人教B版 (2019)选择性必修 第三册第六章 导数及其应用6.3 利用导数解决实际问题课后复习题

【精品】6.3 利用导数解决实际问题-1随堂练习

一．填空题

1．某收音机制造厂管理者通过对上班工人工作效率的研究表明：一个中等技术水平的工人，从8：00开始工作，t小时后可装配晶体管收音机的台数为Q(t)=-t3+9t2+12t，则Q′(2)=　　　　，它的实际意义为　          .

2．如图，将一块半径为2的半圆形纸板切割成等腰梯形的形状，下底是半圆的直径，上底的端点在半圆上，则所得梯形的最大面积为__________．

3．用一张长方形纸片，经过折叠以后，糊成了一个无盖的长方体形纸盒，这个纸盒的最大容积是_________ .

4．用总长为14.8 m的钢条制作一个长方体容器的框架，若所制作容器的底面的一边比高长0.5 m，则当高为______ m时，容器的容积最大．

5．在半径为r的圆内，作内接等腰三角形，当底边上的高为________时它的面积最大．

6．有矩形铁板，其长为6，宽为4，现从四个角上剪掉边长为x的四个小正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子，要使容积最大，则x＝________.

7．某银行贷款年利率为r，按月计息利率为，小王计划向银行贷款p元，已知贷款利息按复利计算（即每期的利息并入本金，在下一期中一起计息），设按年计息与按月计息两种贷款方式一年后的还款总额（本金．利息之和）分别为a,b，则a,b的大小关系是_________。

8．某果园种植丑橘每年固定成本10万元，每年最大产量13万斤，每种一斤橘子，成本增加1元，已知销售额函数，（是橘子产量，单位：万斤，销售额单位：万元，为常数）若产2万斤，利润18万元，则______；要使利润最大，每年需产橘子______万斤．

9．某商品一件的成本为30元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出(200－x)件，当每件商品的定价为           元时，利润最大．

10．半径为的圆的面积，周长，若将看作(0，＋∞)上的变量，则.①

①式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．对于半径为的球，若将看作上的变量，类比圆可得到与球有关的式子：_________________________，你所写的式子可用语言叙述为____________________________．

11．如图，曲线在点处的切线为，直线与轴和直线分别交于点．，点，则的面积取值范围为_____．

12．做一个容积为256 dm3的方底无盖水箱，它的高为______dm时最省料．

13．某产品的销售收入（万元）是产量x（千台）的函数，生产成本（万元）是产量x（千台）的函数，已知，为使利润最大，应生产_________（千台）．

14．内接于半径为R的球并且体积最大的圆柱的高为           ．

15．已知直线与曲线相切，则_________。

参考答案与试题解析

1．【答案】36(台/时)　10：00时工人装配收音机的速度为36台/时

【解析】∵Q(t)=-t3+9t2+12t，

∴Q′(t)=-3t2+18t+12，

∴Q′(2)=-3×4+18×2+12=36(台/时).

实际意义：10：00时工人装配收音机的速度为36台/时.

2．【答案】

【解析】设半圆圆心为设， =

，即求最大值。，导数等于0只有一个极值点，即，所以。填。

3．【答案】

【解析】设剪下的四个正方形边长为，则，经过折叠以后，糊成的长方体形纸盒是一个底面是长为宽为长方形，其面积为，长方体的高为 ，体积为,

，由 得函数在 上递增，由得函数在上递减，所以这个纸盒的最大容积是,故答案为.

4．【答案】1

【解析】由题意直接列出函数表达式，再用导数求最值，设高为x m，

则V＝x(x＋0.5)(3.2－2x)，

令V′＝－6x2＋4.4x＋1.6＝0，

即解15x2－11x－4＝0，

得x＝1，x＝－ (舍去)．

5．【答案】

【解析】如图，设∠OBC＝θ，则0<θ<，

OD＝rsin θ，BD＝rcos θ.

∴S△ABC＝rcos θ(r＋rsin θ)＝r2cos θ＋r2sin θcos θ.

令S′＝－r2sin θ＋r2(cos2θ－sin2θ)＝0.

∴cos 2θ＝sin θ.

∴1－2sin2θ＝sin θ，解之sin θ＝，0<θ<.

