高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册5.5 数学归纳法教学设计及反思

这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册5.5 数学归纳法教学设计及反思，共7页。教案主要包含了课时安排，教学重点，教学难点，教学过程，用数学归纳法证明等式，板书设计，作业布置，教学反思等内容，欢迎下载使用。
2．会利用数学归纳法证明一些简单问题．
二、课时安排
1课时
三、教学重点
1．了解数学归纳法的原理及其使用范围．
2．会利用数学归纳法证明一些简单问题．
四、教学难点
1．了解数学归纳法的原理及其使用范围．
2．会利用数学归纳法证明一些简单问题．
五、教学过程
（一）导入新课
数学归纳法证明中，在验证了n＝1时命题正确，假定n＝k时命题正确，此时k的取值范围是( )
A．k∈N B．k＞1，k∈N＋
C．k≥1，k∈N＋ D.k＞2，k∈N＋
【解析】 数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法，所以k是正整数，又第一步是递推的基础，所以k大于等于1.
【答案】 C
（二）讲授新课
教材整理 数学归纳法的概念
一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤：
(1)证明当 时命题成立；
(2)假设当 时命题成立，证明 时命题也成立．
在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立．这种证明方法称为数学归纳法．
（三）重难点精讲
题型一、用数学归纳法证明等式
例1 用数学归纳法证明：
1－eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)－eq \f(1,4)＋…＋eq \f(1,2n－1)－eq \f(1,2n)＝eq \f(1,n＋1)＋eq \f(1,n＋2)＋…＋eq \f(1,2n).
【精彩点拨】 要证等式的左边共2n项，右边共n项，f(k)与f(k＋1)相比左边增二项，右边增一项，而且左、右两边的首项不同．因此，由“n＝k”到“n＝k＋1”时要注意项的合并．
【自主解答】 ①当n＝1时，左边＝1－eq \f(1,2)＝eq \f(1,2)＝eq \f(1,1＋1)＝右边，所以等式成立．
②假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时等式成立，即
1－eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)－eq \f(1,4)＋…＋eq \f(1,2k－1)－eq \f(1,2k)＝eq \f(1,k＋1)＋eq \f(1,k＋2)＋…＋eq \f(1,2k)，则当n＝k＋1时，
左边＝1－eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)－eq \f(1,4)＋…＋eq \f(1,2k－1)－eq \f(1,2k)＋eq \f(1,2k＋1)－eq \f(1,2k＋2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,k＋1)＋\f(1,k＋2)＋…＋\f(1,2k)))＋eq \f(1,2k＋1)－eq \f(1,2k＋2)
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,k＋2)＋…＋\f(1,2k)＋\f(1,2k＋1)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,k＋1)－\f(1,2k＋2)))
＝eq \f(1,k＋2)＋…＋eq \f(1,2k)＋eq \f(1,2k＋1)＋eq \f(1,2k＋2)＝右边，
所以，n＝k＋1时等式成立．
由①②知，等式对任意n∈N＋成立．
规律总结：
1．用数学归纳法证明等式的关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关．由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项．
2．利用数学归纳法证明代数恒等式时要注意两点：一是要准确表述n＝n0时命题的形式，二是要准确把握由n＝k到n＝k＋1时，命题结构的变化特点．并且一定要记住：在证明n＝k＋1成立时，必须使用归纳假设，这是数学归纳法证明的核心环节．
[再练一题]
1．用数学归纳法证明：
12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)．
【证明】 (1)当n＝1时，左边＝12－22＝－3，
右边＝－1×(2×1＋1)＝－3，等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥1)时，等式成立，就是
12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1)．
当n＝k＋1时，
12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2－(2k＋2)2
＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－[2(k＋1)]2
＝－k(2k＋1)－(4k＋3)
＝－(2k2＋5k＋3)
＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]，
所以n＝k＋1时等式也成立，
根据(1)和(2)可知，等式对任何n∈N＋都成立．
题型二、用数学归纳法证明整除问题
例2用数学归纳法证明：(3n＋1)·7n－1能被9整除(n∈N＋)．
【精彩点拨】 先验证n＝1时命题成立，然后再利用归纳假设证明，关键是找清f(k＋1)与f(k)的关系并设法配凑．
【自主解答】 (1)当n＝1时，原式＝(3×1＋1)×7－1＝27，能被9整除，命题成立．
(2)假设当n＝k(k∈N＋，k≥1)时，(3k＋1)·7k－1能被9整除，则当n＝k＋1时，
[ 3(k＋1)＋1]·7k＋1－1
＝[21(k＋1)＋7]·7k－1
＝[(3k＋1)＋(18k＋27)]·7k－1
＝[(3k＋1)·7k－1]＋9(2k＋3)·7k.
