高中人教B版 (2019)6.1.2 导数及其几何意义优秀ppt课件

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6.1.2 导数及其几何意义                   本节课选自《2019人教B版高中数学选择性必修三》第六章《导数及其应用》，本节课主要学习导数及其几何意义本节内容在前面学习了函数的平均变化率概念的基础上，提出瞬时速度及变化率的问题，归纳出导数的概念。并引出导数的几何意义。导数及其几何意义是本章中的核心概念，它是研究函数的基础。在学习过程中，注意特殊到一般、数形结合、极限等数学思想方法的渗透。课程目标学科素养A. 理解瞬时变化率、导数的概念．B.理解导数的几何意义．C.会用导数的定义及几何意义求曲线在某点处的切线方程．1.数学抽象：导数的概念2.逻辑推理：导数及导数的几何意义 3.数学运算：求曲线在某点处切线的斜率 4.直观想象：导数的几何意义  重点：导数的概念及其几何意义 难点：求曲线在某点处的切线方程  多媒体       教学过程教学设计意图核心素养目标一、    情景导学问题1. 从物理学中我们知道，如果物体运动的轨迹是一条曲线，那么该物体在每一个点处的瞬时速度的方向是与曲线相切的.例如，若物体的运动轨迹如图所示，而且物体是顺次经过A,B两点的，则物体在A点处的瞬时速度的方向与向量的方向相同.     那么到底什么是瞬时速度呢？怎样才能确定一般曲线在某一点的切线?例如,图中物体在B处的速度方向与向量还是向量的方向相同？探究1.已知物体运动的位移与时间的关系为（1）分别求出物体在与这两段时间内的平均速度；（2）思考物体在时的速度该如何定义，并指出这一速度的实际意义.根据平均速度等于平均变化率可知，在内，物体的平均速度为 .在这段时间内物体的平均速度为 .不难想到，如果记时物体速度为, 那么当很小时，物体在以2和 端点的闭区间上的平均速度应该是的近似值，即 0.5而且，近似会越来越精确，此时，可以看出是无限接近于2的，如下表所示. 0.5-0.1-0.01-0.0010.0010.010.1区间平均速度 0.51.951.9951.99952.00052.0052.05因此，可以认为时，是物体的速度，这个速度通常称为瞬时速度（简称为速度）.这一速度的实际意义是，在附近的任意一小段时间内，物体运动的位移的近似值为
     瞬时速度在日常生活中随处可见，例如,汽车在行驶时,速度表盘上显示的就是瞬时速度,如图所示，而且该瞬时速度也是按照上述的方法得出的近似值.一、瞬时变化率与导数 一般地,设函数y=f(x)在x0附近有定义,自变量在x=x0处的改变量为Δx,当Δx无限接近于0时,若平均变化率无限接近于一个常数k,那么称常数k为函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率.此时,也称f(x)在x0处可导,并称k为f(x)在x=x0处的导数,记作f'(x0)=k.为了简单起见,“当Δx无限接近于0时,无限接近于常数k”也常用符号“→”(读作“趋向于”)表示为当Δx→0时,→k,或者写成=k,即f'(x0)=.前面的尝试与发现中， 时的瞬时速度实际上就是函数在处的导数即 二、典例解析例1. 已知函数，求在处的导数解：当自变量在处的改变量为时，平均变化率 .
