专题01 斜中半（解析版）

这是一份专题01 斜中半（解析版），共19页。





















中点问题一--斜中半







模型讲解



【定理：斜中半】
已知：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边BC的中线，则：BC＝2AD．





【证明】：
延长AD到E，使DE＝AD，连接CE，
∵AD是斜边BC的中线∴BD＝CD
∵∠ADB＝∠EDC，AD＝DE
∴△ADB≌△EDC（SAS）
∴AB＝CE，∠B＝∠DCE
∴AB∥CE∴∠BAC+∠ACE＝180°
∵∠BAC＝90°∴∠ACE＝90°
∵AB＝CE，∠BAC＝∠ECA＝90°，AC＝CA
∴△ABC≌△CEA（SAS）
∴BC＝EA
∵AE＝2AD
∴BC＝2AD．


【逆定理】
如图，CD是△ABC的中线，CD＝AB．则△ABC为直角三角形．



【证明】：
∵CD是△ABC的中线
∴AD＝BD＝AB，
∵CD＝AB，
∴AD＝CD＝BD，
∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠DCB，
在△ABC中，∠A+∠B+∠ACD+∠DCB＝180°
∴∠A+∠B+∠A+∠B＝180°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠ACB＝∠ACD+∠DCB＝90°，
∴△ABC为直角三角形．
【模型一】
在Rt△ABC中，AB＝BC；在Rt△ADE中，AD＝DE；连接EC，取EC的中点M，连接DM和BM．若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图，求证：，且．则：（1）BM＝DM （2）BM⊥DM
【证明】：
∵∠ABC＝∠ADE＝90°，
∴∠EDC＝90°，
∵点M是CE的中点，
∴BM＝CE，DM＝CE，
∴BM＝DM，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∵∠BME＝∠1+∠2，∠EMD＝∠3+∠4，
∴∠BMD＝2（∠1+∠3），
∵△ABC等腰直角三角形，
∴∠BCA＝45°，
∴∠BMD＝90°，
∴BM＝DM且BM⊥DM．


【模型二】
已知：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，且AB的长度恒定，CD是斜边AB的中线，P为平面内一定点（在C运动轨迹之外），连接PC，则：PC+CD的最小值为PD．







【证明】：
∵AD是斜边BC的中线
∴BD＝CD=AD，且长度一定
∴C的运动轨迹为：以D为圆心，CD为半径的圆上。
∵当P、C、D三点不共线时，PC+CD＞PD
∴当P、C、D三点共线时，PC+CD=PD
∴PC+CD的最小值=PD


例题演练


1．如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝∠BAD＝90°，AC，BD相交于点E，点G，H分别是AC，BD的中点，若∠BEC＝80°，那么∠GHE等于（　　）

A．5° B．10° C．20° D．30°
【解答】解：连接AH，CH，
∵在四边形ABCD中，∠BCD＝∠BAD＝90°，H是BD的中点，
∴AH＝CH＝BD．
∵点G时AC的中点，
∴HG是线段AC的垂直平分线，
∴∠EGH＝90°．
∵∠BEC＝80°，
∴∠GEH＝∠BEC＝80°，
∴∠GHE＝90°﹣80°＝10°．
故选：B．

2．如图，在△ABC中，点D是边AB上的中点，连接CD，将△BCD沿着CD翻折，得到△ECD，CE与AB交于点F，连接AE．若AB＝6，CD＝4，AE＝2，则点C到AB的距离为（　　）

A． B．4 C． D．2
【解答】解：连接BE，延长CD交BE于点G，作CH⊥AB于点H，如图所示，由折叠的性质可得：BD＝DE，CB＝CE，则CG为BE的中垂线，故BG＝，
∵D为AB中点，
∴BD＝AD，S△CBD＝S△CAD，AD＝DE，
∴∠DBE＝∠DEB，∠DEA＝∠DAE，
∵∠EDA+∠DEA+∠DAE＝180°，
即2∠DEB+2∠DEA＝180°，
∴∠DEB+∠DEA＝90°，
即∠BEA＝90°，
在直角三角形AEB中，由勾股定理可得：
BE＝＝＝，
∴BG＝，
∵S△ABC＝2S△BDC，
∴2×＝，
∴CH＝＝＝．
故选：C．