∵[(3k＋1)·7k－1]和9(2k＋3)·7k都能被9整除，
∴[ (3k＋1)·7k－1]＋9(2k＋3)·7k能被9整除，
即[3(k＋1)＋1]·7k＋1－1能被9整除，
即当n＝k＋1时命题成立．
由(1)(2)可知，对任何n∈N＋，命题都成立，即(3n＋1)·7n－1能被9整除(n∈N＋)．
规律总结：
1．证明本题时关键是用归纳假设式子(3k＋1)·7k－1表示n＝k＋1时的式子．
2．用数学归纳法证明整除问题关键是利用增项、减项、拆项、并项、因式分解等恒等变形的方法去凑假设、凑结论，从而利用归纳假设使问题获证．一般地，证明一个与n有关的式子f(n)能被一个数a(或一个代数式g(n)) 整除，主要是找到f(k＋1)与f(k)的关系，设法找到式子f1(k)，f2(k)，使得f(k＋1)＝f(k)·f1(k)＋f2(k)．
[再练一题]2．求证：n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3能被9整除.
【证明】 (1)当n＝1时，13＋(1＋1)3＋(1＋2)3＝36,36能被9整除，命题成立．
(2)假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时，命题成立，即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除，
当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3
＝(k＋1)3＋(k＋2)3＋k3＋3k2·3＋3k·32＋33
＝[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋9(k2＋3k＋3)，
由归纳假设知，上式中两项都能被9整除，故n＝k＋1时，命题也成立．
由(1)和(2)可知，对n∈N＋命题成立.
题型三、证明几何命题
例3平面内有n(n≥2，n∈N＋)条直线，其中任意两条不平行，任意三条不过同一点，那么这n条直线的交点个数f(n)是多少？并证明你的结论．
【精彩点拨】 (1)从特殊入手，求f(2)，f(3)，f(4)，猜想出一般性结论f(n)；(2)利用数学归纳法证明．
【自主解答】 当n＝2时，f(2)＝1 ；当n＝3时，f(3)＝3；
当n＝4时，f(4)＝6.
因此猜想f(n)＝eq \f(nn－1,2) (n≥2，n∈N＋)．
规律总结：
下面利用数学归纳法证明：
(1)当n＝2时，两条相交直线有一个交点，
又f(2)＝eq \f(1,2)×2×(2－1)＝1.
∴n＝2时，命题成立．
(2)假设当n＝k(k≥2且k∈N＋)时命题成立，就是该平面内满足题设的任何k条直线的交点个数为f(k)＝eq \f(1,2)k(k－1)，
当n＝k＋1时，其中一条直线记为l，剩下的k条直线为l1，l2，…，lk.
由归纳假设知，剩下的k条直线之间的交点个数为f(k)＝.
由于l与这k条直线均相交且任意三条不过同一点，
所以直线l与l1，l2，l3，…，lk的交点共有k个，
∴f(k＋1)＝f(k)＋k＝＋k＝eq \f(k2＋k,2)
＝＝，
∴当n＝k＋1时，命题成立．
由(1)(2)可知，命题对一切n∈N＋且n≥2时成立．
1．从特殊入手，寻找一般性结论，并探索n变化时，交点个数间的关系．
2．利用数学归纳法证明几何问题时，关键是正确分析由n＝k到n＝k＋1时几何图形的变化规律并结合图形直观分析，要讲清原因．
[再练一题]
3．在本例中，探究这n条直线互相分割成线段或射线的条数是多少？并加以证明．
【解】 设分割成线段或射线的条数为f(n)，则f(2)＝4，f(3)＝9，f(4)＝16.
猜想n条直线分割成线段或射线的条数f(n)＝n2(n≥2)，下面利用数学归纳法证明．
(1)当n＝2时，显然成立．
(2)假设当n＝k(k≥2，且k∈N＋)时，
结论成立，f(k)＝k2.
