专题01 垂线段最短模型（解析版）

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   【结论一】如图，直线外一点A，到直线上的点M的距离最小  【结论二】如图，在三角形ABC中，M、N分别是DE、BC上的动点，连接AM，MN，求AM+MN的最小值。则有以下结论成立：过A作BC的垂线，垂足为Q，于DE相交于P，当M、N分别于P、Q重合时，AM+MN有最小值，即为AQ的长度。             方法点拨一、题型特征：①一定点②动点的运动轨迹为直线③可出现多个动点二、模型本质：过定点作定直线的垂线，垂线段最短。   
  1．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，D为AC中点，P为AB上的动点，将P绕点D逆时针旋转90°得到P′，连CP′，则线段CP′的最小值为（　　）A．1.6 B．2.4 C．2 D．2【解答】解：如图所示，过P'作P'E⊥AC于E，则∠A＝∠P'ED＝90°，由旋转可得，DP＝P'D，∠PDP'＝90°，∴∠ADP＝∠EP'D，在△DAP和△P'ED中，，∴△DAP≌△P'ED（AAS），∴P'E＝AD＝2，∴当AP＝DE＝2时，DE＝DC，即点E与点C重合，此时CP'＝EP'＝2，∴线段CP′的最小值为2，故选：C．2．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为10，面积是40，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为　13　．【解答】解：连接AD，AM．∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∴S△ABC＝BC•AD＝×10×AD＝40，解得AD＝8，∵EF是线段AC的垂直平分线，∴点C关于直线EF的对称点为点A，∴MA＝MC，∵MC+MD＝MA+MD≥AD，∴AD的长为CM+MD的最小值，∴△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+BC＝8+×10＝13．故答案为：13．3．如图，在△ABC中，AB＝6，S△ABC＝10，点M是∠ABC平分线BD上一动点，点N是BC上一动点，则CM+MN的最小值是 　　．【解答】解：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，过点M作MN⊥BC于点N，∵点M是∠ABC平分线BD上一动点，ME⊥AB，MN⊥BC，∴MN＝ME，∴MN+CM＝ME+CM＝CE，∵CE⊥AB，∴CE是点C到AB最短的线段，即CM+MN的最小值就是线段CE的长度，在△ABC中，AB＝6，S△ABC＝10，又∵•AB•CE＝S△ABC，∴×6×CE＝10，∴CE＝，故答案为．4．如图，在直角△ABC中，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，E、F分别为线段AD、AB上的动点，其中AB＝8，AC＝10，BD＝，则BE+EF的最小值为 　　．【解答】解：过点D作DB'⊥AC交于点B'，过B'作B'F⊥AB交AD于点E，交AB于点F，∵∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，∴BD＝B'D，∴Rt△ADB'≌Rt△ADB（HL），∴B与B'关于AD对称，∴BE＝B'E，∴要求BE+EF的最小求B'F的最小即可，∵AB＝8，AC＝10，BD＝，∴B'D＝，BC＝6，∵AB＝AB'，∴AB'＝8，∵sin∠CAB＝＝＝，∴B'F＝，∴BE+EF的最小值为，故答案为．5．如图，边长为8的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF，则在点E运动过程中，DF的最小值是　2　．【解答】解：如图，连接BF，由旋转可得，CE＝FC，∠ECF＝60°，∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC，∠ACB＝60°，∴∠ACE＝∠BCF，在△ACE和△BCF中，，∴△ACE≌△BCF（SAS），∴∠CBF＝∠CAE，∵边长为8的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，∴∠CAE＝30°，BD＝4，∴∠CBF＝30°，即点F的运动轨迹为直线BF，∴当DF⊥BF时，DF最短，此时，DF＝BD＝×4＝2，∴DF的最小值是2，故答案为2．6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝8，点P为AB的中点，E为BC上一动点，过C、E、P三点⊙O交AC于F点，连接EF，则EF的最小值为 　　．【解答】解：∵经过P、E、F三点确定⊙O，由圆周角定理可知：⊙O的直径为EF，连接PC，PF，PE，∵AC＝BC＝8，∴△ABC是等腰直角三角形，∵点P是AB的中点，∴CP平分∠ACB，∴∠ACP＝45°，∴∠ACP＝∠PEF＝45°，∴△EFP是等腰直角三角形，∴FE＝PE，当PE⊥BC时，PE最小，即EF最小，此时PE＝AC＝4，∴EF的最小值＝4，故答案为：4．7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4，D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动（点E不与点A、C重合），且保持∠EDF＝90°，连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，有下列结论：①DE＝DF；②四边形CEDF的面积随点E、F位置的改变而发生变化；③CE+CF＝AB；④AE2+BF2＝2ED2．以上结论正确的是　①③④　（只填序号）．【解答】解：连接CD，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠DCB＝∠A＝45°，CD＝AD＝DB，∵∠ADC＝∠EDF＝90°，∴∠ADE＝∠CDF，在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（ASA），∴ED＝DF，故①正确；∴S△ADE＝S△CDF，∴S四边形CEDF＝S△ADC＝S△ABC＝定值，故②错误，∵△ADE≌△CDF，∴AE＝CF，∴CE+CF＝CE+AE＝AC＝AB，故③正确，∵AE＝CF，AC＝BC，∴EC＝BF，∴AE2+BF2＝CF2+CE2＝EF2，∵EF2＝2DE2，∴AE2+BF2＝2ED2，故④正确．故答案为①③④．  1．（2021•东阿县三模）如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，AC＝12，BD＝16，点P为边BC上一点，且P不与写B、C重合．过P作PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，连接EF，则EF的最小值等于　4.8　．【解答】解：连接OP，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，AC＝12，BD＝16，∴AC⊥BD，BO＝BD＝8，OC＝AC＝6，∴BC＝＝＝10，∵PE⊥AC，PF⊥BD，AC⊥BD，∴四边形OEPF是矩形，∴FE＝OP，∵当OP⊥BC时，OP有最小值，此时S△OBC＝OB×OC＝BC×OP，∴OP＝＝4.8，∴EF的最小值为4.8，故答案为：4.8