MEB＝∠ABE+5°＝40°；（3）如图3，设∠MEN＝α，∵MG∥EN，∴∠GME＝∠MEN＝α，∵∠GME＝∠GEM＝α，∴∠NEG＝2α，∠BEN＝2α+40°，∴∠EBD＝2∠NEG＝4α，∴∠ABD＝∠ABE+∠EBD＝35°+4α，∵EB平分∠DEN，∴∠BED＝∠BEN＝α+40°，∴∠DEM＝α+80°，∵AB∥CD，∴∠CDB＝180°﹣∠ABD＝180°﹣（35°+4α）＝145°﹣4α，∵∠EDC＝∠CDB，∴∠BDE＝∠CDB＝（145°﹣4α），∵∠EBD+∠BED+∠BDE＝180°，∴4α+（α+40°）+（145°﹣4α）＝180°，解得：α＝10°，∴∠BDE＝（145°﹣4α）＝（145°﹣4×10°）＝90°，∠DEM＝α+80°＝10°+80°＝90°，∵MH⊥UV，∴∠MHD＝90°，∴∠EMH＝360°﹣∠MHD﹣∠BDE﹣∠DEM＝360°﹣90°﹣90°﹣90°＝90°，∴∠GMH＝∠EMH﹣∠GME＝90°﹣10°＝80°． 
  （2020•广元）如图，a∥b，M、N分别在a，b上，P为两平行线间一点，那么∠1+∠2+∠3＝（　　）【解答】解：过点P作PA∥a，∵a∥b，PA∥a，∴a∥b∥PA，∴∠1+∠MPA＝180°，∠3+∠APN＝180°，∴∠1+∠MPA+∠3+∠APN＝180°+180°＝360°，∴∠1+∠2+∠3＝360°．故选：B．