3．如图，在等边△ABC中，AB＝6，∠AFB＝90°，则CF的最小值为（　　）

A．3 B． C．6﹣3 D．3﹣3
【解答】解：如图取AB的中点E，连接EF、EC．

∵△ABC是等边三角形，AE＝EB，
∴AB＝BC＝6，∠CBE＝60°，
∴CE＝BC•sin60°＝3，
∵∠AFB＝90°，AE＝EB，
∴EF＝AB＝3，
∴CF≥EC﹣EF，
∴当E、F、C共线时，FC的值最小，最小值为3﹣3，
故选：D．
强化训练


1．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，点E为AC的中点，∠DBE＝30°，BD＝2，则BC的长为　4　．

【解答】解：∵BD⊥AC，∠DBE＝30°，BD＝2，
∴DE＝2，BE＝4，
∵在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点E为AC的中点，
∴EC＝AE＝BE＝4，
∴CD＝CE+DE＝6，
∴BC＝，
故答案为：4．
2．如图，在△ABC中，AB＝6，D、E分别是AB、AC的中点，点F在DE上，且DF＝3FE，当AF⊥BF时，BC的长是　8　．

【解答】解：∵AF⊥BF，
∴∠AFB＝90°，又D是AB的中点，
∴DF＝AB＝3，
∵DF＝3FE，
∴EF＝1，
∴DE＝4，
∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴BC＝2DE＝8，
故答案为：8．
二．选择题（共6小题）
3．如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝∠BAD＝90°，AC，BD相交于点E，点G，H分别是AC，BD的中点，若∠BEC＝80°，那么∠GHE等于（　　）

A．5° B．10° C．20° D．30°
【解答】解：连接AH，CH，
∵在四边形ABCD中，∠BCD＝∠BAD＝90°，H是BD的中点，
∴AH＝CH＝BD．
∵点G时AC的中点，
∴HG是线段AC的垂直平分线，
∴∠EGH＝90°．
∵∠BEC＝80°，
∴∠GEH＝∠BEC＝80°，
∴∠GHE＝90°﹣80°＝10°．
故选：B．

4．如图，△ABC中，BC＝18，若BD⊥AC于D点，CE⊥AB于E点，F，G分别为BC、DE的中点，若ED＝10，则FG的长为（　　）

A．2 B． C．8 D．9
【解答】解：连接EF、DF，
∵BD⊥AC，F为BC的中点，
∴DF＝BC＝9，
同理，EF＝BC＝9，
∴FE＝FD，又G为DE的中点，
∴FG⊥DE，GE＝GD＝DE＝5，
由勾股定理得，FG＝＝2，
故选：A．

5．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点，AE＝CF，连接EF，BF，EF与对角线AC交于点O，且BE＝BF，∠BEF＝2∠BAC，FC＝2，则AB的长为（　　）

A．8 B．8 C．4 D．6
【解答】解：如图，连接BO，
∵四边形ABCD是矩形，
∴DC∥AB，∠DCB＝90°
∴∠FCO＝∠EAO，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF，
∴OE＝OF，OA＝OC，
∵BF＝BE，
∴BO⊥EF，∠BOF＝90°，
∵∠FEB＝2∠CAB＝∠CAB+∠AOE，
∴∠EAO＝∠EOA，
∴EA＝EO＝OF＝FC＝2，
在RT△BFO和RT△BFC中，
，
∴RT△BFO≌RT△BFC，
∴BO＝BC，
在RT△ABC中，∵AO＝OC，
∴BO＝AO＝OC＝BC，
∴△BOC是等边三角形，
∴∠BCO＝60°，∠BAC＝30°，
∴∠FEB＝2∠CAB＝60°，∵BE＝BF，
∴△BEF是等边三角形，
∴EB＝EF＝4，
∴AB＝AE+EB＝2+4＝6．
故选：D．