则当n＝k＋1时，设有l1，l2，…，lk，lk＋1，共k＋1条直线满足题设条件．
不妨取出直线l1，余下的k条直线l2，l3，…，lk，lk＋1互相分割成f(k)＝k2条射线或线段．
直线l1与这k条直线恰有k个交点，则直线l1被这k个交点分成k＋1条射线或线段．k条直线l2，l3，…，lk－1中的每一条都与l1恰有一个交点，因此每条直线又被这一个交点多分割出一条射线或线段，共有k条．
故f(k＋1)＝f(k)＋k＋1＋k＝k2＋2k＋1＝(k＋1)2，
∴当n＝k＋1时，结论正确．
由(1)(2)可知，上述结论对一切n≥2且n∈N＋均成立．
题型四、数学归纳法的概念
例4用数学归纳法证明：1＋a＋a2＋…＋an＋1＝eq \f(1－an＋2,1－a)(a≠1，n∈N＋)，在验证n＝1成立时，左边计算的结果是( )
A．1
B．1＋a
C．1＋a＋a2
D．1＋a＋a2＋a3
【精彩点拨】 注意左端特征，共有n＋2项，首项为1，最后一项为an＋1.
【自主解答】 实际是由1(即a0)起，每项指数增加1，到最后一项为an＋1，所以n＝1时，左边的最后一项应为a2，因此左边计算的结果应为1＋a＋a2.
【答案】 C
规律总结：
1．验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定为1.
2．递推是关键：正确分析由n＝k到n＝k＋1时式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障．
[再练一题]
4．当f(k)＝1－eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)－eq \f(1,4)＋…＋eq \f(1,2k－1)－eq \f(1,2k)，则f(k＋1)＝f(k)＋________.
【解析】 f(k＋1)＝1－eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)－eq \f(1,4)＋…＋eq \f(1,2k－1)－eq \f(1,2k)＋eq \f(1,2k＋1)－，
∴f(k＋1)＝f(k)＋eq \f(1,2k＋1)－.
【答案】 eq \f(1,2k＋1)－eq \f(1,2k＋2)
（四）归纳小结
数学归纳法—eq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(—\x(概念和步骤),—\x(证明等式),—\x(证明整除问题),—\x(证明几何问题)))
（五）随堂检测
1．用数学归纳法证明：1＋2＋3＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)·(2n＋1)时，在验证n＝1成立时，左边所得的代数式为( )
A．1 B．1＋3
C．1＋2＋3 D.1＋2＋3＋4
【解析】 当n＝1时左边所得的代数式为1＋2＋3.
【答案】 C
2．某个与正整数n有关的命题，如果当n＝k(k∈N＋且k≥1)时命题成立，则一定可推得当n＝k＋1时，该命题也成立．现已知n＝5时，该命题不成立，那么应有( )
A．当n＝4时，该命题成立
B．当n＝6时，该命题成立
C．当n＝4时，该命题不成立
D．当n＝6时，该命题不成立
【解析】 若n＝4时命题成立，由递推关系知n＝5时命题成立，与题中条件矛盾，所以n＝4时，该命题不成立．
【答案】 C
3．用数学归纳法证明等式(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)(n∈N＋)时，从“n＝k到n＝k＋1”左端需乘以的代数式为( )
A．2k＋1 B．2(2k＋1)
C.eq \f(2k＋1,k＋1) D.eq \f(2k＋3,k＋1)
【解析】 当n＝k时，等式为(k＋1)(k＋2)…(k＋k)＝2k·1·3·…·(2k－1)．
当n＝k＋1时，左边＝[(k＋1)＋1][(k＋1)＋2]…[(k＋1)＋k][(k＋1)＋(k＋1)]＝(k＋2)(k＋3)…(k＋k)·(2k＋1)(2k＋2)．
比较n＝k和n＝k＋1时等式的左边，可知左端需乘以＝2(2k＋1)．故选B.
【答案】 B
六、板书设计
七、作业布置
同步练习：4.1数学归纳法
八、教学反思
4.1数学归纳法
教材整理 数学归纳法的概念
例1：
例2：
例3：
例4：
学生板演练习