高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册5.5 数学归纳法课后作业题

【精挑】5.5 数学归纳法-2优选练习

一．填空题

1．利用数学归纳法证明不等式：时，由不等式成立推证时，左边应添加的代数式是                 

2．已知，则当时，___________.

3．用数学归纳法证明：，第一步应验证的等式是__________；从“”到“”左边需增加的等式是_________.

4．对大于或等于2的正整数的幂运算有如下分解方式：

；

根据上述分解规律，若的分解中最小的正整数是43，则________.

5．用数学归纳法证明“”时，由不等式成立，推证时，左边应增加的项数共有________项.

6．已知，则_________.

7．用数学归纳法证明“”，在验证成立时，等号左边的式子是______.

8．设数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的自然数n都有：(Sn－1)2＝anSn，通过计算S1，S2，S3，猜想Sn＝________.

9．观察下列等式，，，，，从中可以归纳出一个一般性的等式是：__________.

10．用数学归纳法证明 时，由到，等式左端应增加的式子为________________．

11．在数学归纳法的递推性证明中，由假设成立推导成立时，增加的项的个数是______（用表示）

12．用数学归纳法证明等式“”时，从到时，等式左边需要增加的是______.

13．利用数学归纳法证明不等式“”的过程中，由“”变到“”时，左边增加了_____项．

14．用数学归纳法证明不等式“（且）”的过程中，第一步：当时，不等式左边应等于__________。

15．大衍数列，来源于我国的《乾坤谱》，是世界数学史上最古老的数列，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.其前11项依次是：0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，60，则大衍数列的第41项为________.

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】解：利用数学归纳法证明不等式：时，由不等式成立推证时，左边应添加的代数式是

2．【答案】

【解析】根据的表达式可得出和的表达式，两式相减可得出结果.

【详解】

，

，

，

因此，.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了数学归纳法中的相关计算，在解题时要观察两代数式之间的差异，考查计算能力，属于基础题.

3．【答案】     

【解析】由数学归纳法的要求确定结论。

【详解】

当时，应当验证的第一个式子是，从“”到“”左边需增加的式子是

【点睛】

本题考查数学归纳法，属于基础题，一定要注意数学归纳法中，归纳假设后从“”到“”时所证命题是什么，如两者比较增加了什么，不能弄错。

4．【答案】13.

【解析】通过已知条件,归纳总结一般的结论（猜想) , 通过前三个已知的等式的规律，得，通过三个等式的规律，得，则.

【详解】

由；

观察得，

，

故，；

由；

观察得

，

，

故，

，则，故答案为13.

【点睛】

本题通过观察几组等式，归纳出一般规律来考查归纳推理，属于难题.归纳推理的一般步骤: 一．通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二．从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列．等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.

5．【答案】2

【解析】分别写出和时，不等式左边的所有项，根据分母特点计算多出的项数．

【详解】

时，左边，

当时，左边．

左边增加的项数为2.

故答案为：2.

【点睛】

本题考查了数学归纳法的证明步骤，属于基础题．

6．【答案】

【解析】根据题意共有项且各项的分母从变到，故得到的代数式，再用表示

【详解】

，

故答案为

【点睛】

本题主要考查了数学归纳法的应用，考查了数列的递推式，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的灵活运用．

7．【答案】

【解析】根据左边的式子是从开始，结束，且指数依次增加1求解即可.

【详解】

因为左边的式子是从开始，结束，且指数依次增加1

所以，左边的式子为，

故答案为.

【点睛】

项数的变化规律，是利用数学归纳法解答问题的基础，也是易错点，要使问题顺利得到解决，关键是注意两点：一是首尾两项的变化规律；二是相邻两项之间的变化规律.

8．【答案】

【解析】利用S1=a1, ，结合已知等式，依次代入求得S1，S2，S3，观察归纳求解即可.

【详解】

S1=a1,

由(S1－1)2＝a1S1 ,解得：S1＝；

由(S2－1)2＝(S2－S1)S2，解得：S2＝；

由(S3－1)2＝(S3－S2)S3得：S3＝.

猜想Sn＝.

故填：.

【点睛】

本题考查了归纳推理的运用，归纳推理是由特殊到一般，由具体到抽象的一种推理形式，通过观察．试验，对有限的资料归纳整理，得出带有规律性的猜想.

9．【答案】

【解析】通过观察前几个式子的变化规律，总结规律即可得到答案.

【详解】

根据题意，第一个式子从1开始，左边按顺序加有1项；第二个式子从2开始，有3项；第三个式子从3开始，有5项，于是可归纳出，第n个式子从n开始，有项，于是答案为：.

【点睛】

本题主要考查归纳法，意在考查学生的逻辑推理能力和数感，难度不大.

10．【答案】

【解析】写出时，等式左边的表达式，然后写出时，等式左边的表达式，由此判断出等式左端增加的式子.

【详解】

当时，左边，当时，左边 ，所以不等式左端应增加的式子为．

【点睛】

本小题主要考查数学归纳法，考查观察与分析的能力，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.

11．【答案】

【解析】观察中各项分母的变化规律可得增加的项的个数.

【详解】

因为，各项的分母从1变化到，

故共有个项，

，共有，故增加的项的个数为，填

【点睛】

数学归纳法由归纳起点．归纳假设和归纳证明组成，其中归纳证明必须用到归纳假设，因此归纳证明的等式或不等式在归纳假设的基础上变化了多少项要明确.

12．【答案】

【解析】由数学归纳法可知时,左端为,到时,左端,从而可得解..

【详解】

用数学归纳法证明等式时,

当时，左边所得的项是;

假设时,命题成立,左端为;

则当时,左端为,

 所以从“”需增添的项是.

故填:.

【点睛】

本题考查数学归纳法证明的第二步：归纳递推, 从“”需将“”代入所需证明的表达式中，明确其具体含义，是个易错点，属于中档题.

13．【答案】.

【解析】分析题意，根据数学归纳法的证明方法得到时，不等式左边的表示式是解答该题的突破口，当时，左边，由此将其对时的式子进行对比，得到结果.

【详解】

当时，左边，

当时，左边，

观察可知，增加的项数是，

故答案是.

【点睛】

该题考查的是有关数学归纳法的问题，在解题的过程中，需要明确式子的形式，正确理解对应式子中的量，认真分析，明确哪些项是添的，得到结果.

14．【答案】

【解析】用数学归纳法证明不等式（且），第一步，即时，分母从3到6，列出式子，得到答案.

【详解】

用数学归纳法证明不等式（且），

第一步，时，

左边式子中每项的分母从3开始增大至6，

所以应是.

即为答案.

【点睛】

本题考查数学归纳法的基本步骤，属于简单题.

15．【答案】840

【解析】分析数列的奇数项，得出奇数项为，根据此规律代入求出即可．

【详解】

奇数项为 ,

根据此规律有：第41项为，

故答案为：840.

【点睛】

本题考查观察分析猜想归纳求数列的通项公式的方法，考查推理能力与计算能力，属于中档题.