6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝2，点A、C分别在x轴、y轴上，当点A在x轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点的最大距离是（　　）

A．2+2 B．2 C．2 D．6
【解答】解：取AC的中点D，连接OD、DB，
∵OB≤OD+BD，
∴当O、D、B三点共线时OB取得最大值，
∵D是AC中点，
∴OD＝AC＝2，
在Rt△BCD中，BD＝＝＝2，OD＝AC＝2，
∴点B到原点O的最大距离为2+2，
故选：A．

7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，BC＝6，D为AB上一动点（不与点A重合），△AED为等边三角形，过D点作DE的垂线，F为垂线上任一点，G为EF的中点，则线段BG长的最小值是（　　）

A．6 B．9 C．3 D．6
【解答】解：如图，连接DG，AG，设AG交DE于点H，

∵DE⊥DF，G为EF的中点，
∴DG＝GE，
∴点G在线段DE的垂直平分线上，
∵△AED为等边三角形，
∴AD＝AE，
∴点A在线段DE的垂直平分线上，
∴AG为线段DE的垂直平分线，
∴AG⊥DE，∠DAG＝∠DAE＝30°，
∴点G在射线AH上，当BG⊥AH时，BG的值最小，如图所示，设点G'为垂足，
∵∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，
∴∠ACB＝∠AG'B，∠CAB＝∠BAG'，
则在△BAC和△BAG'中，
，
∴△BAC≌△BAG'（AAS）．
∴BG'＝BC＝6，
故选：D．
8．如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为（3，4），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：连接OP，
∵PA⊥PB，
∴∠APB＝90°，
∵AO＝BO，
∴AB＝2PO，
若要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，
连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最小值，
过点M作MQ⊥x轴于点Q，

则OQ＝3、MQ＝4，
∴OM＝5，
又∵MP′＝2，
∴OP′＝3，
∴AB＝2OP′＝6，
故选：D．
三．解答题（共3小题）
9．如图，Rt△ABC中，∠CAB＝90°，∠ACB＝30°，D是AB上一点（不与A、B重合），DE⊥BC于E，若P是CD的中点，请判断△PAE的形状，并说明理由．

【解答】解：△PAE的形状为等边三角形；理由如下：
∵在Rt△CAD中，∠CAD＝90°，P是斜边CD的中点，
∴PA＝PC＝CD，
∴∠ACD＝∠PAC，
∴∠APD＝∠ACD+∠PAC＝2∠ACD，
同理：在Rt△CED中，PE＝PC＝CD，∠DPE＝2∠DCB，
∴PA＝PE，即△PAE是等腰三角形，
∴∠APE＝2∠ACB＝2×30°＝60°，
∴△PAE是等边三角形．
10．已知：在Rt△ABC中，AB＝BC；在Rt△ADE中，AD＝DE；连接EC，取EC的中点M，连接DM和BM．
（1）若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图（1），求证：BM＝DM，且BM⊥DM；
（2）如果将图（1）中的△ADE绕点A逆时针旋转小于45°的角，如图（2），那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给出证明．

【解答】解：（1）△BMD是等腰三角形，
理由是：∵∠ABC＝∠ADE＝90°，
∴∠EDC＝90°，
∵点M是CE的中点，
∴BM＝CE，DM＝CE，
∴BM＝DM，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∵∠BME＝∠1+∠2，∠EMD＝∠3+∠4，
∴∠BMD＝2（∠1+∠3），
∵△ABC等腰直角三角形，
∴∠BCA＝45°，
∴∠BMD＝90°，
∴BM＝DM且BM⊥DM；
故答案为：BM＝DM且BM⊥DM．

