人教B版 (2019)选择性必修 第三册5.5 数学归纳法课堂检测

【优质】5.5 数学归纳法-2优选练习

一．填空题

1．已知，用数学归纳法证明时，有______．

2．求极限：_______．

3．已知数列，，，…，，则数列的所有项和为______.

4．观察下列等式：

1－

1－

1－

据此规律，第个等式可为______________________.

5．观察下列式子：，…，根据上述规律，第n个不等式应该为_________．

6．用数学归纳法证明的过程中，从到时，比共增加了___________项.

7．已知无穷等比数列的首项,公比为q,且有,则首项的取值范围是______

8．___________．

9．已知，则当时，___________.

10．用数学归纳法证明（，n＞1）时，第一步应验证的不等式是______．

11．己知数列满足，，则_____

12．对一切自然数，猜出使成立的最小自然数_______.

13．已知（a是常数），则______．

14．用数学归纳法证明，第一步可以取到的自然数_______.

15．若一无穷等比数列各项和为2，则首项的范围为_____．

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】根据题意可知，假设，代入可得到，当时，，两式相减，化简即可求解出结果。

【详解】

由题可知，，

，

所以．

故答案为。

【点睛】

本题主要考查利用数学归纳法证明不等式过程中的归纳递推步骤。

2．【答案】

【解析】分子分母同时除以，即可得出极限值.

详解：，

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查了极限的求法，属于基础题.

3．【答案】1

【解析】采用裂项公式和数学归纳法即可求解

【详解】

，则

猜测，运用数学归纳法证明：当时，，成立

假设当时，成立，

则当时，

即当时，等式也成立，故对所有的，都成立

则

故答案为1

【点睛】

本题考查裂项求和公式的用法，数学归纳法的应用，极限的简单求值，属于基础题

4．【答案】

【解析】由已知可得：第个等式左边含有项，其中奇数项为，偶数项为，其等式右边为后项的绝对值之和，即可得出。

【详解】

由已知可得：第个等式左边含有项，其中奇数项为，偶数项为，等式右边为后项的绝对值之和，

所以，第个等式为：。

故答案为：。

【点睛】

本题考查了观察分析猜想归纳求数列通项公式的方法，考查了推理能力与计算能力，属于中等题。

5．【答案】1＋＋＋＋＜

【解析】根据规律得到不等式左边为1＋＋＋＋，右边为，得到答案.

详解：不等式的左边为连续自然数的平方的倒数和，即1＋＋＋＋

不等式的右边为，所以第n个不等式应该为1＋＋＋＋＜

故答案为：1＋＋＋＋＜

【点睛】

本题考查了归纳推理，意在考查学生的推理能力.

6．【答案】2k

【解析】分别计算出f（k+1）与f（k）的项数，进而作差即得结论．

【详解】

∵，∴共2k项，

则共2k+1项，

∴比共增加了2k+1﹣2k＝2k项

故答案为：2k．

【点睛】

本题考查数学归纳法的应用，考查了推理能力与计算能力，注意解题方法的积累，属于基础题．

7．【答案】

【解析】由可得一定存在,分别讨论和的情况,进而求解即可

详解：因为,所以一定存在,

所以或,

当时,,所以；

当时,由得,所以,

所以,

所以且,

综上,且或

故答案为:

【点睛】

本题考查无穷等比数列的应用,考查数列的极限

8．【答案】

【解析】数列1，3，5，…，（）为首项为1，公比为2的等差数列，根据等差数列的求和公式得代入极限中求出即可．

详解：.

故答案为.

【点睛】

本题考查数列极限及其运算，考查计算能力，侧重考查对基础知识的理解和掌握，属于常考题.

9．【答案】

【解析】根据的表达式可得出和的表达式，两式相减可得出结果.

【详解】

，

，

，

因此，.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了数学归纳法中的相关计算，在解题时要观察两代数式之间的差异，考查计算能力，属于基础题.

10．【答案】

【解析】式子的左边应是分母从1，依次增加1，直到，所以答案为。

考点：本题主要考查数学归纳法的概念及方法步骤。

点评：简单题，理解式子的结构特点，计算要细心。

11．【答案】

【解析】由递推公式得，又能得到，再求出几项，这样可以猜想数列的通项公式，再由数学归纳法证明.

【详解】

由，可得，

且，两式作差得，

，

猜想，现用数学归纳法证明：

当时，显然成立；

假设当时成立，即

当时，，即时，也成立，

综上.

【点睛】

本题考查了数列的递推公式．数学归纳法.

12．【答案】3

【解析】运用数学归纳法证明当时，对一切自然数成立,可得答案.

详解：当时，对一切自然数不成立；

当时，对一切自然数不成立（如时，）；

当时，对一切自然数成立,理由如下：

当时，成立，假设当时成立，即，

当时，，而，所以对一切自然数成立.

故答案为：3.

【点睛】

本题考查数学猜想和数学归纳法证明不等式，关键在于证明当时不等式成立，属于中档题.

13．【答案】

【解析】先化简，再根据数列极限求解，最后解方程得结果.

详解：又，

故答案为：

【点睛】

本题考查数列极限，考查基本分析求解能力，属基础题.

14．【答案】3

【解析】根据的取值范围，判断出.

详解：由于要证明的是，所以第一步，满足.

故答案为：

【点睛】

本小题主要考查数学归纳法，属于基础题.

15．【答案】且

【解析】设公比为，利用公式可求无穷等比数列各项和，利用可求的范围.

详解：设无穷等比数列的公比为，

因为无穷等比数列各项和为2，故且，

此时无穷等比数列各项和为，故，

所以，故，故且.

故答案为：且.

【点睛】

本题考查无穷等比数列的各项和，注意只有当公比时，无穷等比数列才会有和且和为，本题属于中档题.