可以看出，当无限接近于0时，无限接近于-6，因此 例2. 在生产过程中，产品的总成本C一般来说是产量Q的函数，记作,称为总成本函数.为了方便起见，经济学家们总是假设Q能在某一区间内连续的取值，并将总成本函数的导数称为在的边际成本，用MC表示，即MC.已知某产品的总成本函数,求边际成本MC，并说明实际意义.解：设Q=300时产量的改变量为则 令 ，可得MC 因此，产量为300时的边际成本为600.其实际意义是：此时多生产1件产品，成本要增加600. 求函数y=f(x)在点x0处的导数的三个步骤 简称:一差、二比、三极限.  跟踪训练1.(1)设函数y=f(x)在x=x0处可导,且=1,则f'(x0)等于(　　)　 　　　　　　　　　　　　　　A.1 B.-1 C.- D.(2)求函数f(x)=x-在x=1处的导数.分析:(1)类比f'(x0)=求解.(2)先求Δf→再求→计算(1)解析:∵==-3f'(x0)=1,∴f'(x0)=-,故选C.答案:C(2)解:∵Δf=(1+Δx)-=Δx+1-=Δx+,∴=1+,∴f'(1)==2.例3.某正方形铁板在时，边长为10cm.当温度在很小的范围内变化时，由于热胀冷缩，铁板的边长也会发生变化，而且已知温度为正方形的边长为10 其中为常数，设此时正方形的面积为，且,求并且使其实际意义.解：依题意可知 ,设=0时温度的改变量为则 令 ，可得 这表示在时，铁板面积对温度的瞬时变化率为，实际意义是，在时，温度的该变量很小时，铁板面积的该变量的近似值 .探究2.已知函数 ,设自变量在的改变量:（1）依照定义求出；（2）设M为函数图像上一点,探讨无限接近于0时,直线OM具有什么样的性质.显然，平均变化率 可以看出，当无限接近于0时, 无限接近于1，因此 从几何上看如图所示，点A,B对应的都小于0，而且B对应的更加接近于0，这也就是说,直线OA,OB的斜率都小于1，且OB的斜率更接近于1，类似地，点C，D对应的都大于0，而且C对应的更加接近于0，直线OC,OD的斜率都大于1，且OC的斜率更接近于1.        因此，若M为函数图像上一点，则无限接近于0时，直线OM的斜率将无限接近于1,直线OM将无限接近于过O点且斜率为1的直线.这里的直线就是曲线 在（0,0）处的切线.                  二、导数的几何意义      函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,f'(x0)就是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处(也称在x=x0处)的切线的斜率,从而根据直线的点斜式方程可知,切线的方程是y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).例4.已知函数,求曲线在处切线的斜率与方程。解：因为 因此所求切线的斜率为2.又因为=1，所以切线的方程为 即解决曲线y=f(x) 上点P(x0,y0)处的切线方程的基本步骤：若切点为P(x0,y0),则y0=f(x0),切线斜率k=f'(x0).由kPM=k,得方程k=f'(x0)=.化简上述方程，得切线方程y-y0=k(x-x0).例5.已知函数,求曲线在处的切线方程。解：因为 又因，所以切线的方程为 即       借助曲线的切线，我们还可以从几何上来理解瞬时变化率的实际意义，并可利用某一点的导数来估计这一点附近的函数值。        通过具体问题的思考和分析，提出计算瞬时速度的问题。发展学生数学抽象和数学建模的核心素养。                                     由特殊到一般的思想，建立导数的概念，发展学生数学抽象、逻辑推理和数学建模的核心素养。                           通过典型例题，加深学生对导数的理解和运用，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素                                                 通过典型例题，加深学生对求曲线上某点处切线斜率的理解和运用，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素  三、达标检测1.已知f(x)=x3,则f'(0)=(　　)A.-1 B.1    C.          D.0解析:f'(0)==(Δx)2=0.答案:D 2.已知函数,则曲线y=f(x)在(1,-1)处的切线方程是(　　)A.x-y-2=0     B.2x-2y+3=0      C. x+y=0          D. x-y=0解析:f'(1)==1,所以切线的斜率k=1.由点斜式可得y+1=x-1,即x-y-2=0,此即为切线方程.答案:A 3.已知函数f(x)在x=x0处的导数为2,则=(　　)解析:根据题意,×f'(x0),又由函数f(x)在x=x0处的导数为2,即f'(x0)=2,故=1.故选C.答案:C 4.一木块沿某一斜面自由下滑,测得下滑的水平距离s(m)与时间t(s)之间的函数关系为s=t2,则t=2 s时,此木块在水平方向的瞬时速度为　　　m/s. 解析:t=2 s时的瞬时速度为=(4+Δt)=(m/s).答案:5.已知函数f(x)=x2+,试求曲线y=f(x)与x轴平行的切线方程. 解:设切点为(x0,y0),由导数定义可得f'(x0)====2x0-.切线与x轴平行时,其斜率为0,则有2x0-=0,解得x0=1,此时y0=3.故切线方程为y-3=0(x-1),即y=3.  通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。    四、小结1．函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率即为f′(x0)，且f′(x0)＝.2．求曲线在点(x0，y0)处的切线方程可直接套用公式：y－y0＝f′(x0)(x－x0)求解．3．根据导数的几何意义可知，f′(x0)能反映曲线f(x)在x＝x0处的升降及变化快慢情况，若f′(x0)>0，则曲线在该点处上升，若f′(x0)<0，则曲线在该点处下降． 五、课时练通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。   由于教师不仅是知识的传授者，而且也是学生学习的引导者、组织者和合作者。所以我采用“问题情景---建立模型---求解---解释---应用”的教学模式，启发引导学生通过对问题的亲身动手探求、体验，获得不仅是知识，更重要的是掌握了在今后的发展中用这种手段去获取更多的知识的方法。这是“教师教给学生寻找水的方法或给学生一杯水，使学生能找到一桶水乃至更多活水”的求知方式。多媒体可以使教学内容生动、形象、鲜明地得到展示。