∴θ＝，即当θ＝时，△ABC的面积最大，即高为OA＋OD＝r＋＝时面积最大．

6．【答案】

【解析】可列出V＝(6－2x)(4－2x)·x，求导求出x的最大值．

7．【答案】

【解析】按年计息：按月计息：，做差比较即可.

【详解】

由题按年计息：按月计息：，则令故

故答案为.

【点睛】

本题考查函数导数的应用，关键是写出a,b的表达式，做差，求导判正负.

8．【答案】3    6 

【解析】由题意可知，可求出，若设产量与利润的函数为，则，然后求的最大值即可.

详解：解：因为产2万斤，利润18万元，

所以，解得

所以，

若设产量与利润的函数为，

则，

，令，则（舍去）或，

因为当时，，当时，，

所以当，取最大值，

故答案为：3，6

【点睛】

此题考查了导数在实际生活中的优化问题，解题的关键是实际问题数学化，属于基础题.

9．【答案】115

【解析】利润S(x)＝(x－30)(200－x)＝－x2＋230x－6 000，S′(x)＝－2x＋230.由S′(x)＝0得x＝115，这时利润达到最大．

10．【答案】  ′＝4πR2  球的体积函数的导数等于球的表面积函数

【解析】半斤为r的球的体积为，表面积，若将r看作(0，＋∞)上的变量，则，此表达式得语言描述为球的体积函数的导数等于球的表面积函数

11．【答案】

【解析】先对函数求导,得,代入切点的横坐标即可得斜率,根据点斜式方程可得切线方程,求出切线方程与轴和直线的交点,根据三点可求得面积的表达式是一元二次,对面积求导,判断出单调性,即可求出面积的取值范围.

【详解】

解：的导数为,

在点处的切线斜率为,切点为,

切线方程为

令可得；令,可得,

则的面积为,

由 ,

当 时, ,函数递增；当时, ,函数递减,

可得 处取得极大值,且为最大值,

且时,；时, ,

可得的面积取值范围为,

故答案为：,

【点睛】

本题考查导数在函数中的应用：求切线方程,求单调性和最值,以及根据图象观察分析的能力,是一道中档题.

12．【答案】4

【解析】设底面边长为x dm，则高为h＝dm，

其表面积为S＝x2＋4××x＝x2＋，

S′＝2x－，令S′＝0，则x＝8，

则高h＝＝4 (dm)．

13．【答案】6

【解析】分析：由题意得到利润关于产量的函数式，再由导数求得使利润最大时的产量．

详解：由题意，利润y=（x＞0）．

y′=36x﹣6x2，

由y′=36x﹣6x2=6x（6﹣x）=0，得x=6（x＞0），

当x∈（0，6）时，y′＞0，当x∈（6，+∞）时，y′＜0.

∴函数在（0，6）上为增函数，在（6，+∞）上为减函数．

则当x=6（千台）时，y有最大值为144（万元）．

故答案为：6.

点睛：解决函数模型应用的解答题，还有以下几点容易造成失分：①读不懂实际背景，不能将实际问题转化为函数模型．②对涉及的相关公式，记忆错误．③在求解的过程中计算错误.另外需要熟练掌握求解方程．不等式．函数最值的方法，才能快速正确地求解．含有绝对值的问题突破口在于分段去绝对值，分段后在各段讨论最值的情况.

14．【答案】R

【解析】设圆柱的高为x，则底面半径r＝，

圆柱体积为V＝ (4R2－x2)x，(0<x<2R)，令V′＝ (4R2－3x2)＝0

解得x＝R.所以，当圆柱的高为R时，球内接圆柱的体积最大．

15．【答案】2

【解析】分析：求函数的导数，由已知切线的方程，可得切线的斜率，求得切点的坐标，即可求得的值．

详解：曲线的导数.

∵直线与曲线相切

∴切线的斜率为，可得切点的横坐标为.

∴切点坐标为

∴，即.

故答案为.

点睛：本题主要考查导数的应用，. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：（1）已知切点求斜率,即求该点处的导数；（2）己知斜率求切点即解方程；（3）巳知切线过某点 (不是切点) 求切点, 设出切点利用求解.