（2）：（1）中的结论仍成立，
延长DM至点F，使得DM＝MF，连接CD和EF，连接BD，连接BF、FC，延长ED交AC于点H．
∵DM＝MF，EM＝MC，
∴四边形CDEF是平行四边形，
∴DE∥CF，ED＝CF，
∵ED＝AD，
∴AD＝CF．
∵DE∥CF，
∴∠AHE＝∠ACF．
∵∠BAD＝45°﹣∠DAH＝45°﹣（90°﹣∠AHE）＝∠AHE﹣45°，∠BCF＝∠ACF﹣45°，
∴∠BAD＝∠BCF．
又∵AB＝BC，
∴△ABD≌△CBF，
∴BD＝BF，∠ABD＝∠CBF，
∵∠ABD+∠DBC＝∠CBF+∠DBC，
∴∠DBF＝∠ABC＝90°．
在Rt△DBF中，由BD＝BF，DM＝MF，得BM＝DM且BM⊥DM．






1．△ABC为等边三角形，AB＝8，AD⊥BC于点D，E为线段AD上一点，AE＝2．以AE为边在直线AD右侧构造等边三角形AEF，连接CE，N为CE的中点．
（1）如图1，EF与AC交于点G，连接NG，求线段NG的长；
（2）如图2，将△AEF绕点A逆时针旋转，旋转角为α，M为线段EF的中点，连接DN，MN．当30°＜α＜120°时，猜想∠DNM的大小是否为定值，并证明你的结论；
（3）连接BN，在△AEF绕点A逆时针旋转过程中，当线段BN最大时，请直接写出△ADN的面积．

【解答】解：（1）如图1中，连接BE，CF．

∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴AB＝BC＝AC＝8，BD＝CD＝4，∠BAD＝∠CAD＝30°，
∴AD＝BD＝4，
∵△AEF是等边三角形，
∴∠EAF＝60°，
∴∠EAG＝∠GAF＝30°，
∴EG＝GF，
∵AE＝2，
∴DE＝AE＝2，
∴BE＝＝＝2，
∵△ABC，△AEF是等边三角形，
∴AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF＝60°，
∴∠BAE＝∠CAF，
∴△BAE≌△CAF（SAS），
∴CF＝BE＝2，
∵EN＝CN，EG＝FG，
∴GN＝CF＝．

（2）结论：∠DNM＝120°是定值．

理由：连接BE，CF．同法可证△BAE≌△CAF（SAS），
∴∠ABE＝∠ACF，
∵∠ABC+∠ACB＝60°+60°＝120°，
∴∠EBC+∠BCF＝∠ABC﹣∠ABE+∠ACB+∠ACF＝120°，
∵EN＝NC，EM＝MF，
∴MN∥CF，
∴∠ENM＝∠ECF，
∵BD＝DC，EN＝NC，
∴DN∥BE，
∴∠CDN＝∠EBC，
∵∠END＝∠NDC+∠NCD，
∴∠DNM＝∠DNE+∠ENM＝∠NDC+∠ACB+∠ACN+∠ECF＝∠EBC+∠ACB+∠ACF＝∠EBC+∠BCF＝120°．

（3）如图3﹣1中，取AC的中点，连接BJ，BN．

∵AJ＝CJ，EN＝NC，
∴JN＝AE＝，
∵BJ＝AD＝4，
∴BN≤BJ+JN，
∴BN≤5，
∴当点N在BJ的延长线上时，BN的值最大，如图3﹣2中，过点N作NH⊥AD于H，设BJ交AD于K，连接AN．

∵KJ＝AJ•tan30°＝，JN＝，
∴KN＝，
在Rt△HKN中，∵∠NHK＝90°，∠NKH＝60°，
∴HN＝NK•sin60°＝×＝，
∴S△ADN＝•AD•NH＝×4×＝7．